专项19 植树问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——植树问题 10种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 一、植树问题三要素： 1.一段距离即总长； 2.两点之间距离即间距； 3.棵数。 二、植树问题三个基本公式（含变式题型）： 1.(两端都植)距离÷间隔长 +1=棵数；（竖电线杆、插旗……） 2.(只植一端)距离÷间隔长=棵数；（或封闭图形；敲钟听声、爬楼梯……） 3.(两端都不植)距离÷间隔长-1=棵数。（锯木头、剪铁丝……） 植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。 【两端都种树】 小朋友们在长42米的小路的一边种树，从小路的一端开始种第1棵树，之后每隔6米再种1棵，一直种到小路的另一端。那么一共要种多少棵树? 【解析】基本公式： （1）间隔数=总长 ÷间隔距离； （2）棵数=间隔数+1 【详解】 ①间隔数:42÷6=7(个) 2棵数:7+1=8(个) 答:一共要种8棵树。 1. 某学校计划在一条长为200米的直线道路两侧植树，如果每隔5米植一棵树，并且两端都植树，那么需要准备多少棵树苗? 2. 学校有125人参加运动会的入场式，他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米。他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 3.李大爷以相同的速度在布满电线杆的乡间小路上散步。他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分钟（每相邻两根电线杆之间的距离相等）。李大爷用36分钟能从第四根电线杆走到第几根电线杆? 【一端种、一端不种树】 从校门口到教学楼之间有一条长64米的路，在路的一边每隔8米种1棵树，校门口这头要种，教学楼那头不种。一共要种多少棵树? 【解析】基本公式： 棵数=间隔数 间隔数=总长÷间隔距离 【详解】 1.间隔数:64÷8=8(个) 2.棵数:8(棵) 答:一共要种8棵树。 1.金陵饭店在门口一条24米的迎宾路一侧摆花，每隔3米摆1盆，一端摆一端不摆。问这条迎宾路上摆了多少盆花? 2. 在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设根,若公路两端都不架设，共需电线多少根? 3.两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵? 【两端都不种树】 植树节到了，爸爸带着小明去河边种树。小河长49米在河的一边每隔7米种一棵树，小河两端都不种。那么爸爸需要准备多少棵树呢? 【解析】基本公式： 棵数=间隔数-1 间隔数=总长÷间隔距离 【详解】 间隔数:49÷7=7(个) 棵数：7-1=6（棵） 答:一共要种6棵树。 1.兔子朱迪帮兔子爸爸种胡萝卜，在长35分米的菜地中种一排胡萝卜，每隔5分米种1棵，两端都不种。免子朱迪一共种了多少棵胡萝卜? 2.有一条乡村公路，在公路的一边安装路灯，每隔8米安装1盏，两端都不安，一共安装了7盏路灯，这条公路长多少米? 3.在教学楼与图书馆之间小路的一侧种树，每隔10米种一棵树，共种20棵，教学楼和图书馆两头都不种树，请问教学楼到图书馆有多少米？ 【插彩旗】 庆元旦,道路两旁插彩旗,彩旗共插了16面,两头都插,每两面彩旗中间摆2盆花，共摆了多少盆花? 【解析】花是摆放在彩旗的间隔上的,只需要求出有多少个间隔即可。注意是两旁哦。 【详解】 (16÷2-1)×2×2 =(8-1)×4 =28（盆） 答:一共摆了 28盆。 【总结】 (1)在树的中间种树,即在树的间隔上再种树,所以关健就是找到间隔数; (2)两头都种树时,间隔数=棵数-1； 两头都不种树时,间隔数=棵数+1； 在封闭图形上种树时,间隔数=棵数； 间隔数=总长度÷间距。 1. 一条长2000米的公路,两旁每隔20米种一棵杨树(两头都种),每两棵杨树之间等距离种三棵枫树。这条公路上一共种枫树多少棵? 2. 有一根 180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段? 3. 有一个圆形花坛,它的外周长180米,沿着它的外围,每隔6米栽一株杜鹃花,然后在相邻的两株杜鹃花之间等距离地栽上两株百合花。问:可栽杜鹃花多少株?可栽百合花多少株?两株相邻的杜鹃花之间的两株百合花相距多少米? 【总长不变，间距改变】 解放南路的一侧原有木电线杆86根,每相邻两根相距42米。现在计划全部换成水泥电线杆,每相邻两根相距70米。问:需要水泥电线杆多少根? 【解析】原来木电线杆之间有多少个间隔?每个间隔长是多少米?这条路的总长是多少米?现在换成水泥电线杆，什么是不变的呢?现在有多少个间隔呢? 【详解】 (86-1)×42÷70+1 =85×42÷70+1 =52(根) 答:需要水泥电线杆52根。 【总结】做这类题目,先根据原来的间隔数与间距求出总长(总长=间隔数×间距),再根据总长和现在的间距求出现在的间隔数。 1. 为了迎接儿童节，同学们在学校的一条长廊两边各摆了21盆月季花，每相邻两盆花之间间隔5米。摆完后觉得不好看，于是全部换成菊花，每隔4米放一盆。问:需要多少盆菊花? 2. 一条马路两边各插了51面黄旗，每两面黄旗之间相隔3米，为了美观，现在全部换成红旗，每隔5米插一面红旗。问:总共需要多少面红旗? 3. 某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩，一共打了49个木桩，现在要改成每隔4米打一个木桩。那么可以不拔的木桩共有多少个? 【在组合图形上种树】 在一块长80米、宽60米的长方形地边缘种树,每隔4米种一棵,四个顶点各种一棵,一共要种多少棵? 【解析】 方法一:长方形的每条长、宽(不包含顶点)上各种了多少棵?顶点种了多少棵?一共种了多少棵? 方法二:长方形的周长是多少?有多少个间隔?棵数和间隔数有什么关系? 【详解】 方法一: 长边上共种： (80÷4-1)×2 =19×2 =38(棵) 宽边上共种： (60-4-1)×2 =14×2 =28(棵) 顶点上共种4棵共种： 38+28+4=70(棵) 方法二: 周长：（80+60)×2=280(米) 棵数:280÷4=70(棵) 答:一共要种70棵。 【总结】在图形上种树,树的总数等于每条边(不包含项点)上树的数量与顶点上树的数量之和。 1. 由9条相等的线段组成4个等边小三角形(如下图),在每条边上植8棵树。那么至少需要多少棵树? 2. 48棵树,排成一个正六边形,每一条边上的树的棵数都相等,顶点上都种一棵树。 问:每条边上有几棵树? 3. 正方形广场的边界上共插有48面黄旗和红旗,每条边上的旗子数目相同,且每两面红旗间的黄旗数目也相同,如果四个角上都插有红旗,每条边上的红旗比黄旗少5面。那么每两面红旗间有几面黄旗? 【锯木头】 一根木头被锯2次后，每段长3米，这根木头原来长几米? 【解析】 锯木头、剪绳子解题思路:段数比次数多1，次数比段数少1。 段数=次数+1 次数=段数-1 总长=段数×每段的长度。 【详解】 （1+2）×3=9（米） 答：这根木头原来长9米。 1.一根木头锯成2段，需要3分钟，要锯成6段，一共需要几分钟? 2.一根长30厘米的铁丝剪成7段，每剪一次要用2分钟，一共需要几分钟？ 3.用15秒可以将一根木料锯成四段,问:用同样的速度将这根木料锯成五段需要几秒钟? 【爬楼梯】 某人要到高层建筑的10层去,他从1层走到5层用了100秒,如果用同样的速度走到10层,则还需要多少秒? 【解析】由分析知，走每层需要的时间为： 100÷（5-1）， =100÷4， =25（秒）； 走到第10层所需时间： 25×（10-1）， =25×9， =225（秒）； 还需要的时间：225-100=125（秒）； 答：还需要125秒才能到达． 1.甲、乙二人比赛爬楼梯,甲跑到4层时,乙恰好跑到 3层,照这样计算,甲跑到16层时,乙跑到几层? 2. 有一座高楼，小红每上登一层需1.5分钟，每下走一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后又立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层。则这座楼共有层。 3. 在一幢高25层的大楼里,甲、乙两个比赛爬楼梯.甲到9楼时,乙刚上到5楼.照这样的速度,当甲到了顶层时乙到了几楼? 【敲钟听声】 有一个报时钟,每敲响一下,声音可持续3秒。如果敲响6下,那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束,一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束,一共需要多长时间? 【解析】 本题考查了学生解决实际问题的能力，关键是弄清敲钟的时间分成两部分计算，敲钟本身1下需要3秒；两次敲响之间的间隔需要5秒，间隔数=敲的次数-1；先求出每个间隔所经历的时间，再进一步解答即可。 【详解】 43-6×3=25 6次钟声有5个间隔,25÷5=5秒 12×3+（12-1）×5 =36+55 =91（秒） 【总结】 （1）本题是敲钟问题，关键是弄清敲钟的时间包括哪几部分； （2）根据所学可知，敲钟的时间，包括敲钟本身1下需要3秒钟，还有两次敲响之间的间隔需要的时间，根据经验可知，间隔数=敲的次数-1； （3）根据题意，敲6下，需要6×3=18秒；其中还要经历6-1=5个间隔，那么每个间隔所经历的时间是：（43-18）÷5=5秒；由此即可求得敲12下需要的时间即可。 1. 广场上的大钟5时敲响5下，8秒敲完。12时敲12下，需要多长时间? 2.科学家进行一项试验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几? 3. 有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间? 【接送过河】 49名探险队员过一条小河,只有一条可乘7人的橡皮艇,过一次河需3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少时间? 【解析】 因为有1人要当舵手把船划过来，也就是前次均渡过6人，6×7=42(人) 第2次渡7人刚好49人 48-42=7(人) 第1次只走1趟，而其余次要来回，则7×2+1=15趟 15×3=45(分钟) 答:全体队员渡到河对岸至少需要45分钟。 【总结】 ‌过河问题的解题思路主要包括以下几点： ‌明确问题条件‌： 确定需要过河的人数或物数量。 确定船的最大载量（包括船夫）。 确定往返一次所需的时间（如果时间也是问题的一部分）。 ‌理解关键原则‌： 每次过河后（除了最后一次），都必须有人驾船返回，以便接其他人过河。 最后一次过河则无需返回。‌1 ‌应用公式或策略‌： 可以使用公式：N次最多可渡过河的人数 = 最多渡河次数N × (最大载量-1)+1，来计算在给定条件下最多能有多少人过河。 也可以采用策略，如固定一人当船夫，以减少返回的次数，提高效率。 ‌具体解题步骤‌： 根据问题条件，首先安排一部分人过河。 然后，让其中一个人（通常是船夫）返回，以便接其他人。 重复这个过程，直到所有人都过河。 在最后一次过河时，无需返回。‌12 ‌考虑特殊情况‌： 如果船夫也是需要过河的人之一，则需要特别考虑船夫的返回问题。 如果时间也是问题的一部分，则需要计算并安排每次过河和返回的时间，以确保在规定时间内完成过河任务。 ‌优化解题方案‌： 尝试不同的过河和返回组合，以找到最优解。 使用图解或表格来帮助理解和记录每次过河和返回的情况，以便更好地优化方案。‌3 通过以上步骤，可以系统地解决过河问题，并找到最优的过河方案。 1.32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟。如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有多少人还在等待渡河？ 2.小华和小强要过河，小华需要5分钟，小强需要3分钟，他们只有一个手电筒，过河时必须使用手电筒。两人来回过河的最短时间为多少? 3.有五个人要过河，A需要1分钟，B需要2分钟，C需要5分钟，D需要8分钟，E需要10分钟。他们只有一个手电筒，每次只能过一个人，过河时必须使用手电筒。他们过河的最短时间为多少? 满分：100分 时间：60分钟 1.马路长180米,在马路一旁植树,每隔6米种一棵柳树(两头都种),每相邻两棵柳树闻又等距离种3棵槐树。问:柳树和槐树各种多少棵? 2.一个长为6060米的大堤,在堤上两旁每隔6米栽一棵柳树,然后在相邻的两棵柳树之间每隔2米栽一棵杨树。那么柳树和杨树各种了多少棵? 3.绿化队在一条大道两边从头至尾种树,路东种杨树89棵,相邻两棵之间相距45米。路西种柳树,相邻两棵之间相距30米。问:柳树种了多少棵? 4.学校举行春季运动会时,要在操场周围插上彩旗。已知操场的周长为500米,每隔5米插一面红旗,每两面红旗之间插一面黄旗。那么一共要插多少红旗面,要插多少黄旗面？ 在正方形鱼塘四周种上树,四个顶点都种一棵,这样每边都有 22棵,四周共种树多少棵? 6.某地在长5400米的河堤上建风力发电风车。从起点到终点每20米建一座风车,后经技术改进,只需每30米建一座风车,这样不必移动的风车应有多少座？ 7.在一个正五边形的池塘边上均匀地种杨树和柳树,各边上树的数量相等,顶点上都种一棵杨树,相邻的两棵杨树之间等距离地种3棵柳树,一共种了60棵杨树。问:每一条边上种的杨树和柳树一共有多少棵? 8.一个街心花园，如图所示,它由一个圆和若干个大小相等的等边三角形组成,圆的周长为36米,从每个小三角形的顶点到下个顶点均栽种9株花,圆周上每隔40厘米种1株花，整个花园共栽多少株花。 9.400米环形跑道上等距离插了40面旗,小红从第1面旗跑到第10面旗用了18秒,而小明要用27秒。当小明跑到第25面旗时小红跑到了第几面旗? 10.下图是一个水渠,水渠的内外侧都是正三角形(三条边都相等),外侧间隔3米、内侧间隔2米种树,已知每个顶点都种了树,共种111棵树。问:内外侧各种多少棵树? 11.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度,测量出从经过第1根电线杆起到经过第40根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少? 12.用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米,那么每张纸条长多少厘米? 13.李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树。李大从第1棵树走到第15棵树用了7分,李大爷又往前走了几棵后就往回走,当他回到第5棵树时共用了30分。李大爷散步到第几棵树时开始往回走? 14.河堤上有一排树共100棵,从左往右数,第78棵起往右都是一班种的;从右往左数,第67棵起往左都是三班种的;其余的是二班种的。问:二班种了多少棵? 15.把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问:每条边上黑、白棋子共有多少枚? 16.要砌一个高125厘米的砖垛,每层砖都按图所示的样子来砌,每块砖的厚度是5厘米,每两砖之间的灰膏厚1厘米。问:砌好这个砖共需多少块砖? 17.正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发,向不同的方向走去(如图),甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇。 （1）操场四周栽了多少棵树? （2）这个操场的周长是多少米？ 【巩固提升】参考答案 1. 某学校计划在一条长为200米的直线道路两侧植树，如果每隔5米植一棵树，并且两端都植树，那么需要准备多少棵树苗? 【分析】 两端都栽的植树问题，公式是：颗数＝间隔数＋1＝全长÷间距＋1。 【详解】 200÷5＋1 ＝40＋1 ＝41（棵） 【点睛】此题考查两端植树问题，注意区分是单边植树还是双边植树。 2. 学校有125人参加运动会的入场式，他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米。他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 【解析】 本题考查植树问题。间隔数=棵数-1。根据题意，用总人数除以每排人数，求出排数， 再减去1，求出间隔数，再乘前后两排的距离，求出队伍长度，再加上主席台的长度，求出需要行驶的路程，再除以每分钟行驶的路程，求出需要[2×(125÷5-1)+32]÷40=2（分）才能通过主席台。 【详解】 [2×(125÷5-1)+32]÷40 =80÷40 =2（分） 答：需要2分钟才能通过主席台。 3.李大爷以相同的速度在布满电线杆的乡间小路上散步。他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分钟（每相邻两根电线杆之间的距离相等）。李大爷用36分钟能从第四根电线杆走到第几根电线杆? 【解析】 先求出走一个间隔所需的时间，然后求36分钟可走几个间隔，最后根据起点根数和终点根数之间的关系求出走到第几根电线杆。间隔数为12-1=11（个），走一个间隔用的时间为22÷11=2（分钟），间隔数为36÷2=18（个），终点根数=起点根数+间隔数，即走到第 18+4=22（根）电线杆。 【详解】 22÷(12-1)=2(分钟)  36÷2=18(个) 18+4=22（根） 答：李大爷用36分钟能从第四根电线杆走到第22根电线杆。 1.金陵饭店在门口一条24米的迎宾路一侧摆花，每隔3米摆1盆，一端摆一端不摆。问这条迎宾路上摆了多少盆花? 【详解】 间隔数:24÷3=8(个) 盆数:8盆 答:这条迎宾路上摆了8盆花。 2. 在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设根,若公路两端都不架设，共需电线多少根? 【解析】 本题主要考查学生解决植树问题的能力，解答本题的关键是熟记植树问题之开放型两端都不种的问题的公式：棵数=段数－1。 （1）本题是一道关于植树问题的解答题，根据植树问题的公式进行解答即可； （2）分析题意可知，先用除法求出2500m里面有多少个50m； （3）因为公路两端都不架设，所以，用所求结果减去1，即为架设的电线杆的根数。 【详解】2500÷50-1=49（根） 答：一共需要49根电线杆。 3.两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵? 【解析】两座楼房之间栽雪松，两端都不需要栽。根据“间隔数=总距离÷株距”和“棵数=间隔数-1“来求解。 【详解】56÷4-1=13(棵) 答：一行能栽13棵。 1.兔子朱迪帮兔子爸爸种胡萝卜，在长35分米的菜地中种一排胡萝卜，每隔5分米种1棵，两端都不种。免子朱迪一共种了多少棵胡萝卜? 【详解】 间隔数:35÷5=7(个) 棵数:7-1=6(棵) 答:兔子朱迪一共种了6棵胡萝卜 2.有一条乡村公路，在公路的一边安装路灯，每隔8米安装1盏，两端都不安，一共安装了7盏路灯，这条公路长多少米? 【解析】 两端不种：棵数=间隔数-1 【详解】 间隔数:7+1=8(个 总长:8×8=64(米) 答:这条公路长64米。 3.在教学楼与图书馆之间小路的一侧种树，每隔10米种一棵树，共种20棵，教学楼和图书馆两头都不种树，请问教学楼到图书馆有多少米？ 【解答】 (20+1)×10=210(米) 答:教学楼到图书馆有210米。 1. 一条长2000米的公路,两旁每隔20米种一棵杨树(两头都种),每两棵杨树之间等距离种三棵枫树。这条公路上一共种枫树多少棵? 【解析】 一旁杨树数量： 2000÷20+1=101（棵）, 一旁杨树间隔段数： 101-1=100（段）, 一旁枫树数量： 100×3=300（棵）, 两旁枫树总数： 300×2 =600（棵）, 答：这条公路上总共种了600棵枫树。 2. 有一根 180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段? 【解析】 （1）每3厘米作一记号，共有记号: 180÷3-1=59(个) （2）每4厘米作一记号，共有记号:180÷4-1=44（个） （3）其中重复的共有: 180÷12-1=14(个) （4）所以记号共有: 59+44-14=89(个) （5）绳子共被剪成了89+1=90(段) 3. 有一个圆形花坛,它的外周长180米,沿着它的外围,每隔6米栽一株杜鹃花,然后在相邻的两株杜鹃花之间等距离地栽上两株百合花。问:可栽杜鹃花多少株?可栽百合花多少株?两株相邻的杜鹃花之间的两株百合花相距多少米? 【解析】 180÷6-=30(段) 杜鹃:30×1=30(株) 百合:30×2-=0(株) 相距:6÷(2+1)=2(米)或180÷(30+60)=2(米) 1. 为了迎接儿童节，同学们在学校的一条长廊两边各摆了21盆月季花，每相邻两盆花之间间隔5米。摆完后觉得不好看，于是全部换成菊花，每隔4米放一盆。问:需要多少盆菊花? 【解析】长廊长度计算： （21-1）×5=100（米）, 换成菊花每边需要： 100÷4=25（段）, 25+1=26（盆）, 两边一共需要： 26×2=52（盆）, 答：需要52盆菊花. 2. 一条马路两边各插了51面黄旗，每两面黄旗之间相隔3米，为了美观，现在全部换成红旗，每隔5米插一面红旗。问:总共需要多少面红旗? 【解析】 (51-1)×3 =50 ×3 =150(米) (150÷5+1)×2 =(30+1)×2 =31×2 =62(面) 答:总共需要62面红旗。 3. 某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩，一共打了49个木桩，现在要改成每隔4米打一个木桩。那么可以不拔的木桩共有多少个? 【解析】 不拔出来的木桩，必须能被 3 和 4 整除。即从第一根开始每隔 3×4=12 米有一根不拔，这样我们求出总长(49-1)×3=144 米，故应有 144÷12+1=13 根木桩不用拔出。 【详解】 原先木桩数量49个，每隔3米一个，直道长度： (49-1)×3=144（米）, 3和4的最小公倍数为12，每隔12米木桩重合，重合木桩数量： 144÷12+1=13（个）, 答：可以不拔出的木桩共有13个。 1. 由9条相等的线段组成4个等边小三角形(如下图),在每条边上植8棵树。那么至少需要多少棵树? 【解析】共有9条线段，3个端点是两条线段公用，3个端点是四条线段公用。 8×9-（2-1）×3-（4-1）×3 =72-3-9 =60（棵） 2. 48棵树,排成一个正六边形,每一条边上的树的棵数都相等,顶点上都种一棵树。 问:每条边上有几棵树? 【解析】 正六边形有6个顶点，各种上一棵树后，剩余的树为 48-6=42(棵)剩下的树平均种到六条边上 42-6=7(棵) 所以每条边上有7+2=9(棵) 答:每条边上有9棵树。 3. 正方形广场的边界上共插有48面黄旗和红旗,每条边上的旗子数目相同,且每两面红旗间的黄旗数目也相同,如果四个角上都插有红旗,每条边上的红旗比黄旗少5面。那么每两面红旗间有几面黄旗? 【解析】每条边上红加黄：(48+4)÷4=13(面)， 每条边上红：(13-5)÷2=4(面)， 每条边上黄：13-4=9(面)， 相邻两面红旗间有黄旗9÷(4-1)=3(面), 答：每两面红旗间有3面黄旗。 1.一根木头锯成2段，需要3分钟，要锯成6段，一共需要几分钟? 【解析】由题可知，一根木头锯成2段，需要3分钟，因为把木头锯成2段，只需要1次，所以锯一次木头需要3分钟，要剪成6段，需要次数：6-1=5（次），共需时间：3×5=15（分钟）， 【详解】 2-1=1（次） 1×3=3（分钟） 6-1=5（次） 3×5=5（分钟） 答：一共需要15分钟。 2.一根长30厘米的铁丝剪成7段，每剪一次要用2分钟，一共需要几分钟？ 【解析】根据题意，一根铁丝剪成7段，则总共需要剪7-1=6（次），每剪一次要用2分钟，则总共的时间就用每剪一次的时间乘剪的次数即可，为2×6=12（分钟）， 【详解】 2×(7-1)=12（分钟） 答：一共需要12分钟。 3.用15秒可以将一根木料锯成四段,问:用同样的速度将这根木料锯成五段需要几秒钟? 【解析】因为将一根木料锯成4段需要锯3次，所用的时间为15秒，所以锯1次需要的时间为：15÷3=5（秒），锯成5段需要锯的次数为：5-1=4（次），所需的时间为：4×5=20（秒）。 【详解】4-1=3（次） 15÷3=5（秒） 5-1=4（次） 4×5=20（秒） 答：需要20秒的时间。 1.甲、乙二人比赛爬楼梯,甲跑到4层时,乙恰好跑到 3层,照这样计算,甲跑到16层时,乙跑到几层? 【解析】因为甲跑到四层楼是跑了（4-1）个楼层间隔，乙恰好跑到三层楼，是跑了（3-1）个楼层间隔，由此得出乙的速度是甲的（3-1）÷（4-1）；再由甲跑到第十六层楼时是跑了（16-1）个楼层间隔，进而求出乙跑的楼层间隔数，从而求出乙跑到第几层楼． 【详解】 解：（16-1）×[（3-1）÷（4-1）]+1， =15×+1， =10+1， =11（层）， 答：甲跑到第十六层楼时，乙跑到第11层楼。 2. 有一座高楼，小红每上登一层需1.5分钟，每下走一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后又立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层。则这座楼共有层。 【解析】由题意，小红从开始走到返回底层所用时间为15+17 =32(分钟) 上、下一层需要1.5+0.5 =2(分钟) 所以楼梯数为32+2=16(个) 这座楼层数为:16+1=17(层)。 3. 在一幢高25层的大楼里,甲、乙两个比赛爬楼梯.甲到9楼时,乙刚上到5楼.照这样的速度,当甲到了顶层时乙到了几楼? 【解析】速度比是： （9-1）：（5-1）=8：4=2：1， （25-1）×=8（个）， 12+1=13（层）； 答：乙可以到达13层。 1. 广场上的大钟5时敲响5下，8秒敲完。12时敲12下，需要多长时间? 【解析】 5时敲5下,间隔=5-1=4个,每个间隔的时间=8÷4=2秒 12时敲12下,间隔=12-1=11个,需要的时间=11×2=22秒 8÷(5-1)×(12-1) =8÷4×11 =2×11 =22（秒） 答：12时敲12下,需要22秒。 2.科学家进行一项试验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几? 【解析】从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共5×11=55（小时）．时针转一圈是12小时，55除以12余数是7，所以，9-7=2；据此解答。 【详解】5×（12-1） =5×11 =55（小时） 55÷12=4…7 9-7=2 答：时针指向2。 3. 有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间? 【解析】 每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是43 -3= 40(秒)，而这之间只有6-1=5(个)间隔，所以每个间隔时间是40-5=8(秒)，现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是:11×8+3=91(秒) 1.32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟。如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有多少人还在等待渡河？ 【解析】9点—9点15分已经运过去9人；9点17分的时候还有4人在河中间。因此，剩余32－9－4＝19人。 2.小华和小强要过河，小华需要5分钟，小强需要3分钟，他们只有一个手电筒，过河时必须使用手电筒。两人来回过河的最短时间为多少? 【解析】 最短时间为7分钟。 首先，小强拿着手电简过河，用时3分钟然后小强把手电筒送回给小华，用时3分钟。 接着小华拿着手电筒过河，用时5分钟。 最后小强再次过河，用时3分钟。 总共用时3+3+5+3=14 分钟。 3.有五个人要过河，A需要1分钟，B需要2分钟，C需要5分钟，D需要8分钟，E需要10分钟。他们只有一个手电筒，每次只能过一个人，过河时必须使用手电筒。他们过河的最短时间为多少? 【解析】最短时间为21分钟。 首先，A和B一起过河，用时2分钟。 然后A回来，用时1分钟。 接着C和D一起过河，用时8分钟。 然后B回来，用时2分钟。 接着A和E一起过河，用时10分钟。 最后A回来用时1分钟。 最后A和B一起过河，用时2分钟。 总共用时2+1+8+2+10+1+2=26分钟 满分：100分 时间：60分钟 【经典测试】参考答案 1.马路长180米,在马路一旁植树,每隔6米种一棵柳树(两头都种),每相邻两棵柳树闻又等距离种3棵槐树。问:柳树和槐树各种多少棵? 【解析】 马路总长：180米。 柳树数量： 180÷6+1=31（棵） 槐树数量： 3×30=90（棵）（因为31棵柳树之间有30段距离） 答：柳树种了31棵，槐树种了90棵。 2.一个长为6060米的大堤,在堤上两旁每隔6米栽一棵柳树,然后在相邻的两棵柳树之间每隔2米栽一棵杨树。那么柳树和杨树各种了多少棵? 【解析】柳树：6060÷6=1010（棵），（1010+1）×2022（棵） 杨树:(6÷2-1)×1010×2 =2×1010×2 =4040(棵) 答:杨树栽4040棵,柳树栽2022棵。 3.绿化队在一条大道两边从头至尾种树,路东种杨树89棵,相邻两棵之间相距45米。路西种柳树,相邻两棵之间相距30米。问:柳树种了多少棵? 【详解】(89-1)×45=3960(米) 3960÷30+1=133(棵) 4.学校举行春季运动会时,要在操场周围插上彩旗。已知操场的周长为500米,每隔5米插一面红旗,每两面红旗之间插一面黄旗。那么一共要插多少红旗面,要插多少黄旗面？ 在正方形鱼塘四周种上树,四个顶点都种一棵,这样每边都有 22棵,四周共种树多少棵? 【解析】 在一个周长为500米的操场周围插上彩旗，每隔5米插一面红旗， 一共插红旗：500÷5=100（面） 在相邻的2面红旗间插1面黄旗，一共有100个空，所以共插黄旗100面。 6.某地在长5400米的河堤上建风力发电风车。从起点到终点每20米建一座风车,后经技术改进,只需每30米建一座风车,这样不必移动的风车应有多少座？ 【解析】 每隔20米建一座风车，风车位置： 20、40、60...， 技术改进后，每隔30米建一座风车，风车位置： 30、60、90...， 不必移动的风车位置：60、120、180...， 60是20和30的最小公倍数 所以不必移动的风车数量： 5400÷60+1=90+1=91（座） 答：不必移动的风车应有91座。 7.在一个正五边形的池塘边上均匀地种杨树和柳树,各边上树的数量相等,顶点上都种一棵杨树,相邻的两棵杨树之间等距离地种3棵柳树,一共种了60棵杨树。问:每一条边上种的杨树和柳树一共有多少棵? 【解析】 60+5=65(棵) 65÷5=13(棵) 13-1=12(个) 12×3=36(棵) 答:每条边上杨树13棵，柳树36棵。 8.一个街心花园，如图所示,它由一个圆和若干个大小相等的等边三角形组成,圆的周长为36米,从每个小三角形的顶点到下个顶点均栽种9株花,圆周上每隔40厘米种1株花，整个花园共栽多少株花。 【解答】(9-2)×24+13=181(株) 3600÷40=90(株) 181+90-6=265(株) 9.400米环形跑道上等距离插了40面旗,小红从第1面旗跑到第10面旗用了18秒,而小明要用27秒。当小明跑到第25面旗时小红跑到了第几面旗? 【详解】 10－1＝9(段)(植树问题之开放型两端都种：棵数=段数+1 18÷9＝2(秒) 27÷9＝3(秒) 25－1＝24(段)(植树问题之开放型两端都种：棵数=段数+1 3×24÷2＝36(段) 36＋1＝37(面)(植树问题之开放型两端都种：棵数=段数+1 故答案为：当小明跑到第25面时，小红跑到第37面旗。 【小结】 通过做此题，加深了我们对植树问题的认识，本题是开放型两端都种：棵数=段数+1，做植树问题的关键是找出棵树和段数的关系，进而求解. （1）这是植树问题之开放型两端都种：棵数=段数+1； （2）从第1面旗跑到第10面旗是9段，知道小红用了18秒，小明用了27秒，可以求出每段需要用多少时间； （3）小明跑到25面，跑了24段，求出小明用的时间，也就是小红用的时间，进而求出小红跑了多少段，跑到第几面旗. 10.下图是一个水渠,水渠的内外侧都是正三角形(三条边都相等),外侧间隔3米、内侧间隔2米种树,已知每个顶点都种了树,共种111棵树。问:内外侧各种多少棵树? 【解析】 因为外3米,内2米一棵,则内三角形的边长一定是6的倍数,假设内三角形边长为6米时,内种9棵,外种12棵 111-9-12=90(棵) 以后内三角形边长每增加6米,内三角形上需加种9棵,外三角形上需加种6棵 90÷(9+6)=6(倍) 内:6×9+9=63(棵) 外:6×6+12=48(棵) 答:内侧种63棵树,外侧种48棵树。 11.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度,测量出从经过第1根电线杆起到经过第40根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少? 【解析】根据“间隔的个数一点的个数一1”可知从经过第1根电线杆起到经过第40根电线杆止共走了39个50米,进而根据“速度=路程÷时间”可求出火车的速度 【详解】39×50=1950(米) 2分=120秒 1950÷120=16.25(米/秒) 12.用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米,那么每张纸条长多少厘米? 【解析】依据题意，10张纸条有9处接头，每个接头处重叠1厘米，即重叠了9厘米，61+9即是10张纸条的总长度，再除以10即可。 本题属于比较复杂的应用题，考查学生的分析判断能力，本题解题的关键就是想清楚接头重叠1厘米，即61厘米比10张纸条的总长度减少了9厘米。 【详解】(61+9)÷10 =70÷10 =7(厘米) 答：每条纸条长7厘米。 13.李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树。李大从第1棵树走到第15棵树用了7分,李大爷又往前走了几棵后就往回走,当他回到第5棵树时共用了30分。李大爷散步到第几棵树时开始往回走? 【解析】从1棵到15棵，走的间隔数是：15-1=14个，共用了7分钟，那么走一个间隔数用：7÷14=0.5（分）；他回到第5棵树时，原来的15棵他走了：15-5=10个间隔，李大爷从第15棵后又走了：[（30-7）÷0.5-10]÷2=18个间隔，所以李大爷步行到第：15+18=23棵树时就开始往回走；据此解答． 【详解】 解：7÷（15-1）=0.5（分钟）， 15-5=10（个）， [（30-7）÷0.5-10]÷2=18（个）， 15+18=33（棵）； 答：李大爷步行到第23棵树时就开始往回走。 14.河堤上有一排树共100棵,从左往右数,第78棵起往右都是一班种的;从右往左数,第67棵起往左都是三班种的;其余的是二班种的。问:二班种了多少棵? 【分析】 此题可以用重叠问题来解答。右数78棵与左数67棵重叠的部分减去2，就是二班种树的棵数，即78+67﹣100﹣2 【详解】 78+67-100-2， =145-100-2， =43（棵）； 答：二班种了43棵。 15.把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问:每条边上黑、白棋子共有多少枚? 【解析】 因为正五边形的每个顶点处都有1枚黑子，所以每条边上都有黑子（50+5）÷5=11枚，则每条边上就有11-1=10个间隔，则可得每个间隔上有白子10×2=20个，据此即可解答。 【详解】 每条边上的黑子有：（50+5）÷5=11（枚）， 白子有（11-1）×2=20（枚）， 答：每条边有黑子11枚，白子20枚。 16.要砌一个高125厘米的砖垛,每层砖都按图所示的样子来砌,每块砖的厚度是5厘米,每两砖之间的灰膏厚1厘米。问:砌好这个砖共需多少块砖? 【解析】 [(125-5)÷(5+1)+1]×(2×4） =(120÷6+1)×5 =(20+1)×8 =21×8 =168(块) 答:砌好这个砖垛共需168块砖。 17.正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发,向不同的方向走去(如图),甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇。 （1）操场四周栽了多少棵树? （2）这个操场的周长是多少米？ 【分析】 由题意知,甲的速度是乙的2倍,乙在拐了一个弯(即走了正方形的一条边多)时,甲拐了两个弯(即走了正方形的两条边多),也就是说他们相遇的这条边甲走的是乙的2倍;所以乙走了5个间隔,那么甲走了5×2=10个间隔,即正方形的一边有10+5=15个间隔(即有15棵树),则正方形的一条边的长为15×5=75米,之后再根据“植树问题”即可求得问题①的答案,据四边形的周长公式求得问题②的答案了. 【详解】 解:①5×2=10(棵) 10+5=15(棵) 15×4=60(棵) ②15×5×4=300(米) 2 学科网（北京）股份有限公司 $$