第三单元专题05 长方体正方体的体积解决问题特训一-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（人教版）

考点剖析及分层精练 2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练 第三单元专题05 长方体正方体的体积解决问题特训一 答案解析 一、解答题 1．为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 小智有一套丛书，共有四册，这四册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽如下图所示，每册书的厚度为2厘米，他想做一个封套，把这套书都装进去。 （1）做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） （2）这套丛书的体积是多少立方厘米？ 【正确答案】（1）1664平方厘米；（2）4480立方厘米 【思路分析】（1）每册书的厚度×册数＝高，看图可知，求硬纸板的面积相当于求长方体表面积，封套没有前面，硬纸板的面积＝长×宽×2＋宽×高×2＋长×高，据此列式解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【规范解答】2×4＝8（厘米） （1）28×20×2＋20×8×2＋28×8 ＝1120＋320＋224 ＝1664（平方厘米） 答：做这个封套至少需要1664平方厘米的硬纸板。 （2）28×20×8＝4480（立方厘米） 答：这套丛书的体积是4480立方厘米。 2．如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。 （1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？ 【正确答案】（1）312平方厘米 （2）3厘米 【思路分析】（1）根据长方体的特征可知，长方体有两个面是正方形，那么其他四个侧面是完全相同的长方形。已知这个长方体的底面是面积为36平方厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，可知正方形的边长是6厘米，即长方体的长、宽都是6厘米；那么4个侧面都是“10×6”的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出侧面积，再加上2个正方形的面积，即是这个长方体纸盒的表面积。 （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，根据长方体的体积＝底面积×高，求出牛奶的体积；再将这个长方体盒子平放，即长方体的底面变成“10×6”的长方形，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出此时牛奶的高度。 【规范解答】（1）因为36＝6×6，所以正方形的边长是6厘米。 36×2＋10×6×4 ＝72＋240 ＝312（平方厘米） 答：长方体纸盒的表面积是312平方厘米。 （2）36×5＝180（立方厘米） 180÷（10×6） ＝180÷60 ＝3（厘米） 答：此时牛奶高度是3厘米。 3．游泳是很多人喜欢的一种运动项目，作为一个体育项目，游泳运动有近两百年的历史，1828年，英国在利物浦乔治码头修造了第一个室内游泳池，之后在英国各大城市普及。一个游泳池，长25米，宽10米，深2.4米，在游泳池内注入1.4米深的水。 （1）在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖是边长为2分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？ （2）这个游泳池注入了多少立方米的水？ 【正确答案】（1）10450块 （2）350立方米 【思路分析】（1）根据题意，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，即砌瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是砌瓷砖的总面积； 已知瓷砖是边长为2分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一块瓷砖的面积； 最后用砌瓷砖的总面积除以一块瓷砖的面积，求出至少需要这种瓷砖的块数。 （2）求这个游泳池注入水的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）2分米＝0.2米 25×10＋25×2.4×2＋10×2.4×2 ＝250＋120＋48 ＝418（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 418÷0.04＝10450（块） 答：至少需要这种瓷砖10450块。 （2）25×10×1.4 ＝250×1.4 ＝350（立方米） 答：这个游泳池注入了350立方米的水。 4．在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心长方体（如图1），长方体的底面积是50平方厘米，容器内的水面恰好浸没长方体的上底面；将容器倒置，长方体有8厘米高露出水面（如图2）。 （1）在图2中，露出水面的长方体的体积是多少？ （2）整个实心长方体的体积是多少？ 【正确答案】（1）400立方厘米；（2）650立方厘米 【思路分析】（1）露出水面的长方体是以底面积是50平方厘米，高恰好是8厘米，长方体的体积＝底面积×高。 （2） 密闭的容器两种放置的情况中，水的体积不发生改变，没有水的体积也不发生改变，由于第二种放置的时候，空白部分的体积＝高度为8厘米的长方体容器的体积－中间露出水面长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高分别计算出两种长方体的体积，即空白部分的体积是2800立方厘米，则图1放置空白部分的体积也是2800立方厘米，根据长方体的体积公式这时空白部分的高＝体积÷正方体密闭容器的底面积，即空白部分的高度是7厘米，则图1中实心长方体的高度＝正方体棱长－空白部分的高度。根据长方体的体积＝底面积×高，得出体积。 【规范解答】（1）50×8＝400（立方厘米） 答：露出水面的长方体体积是400立方厘米。 （2）20×20×8＝3200（平方厘米） 3200－400＝2800（立方厘米） 2800÷（20×20） ＝2800÷400 ＝7（厘米） 20－7＝13（厘米） 13×50＝650（立方厘米） 答：整个实心长方体的体积是650立方厘米。 5．如图，在一个棱长是3分米的正方体上，挖去一个棱长是1分米的小正方体。剩下部分的表面积是多少？剩下部分的体积是多少？ 【正确答案】54平方分米；26立方分米 【思路分析】（1）在正方体的右上角挖去一个小正方体，在没挖之前，此处外露3个面；挖掉一个小正方体后，此处也外露3个面，所以表面积不变。 根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出剩下部分的表面积。 （2）剩下部分的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出剩下部分的体积。 【规范解答】（1）3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） （2）3×3×3－1×1×1 ＝27－1 ＝26（立方分米） 答：剩下部分的表面积是54平方分米，剩下部分的体积是26立方分米。 6．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【正确答案】158平方分米 【思路分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米） 如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔ 如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）； 然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。 【规范解答】由分析可知： 宽×高：60÷4＝15（平方分米） 长×高：72÷3＝24（平方分米） 长×宽：80÷2＝40（平方分米） （15＋24＋40）×2 ＝（39＋40）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 答：原来长方体的表面积是158平方分米。 7．修建一个游泳池，要挖一个长为100米，宽为40米，深为2米的坑。 （1）用挖土机每小时可挖80立方米，需要几小时挖完？ （2）在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖多少平方米？ 【正确答案】（1）100小时    （2）4560平方米 【思路分析】（1）要求“多少小时可以挖完”，就要先求挖出土的体积（即长方体游泳池的体积），用土的总量÷每小时挖土量＝所用时间； （2）要在四壁和底面贴上瓷砖，只求长方体5个面的总面积，根据长方体的表面积的计算方法解答，游泳池5个面面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据计算即可。 【规范解答】（1）100×40×2＝8000（立方米） 8000÷80＝100（小时） 答：需要100小时挖完。 （2）100×40＋100×2×2＋40×2×2 ＝4000＋400＋160 ＝4400＋160 ＝4560（平方米） 答：需要贴瓷砖4560平方米。 8．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【正确答案】（1）12.8厘米 （2）438.4平方厘米 【思路分析】（1）根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）8×8×8÷（10×4） ＝64×8÷40 ＝512÷40 ＝12.8（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是12.8厘米。 （2）（10×4＋10×12.8＋4×12.8）×2 ＝（40＋128＋51.2）×2 ＝219.2×2 ＝438.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是438.4平方厘米。 【考察方向】本题考查正方体、长方体的体积、长方体的表面积，解答本题的关键是熟记公式。 9．如图，将一个正方体相对应的4条棱的长各加长5厘米后变成了一个大的长方体，体积增加了45立方厘米。加长后，这个大长方体的体积是多少立方厘米？ 【正确答案】72立方厘米 【思路分析】根据题意，由正方体变为一个大的长方体，增加部分是一个长方体，这个长方体的高是5厘米，体积是45立方厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，可以推导出：底面积＝长方体体积÷高，即45÷5＝9（平方厘米），所以求出长方体的底面积是9平方厘米，也就是原正方体的底面面积为9平方厘米；因为3×3＝9平方厘米，所以原正方体的棱长是3厘米，依据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可求出正方体的体积。最后用原正方体的体积＋增加部分的体积＝这个大长方体的体积，计算得出结果。 【规范解答】45÷5＝9（平方厘米） 因为3×3＝9（平方厘米），所以正方体的棱长是3厘米， 3×3×3＋45 ＝27＋45 ＝72（立方厘米） 答：这个长方体的体积是72立方厘米。 【考察方向】此题关键是根据增加部分的体积和高，求出长方体的底面积，也就是原正方体的底面积，进而求出正方体的棱长，然后解答问题。 10．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【正确答案】（1）144平方分米 （2）360立方分米 【思路分析】（1）观察图形可知，太阳能电池板的上面是6个长12分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘6即可。 （2）先根据长方体的体积公式V＝abh，求出一个小长方体的体积，再乘6，即是这个太阳能电池板的体积。 【规范解答】（1）12×2×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是144平方分米。 （2）12×2×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 60×6＝360（立方分米） 答：这个太阳能电池板的体积是360立方分米。 11．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 【正确答案】4.8立方分米 【思路分析】由题意可知，上升部分水的体积就是4个小球的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出上升部分水的体积，最后用除法求出1个小球的体积即可。 【规范解答】8×4×0.6÷4 ＝32×0.6÷4 ＝19.2÷4 ＝4.8（立方分米） 答：每个小球的体积是4.8立方分米。 12．一个长方体水池从里面量，长7米，宽2米，高1.5米。水池原来蓄水9立方米，小甘用每分钟注水0.8立方米的水管再往水池里注水，注满水池还需要多少分钟？ 【正确答案】15分钟 【思路分析】可以设注满水池还需要x分钟，根据等量关系：水池原来的蓄水量＋新蓄水量＝水池的容积，根据长方体的体积（容积）＝abh，代入数据，列方程求解即可。 【规范解答】解：设注满水池还需要x分钟。 9＋0.8x＝7×2×1.5 9＋0.8x＝14×1.5 9＋0.8x＝21 9＋0.8x－9＝21－9 0.8x－12 0.8x÷0.8＝12÷0.8 x＝15 答：注满水池还需要15分钟。 13．张叔叔用木料板制作了一种置物架。置物架没有前面和后面，它的形状和规格如下图： （1）制作这样一个置物架，至少需要木料板多少平方分米？ （2）他用2个这样的置物架，按照图的方式组合成置物柜，并安装上玻璃门摆放在墙角，这个组合好的置物柜的容积是多少立方分米？（木料板的厚度忽略不计） 【正确答案】（1）60平方分米；（2）135立方分米 【思路分析】（1）观察可知，需要木料板的面积相当于两个底面和两个右侧面的面积之和，根据长方形的面积＝长×宽计算即可。 （2）组合成置物柜后，长方体的长是（3＋6）分米，宽是2.5分米，高是6分米，利用长方体的容积V＝abh，代入求解即可。 【规范解答】（1）（6×2.5＋2.5×6）×2 ＝（15＋15）×2 ＝30×2 ＝60（平方分米） 答：至少需要木料板60平方分米。 （2）（3＋6）×2.5×6 ＝9×2.5×6 ＝22.5×6 ＝135（立方分米） 答：这个组合好的置物柜的容积是135立方分米。 【考察方向】此题的解题关键是利用立体图形的拼接，根据长方形的面积公式和长方体的容积公式解决实际问题。 14．如图，把一块长方形铁皮的四角分别切掉一个边长为5cm的正方形，再做成一个高5cm的无盖铁盒。 （1）这块铁盒的表面积是多少？ （2）这个无盖铁盒的容积是多少升？ 【正确答案】（1）1300平方厘米 （2）3.75升 【思路分析】（1）求这块铁盒的表面积，用长方形面积－4个小正方形的面积和，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。 （2）这个无盖的长方体的长是（40－5×2）厘米，宽是（35－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容积，注意单位名数的换算。 【规范解答】（1）40×35－5×5×4 ＝1400－25×4 ＝1400－100 ＝1300（平方厘米） 答：这块铁盒的表面积是1300平方厘米。 （2）长方体铁盒的长： 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 宽：35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 高：5厘米 30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 3750立方厘米＝3.75升 答：这个无盖铁盒的容积是3.75升。 15．有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉在中、小池的水中，两个水池的水面分别升高了8厘米、6厘米。如果将这两块碎石都沉在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？ 【正确答案】6厘米 【思路分析】根据题意，升高的水的体积就等于沉入水池内碎石的体积。结合正方体的体积公式：，首先设大水池水面上升的高度为x厘米，由于两堆碎石体积和不变，即两个水池的水面上升的体积等于大水池水面上升的体积，可以根据这一等量关系列出方程：4×4×x＝3×3×8＋2×2×6，解得x即可。 【规范解答】解：设大水池水面上升的高度为x厘米。 4×4×x＝3×3×8＋2×2×6 16x＝72＋24 16x＝96 16x÷16＝96÷16 x＝6 答：大水池水面将升高6厘米。 16．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量长21厘米，宽14厘米，高7.6厘米，它的容积有多大？ 【正确答案】2234.4立方厘米 【思路分析】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，计算即可。 【规范解答】 ＝294×7.6 ＝2234.4（立方厘米） 答：它的容积2234.4立方厘米。 17．一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，高22厘米。向容器中倒入6升水，再把一个土豆沉入水中（土豆完全浸没），这时量得容器中的水深是16厘米，这个土豆的体积是多少立方分米？ 【正确答案】0.4立方分米 【思路分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，据此求出原来水的高度，再结合不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【规范解答】6升＝6000立方厘米 6000÷20÷20 ＝300÷20 ＝15（厘米） 20×20×（16－15） ＝400×1 ＝400（立方厘米） ＝0.4（立方分米） 答：这个土豆的体积是0.4立方分米。 18．为了测量一块不规则石头的体积，四名同学合作进行如下的实验： ①：王明准备了一个长方体玻璃缸，并从里面测出玻璃缸的长是30厘米，宽是20厘米，高是15厘米。 ②：刘强往玻璃缸中倒入9厘米深的水。 ③：李华把这块不规则石头放入玻璃缸中，发现水刚好淹没这块不规则石头，但并没有溢出玻璃缸。 ④：陈兰测出水面距离缸口还有3厘米。 （1）根据他们的测量结果，这块不规则石头的体积是多少？ （2）可以利用上面的方法测量木块的体积吗？为什么？ 【正确答案】（1）1800cm3；（2）不可以。原因见详解。 【思路分析】（1）根据题意可知，不规则石头的体积等于水面上升的体积，求水面上升的体积实际是求长方体的体积，水面上升的高度为（15－3－9）厘米，利用长乘宽求出玻璃缸的底面积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入即可得解； （2）上述的方法是通过转化的数学思想，利用排水法求出不规则石头的体积，但不能利用这个方法测量木块的体积，因为木块并没有完全浸没在水里，据此解答。 【规范解答】（1）放入石头后水高：15－3＝12（厘米） 水面上升高度：12－9＝3（厘米） 石头体积：30×20×3 ＝600×3 ＝1800（立方厘米） 答：这块不规则石头的体积是1800立方厘米。 （2）不可以。因为木块不会完全沉浸在水中，不能准确测量出木块的体积。 【考察方向】本题考查长方体的体积、求不规则物体的体积，解答本题的关键是掌握不规则石头的体积等于水面上升的体积。 19．妈妈用一个长方体容器泡腊八蒜，从里面量这个容器长10厘米，宽8厘米。妈妈先向这个容器里倒了一些醋，正好出现左右两个面是正方形的情况（如图1），接着妈妈又将一些蒜瓣放入醋中，恰好又出现了前后两个面是正方形的情况（如图2）。请问这些蒜瓣的体积是多少立方厘米？ 【正确答案】160立方厘米 【思路分析】图1，容器里倒了一些醋后，出现左右两个面是正方形的情况，此时醋面的高度是8厘米； 图2，将一些蒜瓣放入醋中，出现了前后两个面是正方形的情况，此时醋面的高度是10厘米； 醋面的高度增加了（10－8）厘米，是放入蒜瓣导致的，因为蒜瓣的体积相当于一个长10厘米、宽8厘米、高（10－8）厘米的长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【规范解答】10×8×（10－8） ＝10×8×2 ＝160（立方厘米） 答：这些蒜瓣的体积是160立方厘米。 20．老师想带一个长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米的行李箱，乘坐某公司航班。老师所带的行李箱尺寸超出规定了吗？请列式计算说明理由。 【正确答案】没有 【思路分析】已知一个行李箱长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米，先根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出行李箱的高； 已知航空托运行李箱的尺寸规定：A＋B＋C小于或等于158厘米，按此规定，把行李箱的长、宽、高相加，和≤158厘米，所带的行李箱就没有超出规定；反之，和＞158厘米，就超出规定。 【规范解答】88立方分米＝88000立方厘米 88000÷（55×20） ＝88000÷1100 ＝80（厘米） 55＋20＋80＝155（厘米） 155＜158 答：老师所带的行李箱尺寸没有超出规定。 21．如图，一个长方体水槽被一块玻璃隔板分成A、B两部分，两部分水的高度分别是5分米和1分米。将隔板抽出后，水槽里的水有多高？ 【正确答案】3.5分米 【思路分析】根据“长方体体积＝长×宽×高”分别求出两个部分水的体积，再相加求出水一共的体积。将隔板抽出后，水总共的体积不变。根据“长方体高＝体积÷长÷宽”，将水总共的体积除以水槽的长，再除以水槽的宽，求出水槽里水的高度。 【规范解答】5×4×5＋3×4×1 ＝100＋12 ＝112（立方分米） 112÷（5＋3）÷4 ＝112÷8÷4 ＝14÷4 ＝3.5（分米） 答：将隔板抽出后，水槽里的水有3.5分米高。 22．一个密封的长方体玻璃容器，长15厘米，宽7厘米，高10厘米（玻璃厚度忽略不计），现已注入了高度为6厘米的水（如图1）。 （1）图1中水与容器的接触面积是多少平方厘米？ （2）如果以这个容器右侧为底面，将它竖起来水平摆放在桌上，这时水面的高度是多少厘米？ 【正确答案】（1）369平方厘米 （2）9厘米 【思路分析】（1）看图可知，图1中水与容器的接触面积＝长方体容器的长×宽＋长×水深×2＋宽×水深×2，据此列式解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷容器右侧面的面积＝水的高度，容器右侧面的面积＝宽×高，据此列式解答。 【规范解答】（1）15×7＋15×6×2＋7×6×2 ＝105＋180＋84 ＝369（平方厘米） 答：图1中水与容器的接触面积是369平方厘米。 （2）15×7×6÷（7×10） ＝630÷70 ＝9（厘米） 答：这时水面的高度是9厘米。 23．如图，一个长方体，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 【正确答案】200立方厘米 【思路分析】根据题意，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（3厘米），即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积V＝abh，代入数据解答。 【规范解答】60÷4＝15（平方厘米） 15÷3＝5（厘米） 5×5×（5＋3） ＝25×8 ＝200（立方厘米） 答：原来长方体的体积是200立方厘米。 24．将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，容器的长8分米，宽5分米，高6分米，石块完全浸没在水中，这时水面上升了1.3分米，这块不规则的石块是多少立方分米？ 【正确答案】52立方分米 【思路分析】将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，石块完全浸没在水中，石块的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积＝长方体容器的长×长方体容器的宽×水面上升的高度，据此代入数据解答。 【规范解答】8×5×1.3 ＝40×1.3 ＝52（立方分米） 答：这块不规则的石块是52立方分米。 25．一个长方体铁皮盒子，无盖。长、宽、高分别是20厘米、10厘米和1.5分米。做一个这样的盒子至少需要多少平方厘米的铁皮？如果每立方厘米的油为0.8克，这个盒子最多可以装多少克油？（铁皮连接处等忽略不计，铁皮的厚度忽略不计） 【正确答案】1100平方厘米；2400克 【思路分析】（1）由题意可知，运用，由于长方体铁皮盒子无盖，长×宽只有一个面，不用乘2，即可算出盒子的表面积； （2）运用，计算出这个长方体盒子的体积，再用乘法求出重量。 计算过程要先把1.5分米转化为以厘米为单位的数据，再计算。 【规范解答】 （平方厘米） （克） 答：做一个这样的盒子至少需要1100平方厘米的铁皮；这个盒子最多可以装2400克油。 26．李叔叔要制作一个长方体的玻璃容器，下面是这个玻璃容器的展开图。 （1）制作这个玻璃容器共需要多少平方分米的玻璃？ （2）制作完成后，往容器中注水。如果将A面作为底面，放在水平的桌面上，此时水面高度是1.8分米。如果将B面作为底面放在水平的桌面上，那么水面高度是多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 【正确答案】（1）27平方分米 （2）1.35分米 【思路分析】（1）观察图形可知，则长方体的长为3分米，宽为2分米，高为1.5分米，需要玻璃的面积就是长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可； （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积，再用水的体积除以B面的面积即可求出此时的水面高度。 【规范解答】（1）（3×2＋3×1.5＋2×1.5）×2 ＝（6＋4.5＋3）×2 ＝13.5×2 ＝27（平方分米） 答：制作这个玻璃容器共需要27平方分米的玻璃。 （2）3×1.5×1.8 ＝4.5×1.8 ＝8.1（立方分米） 8.1÷（3×2） ＝8.1÷6 ＝1.35（分米） 答：此时水面高度是1.35分米。 27．有甲、乙两种长方体容器。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图三所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【正确答案】（1）150立方厘米 （2）60立方厘米 【思路分析】（1）根据图意可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，进行解答即可； （2）用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，求出容器中水面的高度，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】（1）10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是150立方厘米。 （2）150÷（10×3＋5×4） ＝150÷（30＋20） ＝150÷50 ＝3（厘米） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 28．在气象兴趣小组的一次活动中，老师为每位同学准备了一套“太空气象站”材料套装（如图所示），这个材料套装的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【正确答案】30平方分米；9立方分米 【思路分析】1分米＝10厘米＝100毫米，据此先将套装的长、宽、高单位换算到分米。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。根据长方体的表面积公式，列式求出这个套装的表面积。根据长方体的体积公式，列式求出这个套装的体积。 【规范解答】300毫米＝3分米，100毫米＝1分米 （3×1＋3×3＋1×3）×2 ＝（3＋9＋3）×2 ＝15×2 ＝30（平方分米） 3×1×3＝9（立方分米） 答：这个材料套装的表面积是30平方分米，体积是9立方分米。 29．如图，有一个长10厘米，宽8厘米，高12厘米的透明长方体玻璃容器。在向这个容器里倒水的过程中，水形成的长方体，会有两次出现相对的面是正方形的情况。当容器里的水形成的长方体第一次出现相对的面是正方形时，水的体积是多少毫升？（厚度忽略不计） 【正确答案】640毫升 【思路分析】在容器中倒水时，水面的高度会发生改变，底面不发生改变，即要想出现相对的面是正方形，高度和底面的长相等或者和底面的宽相等，则第一次出现相对的面是正方形时的高度是8厘米，这个水形成的长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是8厘米。根据代入数据计算即可。再根据1立方厘米＝1毫升换算单位。 【规范解答】10×8×8 ＝80×8 ＝640（立方厘米） 640立方厘米＝640毫升 答：水的体积是640毫升。 30．凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？ 【正确答案】15.625吨 【思路分析】根据题意，水箱是一个铁皮做成的棱长25分米的无盖正方体，根据正方体的体积（容积）公式V＝a3，求出水箱的容积，再根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位；然后用每立方米水的重量乘水箱的容积，即可求出这个水箱能装水的总重量。 【规范解答】25×25×25 ＝625×25 ＝15625（立方分米） 15625立方分米＝15.625立方米 1×15.625＝15.625（吨） 答：这个水箱能装水15.625吨。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点剖析及分层精练 2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练 第三单元专题05 长方体正方体的体积解决问题特训一 一、解答题 1．为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 小智有一套丛书，共有四册，这四册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽如下图所示，每册书的厚度为2厘米，他想做一个封套，把这套书都装进去。 （1）做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） （2）这套丛书的体积是多少立方厘米？ 2．如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。 （1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？ 3．游泳是很多人喜欢的一种运动项目，作为一个体育项目，游泳运动有近两百年的历史，1828年，英国在利物浦乔治码头修造了第一个室内游泳池，之后在英国各大城市普及。一个游泳池，长25米，宽10米，深2.4米，在游泳池内注入1.4米深的水。 （1）在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖是边长为2分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？ （2）这个游泳池注入了多少立方米的水？ 4．在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心长方体（如图1），长方体的底面积是50平方厘米，容器内的水面恰好浸没长方体的上底面；将容器倒置，长方体有8厘米高露出水面（如图2）。 （1）在图2中，露出水面的长方体的体积是多少？ （2）整个实心长方体的体积是多少？ 5．如图，在一个棱长是3分米的正方体上，挖去一个棱长是1分米的小正方体。剩下部分的表面积是多少？剩下部分的体积是多少？ 6．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 7．修建一个游泳池，要挖一个长为100米，宽为40米，深为2米的坑。 （1）用挖土机每小时可挖80立方米，需要几小时挖完？ （2）在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖多少平方米？ 8．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 9．如图，将一个正方体相对应的4条棱的长各加长5厘米后变成了一个大的长方体，体积增加了45立方厘米。加长后，这个大长方体的体积是多少立方厘米？ 10．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 11．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 12．一个长方体水池从里面量，长7米，宽2米，高1.5米。水池原来蓄水9立方米，小甘用每分钟注水0.8立方米的水管再往水池里注水，注满水池还需要多少分钟？ 13．张叔叔用木料板制作了一种置物架。置物架没有前面和后面，它的形状和规格如下图： （1）制作这样一个置物架，至少需要木料板多少平方分米？ （2）他用2个这样的置物架，按照图的方式组合成置物柜，并安装上玻璃门摆放在墙角，这个组合好的置物柜的容积是多少立方分米？（木料板的厚度忽略不计） 14．如图，把一块长方形铁皮的四角分别切掉一个边长为5cm的正方形，再做成一个高5cm的无盖铁盒。 （1）这块铁盒的表面积是多少？ （2）这个无盖铁盒的容积是多少升？ 15．有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉在中、小池的水中，两个水池的水面分别升高了8厘米、6厘米。如果将这两块碎石都沉在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？ 16．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量长21厘米，宽14厘米，高7.6厘米，它的容积有多大？ 17．一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，高22厘米。向容器中倒入6升水，再把一个土豆沉入水中（土豆完全浸没），这时量得容器中的水深是16厘米，这个土豆的体积是多少立方分米？ 18．为了测量一块不规则石头的体积，四名同学合作进行如下的实验： ①：王明准备了一个长方体玻璃缸，并从里面测出玻璃缸的长是30厘米，宽是20厘米，高是15厘米。 ②：刘强往玻璃缸中倒入9厘米深的水。 ③：李华把这块不规则石头放入玻璃缸中，发现水刚好淹没这块不规则石头，但并没有溢出玻璃缸。 ④：陈兰测出水面距离缸口还有3厘米。 （1）根据他们的测量结果，这块不规则石头的体积是多少？ （2）可以利用上面的方法测量木块的体积吗？为什么？ 19．妈妈用一个长方体容器泡腊八蒜，从里面量这个容器长10厘米，宽8厘米。妈妈先向这个容器里倒了一些醋，正好出现左右两个面是正方形的情况（如图1），接着妈妈又将一些蒜瓣放入醋中，恰好又出现了前后两个面是正方形的情况（如图2）。请问这些蒜瓣的体积是多少立方厘米？ 20．老师想带一个长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米的行李箱，乘坐某公司航班。老师所带的行李箱尺寸超出规定了吗？请列式计算说明理由。 21．如图，一个长方体水槽被一块玻璃隔板分成A、B两部分，两部分水的高度分别是5分米和1分米。将隔板抽出后，水槽里的水有多高？ 22．一个密封的长方体玻璃容器，长15厘米，宽7厘米，高10厘米（玻璃厚度忽略不计），现已注入了高度为6厘米的水（如图1）。 （1）图1中水与容器的接触面积是多少平方厘米？ （2）如果以这个容器右侧为底面，将它竖起来水平摆放在桌上，这时水面的高度是多少厘米？ 23．如图，一个长方体，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？ 24．将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，容器的长8分米，宽5分米，高6分米，石块完全浸没在水中，这时水面上升了1.3分米，这块不规则的石块是多少立方分米？ 25．一个长方体铁皮盒子，无盖。长、宽、高分别是20厘米、10厘米和1.5分米。做一个这样的盒子至少需要多少平方厘米的铁皮？如果每立方厘米的油为0.8克，这个盒子最多可以装多少克油？（铁皮连接处等忽略不计，铁皮的厚度忽略不计） 26．李叔叔要制作一个长方体的玻璃容器，下面是这个玻璃容器的展开图。 （1）制作这个玻璃容器共需要多少平方分米的玻璃？ （2）制作完成后，往容器中注水。如果将A面作为底面，放在水平的桌面上，此时水面高度是1.8分米。如果将B面作为底面放在水平的桌面上，那么水面高度是多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 27．有甲、乙两种长方体容器。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图三所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 28．在气象兴趣小组的一次活动中，老师为每位同学准备了一套“太空气象站”材料套装（如图所示），这个材料套装的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 29．如图，有一个长10厘米，宽8厘米，高12厘米的透明长方体玻璃容器。在向这个容器里倒水的过程中，水形成的长方体，会有两次出现相对的面是正方形的情况。当容器里的水形成的长方体第一次出现相对的面是正方形时，水的体积是多少毫升？（厚度忽略不计） 30．凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$