精品解析：湖南省衡阳市耒阳市正源学校2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

正源学校高一年级第一次月考 数学试卷（A） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若关于x的一元二次不等式解集为R，则实数m满足（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 已知函数f(x)＝则的值为（ ） A. B. － C. D. 18 5. 若，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么 A. B. C. D. 7. 有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 平行四边形中，为边上的中点，连接交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 10. 已知数据，，…，的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d.由这组数据得到新数据，，…，，其中（i=1，2，…，60），则（ ） A. 新数据平均数是2a+1 B. 新数据的方差是4b C. 新数据的中位数是2c D. 新数据的极差是2d 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设为单位向量，且，则______________. 13. 已知向量，，则在方向上投影为___________. 14. 若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，，且与不共线． （1）若向量与为方向相反向量，求实数的值； （2）若向量与的夹角为，求与的夹角． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求平面的一个法向量． 17. 已知中，是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，． （2）当时，求证：． 18. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由. 19. 农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°.现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°. （1）探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （2）为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正源学校高一年级第一次月考 数学试卷（A） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 2. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为特称量词命题：，， 故选：A 3. 若关于x的一元二次不等式解集为R，则实数m满足（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】因为关于x的一元二次不等式解集为R， 所以有， 故选：D 4. 已知函数f(x)＝则的值为（ ） A. B. － C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式先求出的值，再求的值即可. 【详解】由题意得， 那么，所以. 故选：C 【点睛】本题考查了分段函数求函数值，属于基础题. 5. 若，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求出最值. 【详解】， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在中，. 因为点为的中点，所以. 因为点为的一个三等分点，所以， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题． 7. 有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率． 【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁． 现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回， 恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种： ①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁， ③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁， 恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为： ． 故选：B． 8. 平行四边形中，为边上的中点，连接交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算得到，得到答案. 【详解】，故，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 10. 已知数据，，…，的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d.由这组数据得到新数据，，…，，其中（i=1，2，…，60），则（ ） A. 新数据的平均数是2a+1 B. 新数据的方差是4b C. 新数据的中位数是2c D. 新数据的极差是2d 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义即可判断答案. 【详解】的平均数为a，所以，A正确； 方差为b，即，所以，B正确； 中位数为c，则的中位数为，C错； 极差为d，则的极差为，D对. 故选：ABD. 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先证明：对任意，，有，利用此结论，当时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD. 详解】先证明结论：对任意，，有； 证明如下：因为，所以为减函数， 所以，即， 设，即，则为减函数， 所以，即， 从而，也就是， 当时，可得，A正确，B错误； 应用上面的结论可得： ，故D正确，C错误. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意，，有，是后续解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 13. 已知向量，，则在方向上的投影为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影的定义直接求解即可. 【详解】由题在方向上的投影为. 故答案：. 14. 若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出的取值范围 【详解】不等式等价于.令，解得或. 当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，，且与不共线． （1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值； （2）若向量与的夹角为，求与的夹角． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平面向量共线定理可设，，由，系数相等列方程组，解方程组即可求解； （2）分别计算、、、的值，再由平面向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为向量与为方向相反的向量， 所以存在实数，使得，且与不共线， 所以，解得：或（舍）； 所以实数的值为； （2）因为向量与的夹角为，，， 所以， ， ， ， 所以， 因为，所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求平面的一个法向量． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据法向量的求法即可得答案. 【小问1详解】 因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； 【小问2详解】 以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 17. 已知中，是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，． （2）当时，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案； （2）建立平面直角坐标系，求出相关点坐标以及的坐标，计算，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知点是的中点，故， 则； . 小问2详解】 以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当时，E为线段靠近B的三等分点，则， 故， 则， 即，故. 18. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由. 【答案】（1）（2）这样规定公平，详见解析 【解析】 【分析】（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得的概率，即可得到结论. 【详解】由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y. 用表示抽取结果，可得，则所有可能的结果有16种， （1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则， 事件A由4个基本事件组成，故所求概率. （2）设“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C， 则，. 可得， 即甲获胜的概率是，乙获胜的概率也是，所以这样规定公平. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题. 19. 农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°.现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°. （1）探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （2）为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？ 【答案】（1）是定值，为 （2）故当点是的中点时，长度之和最小，最小为米. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，，相加得到答案. （2）根据余弦定理结合均值不等式得到，再求和得到答案. 【小问1详解】 在中，，故， 即， 同理可得：， ，为定值. 【小问2详解】 在中，， 即， 故， 当且仅当时等号成立， 故当点是的中点时，三条小径的长度之和最小， 最小为 米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$