精品解析：湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷考试时量120分钟，满分120分； 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3、请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案） 1. 在下列各数中是无理数的有（ ） （相邻两个1之间依次增加1个0）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C D. 3. 使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 5. 不等式解集在数轴上表示出来，正确的是　　 A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是( ) A. ＝﹣9 B. =2 C. D. 7. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 8. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于x的不等式 的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分） 11. 64的平方根是______． 12. 计算___________ 13. 如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于_____． 14. 若关于x、y的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是__． 15. 如图，在中，， 的垂直平分线分别交、于点D、E，则______ 16. 若关于x的分式方程无解，则a的值为_____． 17. 定义运算“※”：若，则值为_______． 18. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 ______ 三、解答题（本题共8个小题，共计66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解． 22. 先化简 ，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值． 23. 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F． （1）求证：EF＝EG． （2）求证：AB＝CD． 24. 阅读下列解题过程： ，请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算 （2）请直接写出的结果． （3）利用上面的解法，请化简： 25 明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同． （1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元； （2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？ 26. 阅读理解； （1）如图①，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断． 之间的等量关系为 （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点F，E 是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷考试时量120分钟，满分120分； 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3、请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案） 1. 在下列各数中是无理数的有（ ） （相邻两个1之间依次增加1个0）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（相邻两个1之间依次增加1个0），共3个； 故选：C． 2. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可判断四个选项的正误． 【详解】A、，，故本选项不符合题意； B、，，故本选项不符合题意； C、，，故选项不符合题意； D、，，，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，注意不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解本题的关键． 3. 使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件即可求解．熟练掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：且， 故选：D． 4. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性． 故选：C． 5. 不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用不等式的性质求出原不等式的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】， ， ， ． 在数轴上表示如下图所示： 故选C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，关键是明确解不等式的方法，会在数轴上表示不等式的解集． 6. 下列运算结果正确的是( ) A. ＝﹣9 B. =2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为=9,所以A错误, 因为,所以B正确, 因为,所以C错误, 因为,所以D错误,故选B. 7. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解得情况求参数的范围，求出方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义的条件，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵分式方程的解为正实数， ∴且， ∴且， ∴且； 故选C． 8. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题关键是正确找出题目中的等量关系，用代数式表示出等量关系中的各个数量． 设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意列方程即可． 【详解】设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均每小时走千米， 根据题意可列方程为． 故选：D． 9. 如果关于x的不等式 的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，根据不等式的解集结合不等式的性质，可得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式 的解集为， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分） 11. 64的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴64的平方根是， 故答案为：． 12. 计算___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法，利用乘法公式和分式的性质，约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于_____． 【答案】230° 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=50°， ∴∠A+∠B=180°-∠C=130°， ∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°， ∴∠1+∠2=360°-130°=230°． 故答案为230°． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和以及多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）．180° （n≥3）且n为整数）． 14. 若关于x、y的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是__． 【答案】m＜3 【解析】 【分析】把方程组中的方程①与方程②相加，得出x+y的表达式，再根据x+y＞0得到关于m的不等式，解不等式即可. 【详解】解：方程组 ①+②得：3x+3y=3-m， 即：， 又∵x+y＞0， ∴＞0， 解得：m＜3 故答案为：m＜3. 【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组与一元一次不等式解法是解题的关键. 15. 如图，在中，， 的垂直平分线分别交、于点D、E，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，推出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：在中，， ， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x分式方程无解，则a的值为_____． 【答案】﹣1或0 【解析】 【分析】分式方程无解有两种情况：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解，据此解答即可． 【详解】解：去分母，得ax+a＝2a+2， 整理，得ax＝a+2， 当a＝0时，方程无解； 当a≠0时，x＝． ∵当x＝﹣1时，分式方程无解， ∴=﹣1，解得：a=﹣1． 故答案为：﹣1或0． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，解题的关键是既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 17. 定义运算“※”：若，则的值为_______． 【答案】或10 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据新定义，分两种情况，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，解得， 经检验，是原分式方程解． 综上所述，或10． 故答案为：或10． 18. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 ______ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，根据等边三角形的性质和旋转的性质，得到，即可得到是等边三角形判断①；根据，得到，判断②；将的周长转化为，判断③；根据三角形的外角和角的和差关系判断④即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴是等边三角形；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∵周长；故③正确； ∵， 又∵， ∴；故④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题共8个小题，共计66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先进行零指数幂，负整数指数幂，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以，得：， 移项合并得：， 检验：当时， 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得， ， ， ， 当时， 原方程无解． 21. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解． 【答案】不等式组的解集为：-3＜x≤2．其非负整数解为：0，1，2． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：，由①得，x＞-3，由②得，x≤2， 故不等式组的解集为：-3＜x≤2． 在数轴上表示为： 其非负整数解为：0，1，2． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 22. 先化简 ，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式，根据分式的混合运算法则进行化简，然后求出不等式的正整数解，找到一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ． 解不等式得：． 正整数解为：1，2，3， ∵， ∴， ∴， ∴当时，原式． 23. 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F． （1）求证：EF＝EG． （2）求证：AB＝CD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由AAS证明△CGE≌△BFE，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可得BF＝CG，利用AAS即可证明△ABF≌△DCG，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵CG⊥DE，BF⊥DE， ∴∠CGE＝∠BFE＝90°． 在△CGE和△BFE中， ∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE， ∴△CGE≌△BFE（AAS）， ∴EF＝EG． （2）∵△CGE≌△BFE（AAS）， ∴BF＝CG． 在△ABF和△DCG中， ∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB＝CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 24. 阅读下列解题过程： ，请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算 （2）请直接写出的结果． （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）利用分母有理化进行求解即可； （2）利用分母有理化进行求解即可； （3）先进行分母有理化，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 原式． 25. 明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同． （1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元； （2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元；（2）学校有三种购买方案，方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台． 【解析】 【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；再结合m为整数即可得出各种购买方案； 【详解】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元， 根据题意得： ＝ ， 解得：x＝0.3， 经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5． 答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元． （2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台， 根据题意得： ， 解得：48≤m≤50． 又∵m为整数， ∴m可以取48，49，50． ∴学校有三种购买方案， 方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台； 方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台； 方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键； 26. 阅读理解； （1）如图①，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断． 之间的等量关系为 （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点F，E 是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再证得，于是，进一步即得结论； （2）延长交的延长线于点，如图②，证明，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论． 【小问1详解】 解：． 理由如下：如图①，∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为． 【小问2详解】 ． 理由如下：如图②，延长交的延长线于点． ∵， ∴， ∵点是的中点， ， 又∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$