17.2 勾股定理的逆定理（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（人教版）

八年级数学人教版·下册 17.2 勾股定理的逆定理 授课人：xxxx 第十七章 勾股定理 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.正确把握勾股定理与其逆定理的关系 ;（重点） 2.勾股定理的逆定理的应用 .（难点） 新课导入 　据说 , 古埃及人曾用如图所示的方法画直角 . 这种方法对吗 ? 新课导入 3 4 5 三边分别为3 , 4 , 5 , 满足关系：32+42=52 , 则该三角形是直角三角形 . 新知探究 画一画 : 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方 , 分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm) . ① 2.5 , 6 , 6.5 ; ② 6 , 8 , 10 ; ③4 , 7.5 , 8.5 . 用量角器量一量 , 它们是什么三角形 ? 直角三角形 由前面几个例子们 , 可以作出什么猜想 ? 知识归纳 命题一 : 如果直角三角形的两直角边长分别为 a , b , 斜边长为 c , 则满足 a2+b2=c2 . 命题二 : 如果三角形的三边长a , b , c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形 . 命题一和命题二的题设和结论分别是什么 ? 题设 结论 题设 结论 新知探究 两个命题的题设和结论正好相反 , 像这样的两个命题叫做互逆命题, 如果其中一个叫原命题 , 那么另一个就叫做它的逆命题 . 如 : ① 对顶角相等和相等的角是对顶角 ; ② 两直线平行 , 内错角相等和内错角相等 , 两直线平行 ; ③ 全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形 . 这些互逆命题中原命题和逆命题都成立吗 ? ① 任何一个命题都有逆命题 ; ② 原命题正确 , 逆命题不一定正确 ; 原命题不正确 , 逆命题可能正确 ; ③ 原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论 “互换” 的关系 . 说出下列命题的逆命题 . 这些逆命题成立吗 ? （1）两条直线平行 , 内错角相等 ; （2）如果两个实数相等 , 那么它们的绝对值相等 ; （1）内错角相等 , 两直线平行 ; 成立 （2）如果两个实数的绝对值相等 , 那么这两个实数相等 ; 不成立 （3）全等三角形的对应角相等 ; （4）在角的内部 , 到角两边距离相等的点在角的平分线上 . （3）对应角相等的两个三角形全等 ; 不成立 （4）角平分线上的点到角两边的距离相等 ; 成立 新知探究 新知探究 勾股定理的逆定理 命题2正确吗 ? 如何证明呢 ? A'　 B'　 C' 　 ? ? 角形全等 　　 ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c a 新知探究 A　 B　 C　 a b c A'　 B'　 C' 　 a 证明:画一个△A'B'C' , 使∠ C'=90° , B'C'=a , C'A'=b . ∵ ∠ C'=90° , ∴ A'B'2= a2+b2=c2 , ∴ A'B' =c . ∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）. ∴ ∠C=∠C'=90° . BC=a=B'C' , CA=b=C'A' , AB=c=A'B' . 在△ABC和△A'B'C'中 新知探究 例1 : 判断由线段a , b , c组成的三角形是不是直角三角形 : (1) a=15 , b=8 , c=17 ; 解（1）因为 a2+b2=152+82=289 , c2=172=289 , 　 所以 152+82=172 , 根据勾股定理的逆定理 , 这个三角形是直角三角形 . (2) a=13 , b=14 , c=15 . （2）因为 a2+b2=132+142=365 , c2=152=225 , 　 所以 132+142≠152 , 　所以这个三角形不是直角三角形 . 新知探究 请完成以下未完成的勾股数（填斜边长） : 　(1) 3 , 4 , 　　　　;  　(2) 6 , 8 , 　　　　;  　(3) 7 , 24 , 　　　　;  　(4) 5 , 12 , 　　　　;  　(5) 9 , 12 , 　　　　.  5 10 25 13 15 知识归纳 利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤 : ① 确定最大边长 c , ② 计算 a2+b2 和 c2 的值 , 若 a2+b2=c2 , 则此三角形是直角三角形 ; 若 a2+b2<c2 , 则此三角形是钝角三角形 ; 若 a2+b2>c2 , 则此三角形是锐角三角形 . 新知探究 例2：某港口P位于东西方向的海岸线上 .“远航”号 、“海天”号轮船同时离开 港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每 小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相 距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个 方向航行吗? 　解:根据题意,由已知得 PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30 . 　 因为242+182=302 , 即PQ2+PR2=QR2 , 　 所以 ∠QPR=90°, 　 由“远航”号沿东北方向航行可知 ∠1=45° , 所以∠2=∠QPR-∠1=45°, 　 即“海天”号沿西北方向航行 . 课堂小结 勾股定理的逆定理： 两个命题的题设和结论正好相反 , 像这样的两个命题叫做互逆命题 , 如果其中一个叫原命题 , 那么另一个就叫做它的逆命题 如果三角形的三边长a , b , c 满足a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形 利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤 1.以下各组数为边长 , 能组成直角三角形的是（ ） A . 5 , 6 , 7 B . 10 , 8 , 4 C . 7 , 25 , 24 D . 9 , 17 , 15 课堂小测 C　 课堂小测 2.下列三角形中 , 一定是直角三角形的有　　(　　) ① 有两个内角互余的三角形 ; ② 三边长为 m2-n2 , 2mn , m2+n2 (m>n>0) 的三角形 ; ③ 三边长的比为3 : 4 : 5的三角形 ; ④ 三个内角的度数比是1 : 2 : 3的三角形 . A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 D　 18 课堂小测 3.写出下列命题的逆命题 , 并断定其逆命题的真假性 . (1) 如果两个角是直角 , 那么它们相等 ； (2) 在角的内部 , 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 ； (3) 如果 , 那么 a≥0 . 解：(1) 如果两个角相等 , 那么这两个角是直角 . 假命题 . (2) 在角的内部 , 角的平分线上的点到两边的距离相等 . 真命题 . (3) 如果 a≥0 , 那么 .真命题 . 课堂小测 4.一个零件的形状如图所示 , 工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm) : AB=3 , AD=4 , BC=12 , CD=13 . 且 ∠DAB=90° . 你能求出这个零件的面积吗 ? 解 : 如图 , 连接BD . 在Rt△ABD中 , 在△BCD中 , BD2+BC2=52+122=132=CD2 . ∴△BCD为直角三角形 , ∠DBC=90° . 课堂小测 5.小明向东走 80m 后 , 沿另一方向又走了 60m , 再沿第三个方向走 100m 回到原地 . 小明向东走 80m 后是向哪个方向走的 ? 解 : 小明的行走路线恰好构成三角形 . 因为 602+802=3600+6400=10000=1002 , 所以 这个三角形是直角三角形 , 因为小明向东走80m , 因此小明又向北或南走60m . 课堂小测 6.在△ABC中 , AB=13 , BC=10 , BC边上的中线 AD=12 . 求AC . 因为BD2+AD2=52+122=25+144=169 , AB2=132=169 , 所以BD2+AD2=AB2 , 所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90° . 因此△ADC中 , ∠ADC=90° , 由勾股定理得 : AC2=AD2+CD2=52+122=132 , 所以AC=13 . 解：在△ABD中 , BD= BC=5 , AD=12 , AB=13 , 课堂小测   证明：设CF=x，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x. 由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2， AE2=AB2+BE2=20x2， AF2=AD2+DF2=25x2， ∴EF2+AE2=25x2=AF2 . 由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90° . 7.如图， $$