精品解析：北京市平谷区2024-2025学年高三下学期3月质量监控（一模）考试数学试题

平谷区2024—2025学年度第二学期高三年级质量监控 数学试卷 2025.3 注意事项 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为120分钟. 2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好. 第I卷选择题（共40分） 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求. 【详解】， 故选：D 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解. 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误， 对于B, 在区间上单调递减，B错误， 对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确， 对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误， 故选：C 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 在等比数列中，，记，则数列（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得，， 则， 则 ， 设，则， 所以， 则时，，即， 当时，，即， 则，则为最大项， 此时为正数项，且在正数项中最大； 再由,，，因此为最小项. 故选：C. 7. 已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 8. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形弧长，求得底面半径及高，再由圆锥体积公式即可求解； 【详解】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 9. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可； 【详解】由题意可知：，即，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 两式相除可得：， 即， 所以：， 即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历， 故选：A 10. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ， 点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值. 第II卷非选择题（共110分） 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.） 11. 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知，过作轴的垂线垂足是焦点，即可得到答案. 【详解】抛物线焦点在轴上，且焦点，故抛物线的对称轴为轴， 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等， 由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 所以，若轴，则垂足为点，即， 故答案为： 12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【解析】 【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 13. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为_________. 【答案】2（注：区间内任何一个值） 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率， 若满足直线与C无公共点，则需， 故答案为：2 14. 已知函数，当时，的值域是__________，若有两个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合二次函数与一次函数的单调性，可得分段函数的单调性，结合值域的概念以及极值点的概念，建立不等式，可得答案. 【详解】由，则， 当时，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 此时； 当时，，易知函数在上单调递减，则. 综上可得. 由题意可设函数的两个极值点分别为，且， 由二次函数在上单调递增，在上单调递减， 一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 易知函数在与上单调递增，在上单调递减， 且，，可得，解得. 故答案为：；. 15. 已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解. 【详解】由得，相减可得， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于①，，故正确； 对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于③，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于④，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 不能选①， 选条件②或③：， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【小问1详解】 方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. 【小问2详解】 若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）点在棱上，若平面，求证：为的中点； （2）求与平面所成的角. 【答案】（1） 在中，过点作交于点，连接， 因为，所以，所以四点共面. 因为平面，平面， 平面平面，所以. 所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质，结合平行四边形的定义，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接. 因为，所以为中点， ，，所以四边形为平行四边形， 又，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，所以， 所以. 如图建立空间直角坐标系. 因为， 由题意得，， 所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，则.所以平面的一个法向量为. 设与平面所成角为， 则， 又，解得. 所以与平面所成的角为. 18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 （1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； （2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 【答案】（1）0.94 （2） （3） 此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次， 那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由求解即可； （3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断； 【小问1详解】 由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人， 所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为. 【小问2详解】 设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“， 事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误； 根据题中数据，可估计为可估计为 该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 所以， 所以. 因此恰有一人检测结果错误的概率为 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的关系式，求解即得答案； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，写出韦达定理，由直线方程求得交点坐标，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，点. 由得，. 所以，即. ，. 直线与轴交于点，所以，又点， 直线的方程为， 令，得，① 又因为， 代入①式得，， 所以. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 【答案】（1） （2）的单调减区间为，无增区间. （3）能， 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，利用点斜式方程可求切线方程； （2）求导得，令，求导得，可得结论； （3）由题意判断方程的解的情况，令求导可得结论. 【小问1详解】 当时，则， ， ， 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，函数的定义域是， 所以， 令， 所以， 当时，；当时，， 所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值， 又，故恒成立， 所以的单调减区间为，无增区间. 【小问3详解】 由题意知，因为， 所以，即有， 令 则， 故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点， 即方程有唯一实根0，所以. 所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时. 21. 对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. （1）若数列，求数列； （2）若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； （3）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 【答案】（1） （2）数列中连续两项相等的数对至多有19对. 证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项， 在中每一个0在中对应的连续四项为， 因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对， 在中若出现连续两项的数对最多， 对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对， 所以中至多有19对连续相等的数对. 比如：取，则 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据变换的定义，逆向推导即可； （2）根据中每个1和0在中的对应情况，即可求解和证明； （3）对参数分类讨论，结合变换的定义以及等比数列求和，即可求得结果. 【小问1详解】 由变换的定义可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设中有个0，1数对， 中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以， 中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到， 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个. 所以，得， 由可得， 所以， 当时， 若为偶数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 若为奇数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 所以． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷区2024—2025学年度第二学期高三年级质量监控 数学试卷 2025.3 注意事项 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为120分钟. 2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好. 第I卷选择题（共40分） 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 5. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在等比数列中，，记，则数列（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 7. 已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度） A. B. C. D. 9. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 第II卷非选择题（共110分） 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.） 11. 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则__________. 12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 13. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为_________. 14. 已知函数，当时，的值域是__________，若有两个极值点，则的取值范围是__________. 15. 已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）点在棱上，若平面，求证：为的中点； （2）求与平面所成的角. 18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 （1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； （2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的值. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 21. 对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. （1）若数列，求数列； （2）若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； （3）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $