培优专题 分式的混合运算（知识盘点+11题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

培优专题 分式的混合运算 同分母分式加减法的法则 1.文字语言 同分母分式相加减，分母不变,分子相加减 2.符号语言 提示 (1)法则中的“分母不变”就是加减运算时所取的分母是原分式中的分母 (2)“分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减即各个分子都应有括号，当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略 (3)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式 （22-23八年级下·江苏苏州·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据同分母分式的加减法计算即可求解． 【详解】解：． 异分母分式加减法的法则 1.文字语言 异分母分式相加减先将它们化为同分母的分式然后进行加减 2.符号语言 异分母分式加减运算的一般步骤 (1)通分: 将异分号的分式化成同分母的分式; (2)加减: 按同分母的分式加减法法则写成“分母不变、分子相加减”的形式; (3)合并:分子去括号、合并同类项; (4)约分:分子、分母约分，把结果化成最简分式或整式 简记为“一通分，二加减,三合并，因约分” （22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化成同分母，然后再算减法，后化简即可． （2）首先化成同分母，然后再算减法，后化简即可． 此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握分式加减法计算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 分式的混合运算 分式混合运算与分数的加减乘除及乘方混合运算一样,先算乘方，再算乘除最后进行加减运算，如果有括号的，一般要先算括号内的，再算括号外的 注意 (1)对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减； (2)要灵活运用交换律、结合律与分配律； (3)分式的运算结果一般化简成最简分式或整式. （23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 分式的乘法法则 1.概念 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2.符号语言 （23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先将分子分母因式分解，然后根据分式的乘法运算法则求解即可． 【详解】 ． 故选：A． 分式的除法法则 1.概念 分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 2.符号语言 【提示】(1)分式的除法运算常转化为分式的乘法运算;(2)分式乘除运算结果必须是最简分式或整式. （23-24八年级下·江苏·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 分式的乘除混合运算 1.运算法则 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算 2.运算顺序 分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，属于同级运算，即按照从左到右的顺序计算,有括号时先算括号里面的 【特别提醒】分式化简求值的一般方法:(1)先化简,在分式的混合运算中,先乘方,再乘除,进行约分,最后加减.有括号应先算括号内的.(2)再求值:对于自己选取一个值代入求值这类题,选取字母的值必须要保证原式有意义. （22-23八年级下·江苏·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 分式的乘方法则 1.概念 分式的乘方等于把分子分分别乘方 2.符号语言 提示 (1) 分式乘方时，先确定乘方结果的符号,它和实数乘方确定符号的方法相同:正数的任何次方都是正数;负数的偶次方为正数,奇次方为负数 (2) 分式乘方时，一定要把分式加上括号. （23-24八年级下·江苏·期中）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解． 【详解】、，故本选项错误，符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 同分母分式加减法 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据分式约分即可求解； （）根据分式异分母加法运算法则即可求解； 本题考查了分式约分，异分母加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式加减运算：同分母分式的加减法是分母不变，分式相加减；异分母分式的加减法运算通过通分转化为同分母的加减运算． （1）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案； （2）先把分式的分子与分母进行因式分解，再化成同分母分式，然后进行约分，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那么当矩形周长为16时，其面积最大值是 ；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，进而推导出“式子”的最小值，则这个最小值是 ． 【答案】 16 6 【分析】此题考查了分式的运算，弄清题意是解题的关键． 根据“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，即可求出面积最大值；在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为，根据“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，即可解答． 【详解】解：∵在周长一定的矩形中，正方形面积最大， ∴当矩形周长为16时，其面积最大值， 在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为， ∵在面积一定的矩形中，正方形的周长最短， ∴面积为9的矩形中，周长最小值为， ∴， 故答案为：16，6． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算 【答案】c 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 异分母分式加减法 （22-23八年级下·江苏扬州·期中）观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了规律探究，相关知识点由：分式的运算，准确探究出规律是解题关键． （1）根据规律即可得出； （2）利用分式的加减计算证明即可； （3）将每一个式子根据规律变形化简即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）证明：， ∴； （3）解： ． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的加减，不等式的性质，由得，进而可得出． 【详解】解： ∵，∴ ∴ ∴ ∴ 7．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）化简∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的减法运算； （1）把分子分母分解因式，约分即可； （2）先通分，再计算减法运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，根据已知条件中的新定义，把所求式子写成两个分式相减的形式，然后进行通分，从而进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 整式与分式相加减 （22-23八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 【答案】(1)①②③ (2) (3)0或2 【分析】（1）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④化不成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和谐分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ， 或2． 【点睛】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果； （2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加减与化简求值，熟练掌握分式的加减法是解题的关键．根据已知条件可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故答案为：①②． 分式加减混合运算 （23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【答案】(1)②③ (2)或 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可； 本题考查了分式的加减法和绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，正确理解新定义的法则是解题关键． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②③， （2）设分式的“美妙分式”为， 则 ， 或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或. 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 16．（22-23八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 分式加减的实际应用 （23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3）详见解析 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 18．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 19．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地． (1)若该汽车先以的速度行驶了，再以的速度行驶了剩下的路程，求该汽车从甲地到乙地的时间； (2)若该汽车采用以下两种不同方式行驶： 方式1：前的路程以速度行驶，后的路程以速度行驶； 方式2：前的时间以速度行驶，后的时间以速度行驶． ①设该汽车以方式1、方式2行驶到达目的地的时间分别为、．请用含a、b的代数式分别表示，； ②当时，哪种方式先到达目的地？请说明理由； 【答案】(1) (2)①t1＝，t2＝；②方式2先到达目的地，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的应用，列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）利用路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）①利用路程除以速度等于时间分别列式计算，即可；②利用作差的方法比较两个分式的值的大小即可得到结论． 【详解】（1）解： 答：该汽车从甲地到乙地的时间为． （2）①由题意可得：， ， ②∵ ∵，，， ∴， 即，所以． 答：方式2先到达目的地． 20．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x＋2＝t，则x＝t－2． 原式，所以． 这样，分式就拆分成一个整式（x－5）与一个分式的和的形式． (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_________． (2)已知分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2)或2或10或 【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可； （2）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）设，则， ∴， ∴， ， ∵x是整数， ∴， 解得：或2或10或． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 分式乘法 （23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： （1）； （2）； （3）先化简，再从，1，0三个数中，选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）；（3），当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值： （1）根据分式乘法计算法则求解即可； （2）先计算小括号内的同分母分式减法，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （3）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解：（1）； （2） ； （3） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 22．（23-24八年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，异分母分式减法计算，分式的混合计算： （1）根据分式乘法计算法则求解即可； （2）根据分式除法计算法则求解即可； （3）先通分，然后约分化简即可； （4）先把两个小括号内的式子通分，然后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了根据分式的加减乘法，掌握根据分式的加减乘法法则进行计算是关键． （1）根据分式的加减法法则进行计算； （2）根据分式的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 24．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减法和乘法，掌握分式的加减法的法则和乘除法的法则是解题的关键．根据分式的加减法的法则和乘法的法则计算后判定即可． 【详解】A． ，错误，该选项不符合题意； B． ，正确，该选项符合题意； C． ，错误，该选项不符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：B． 分式除法 （22-23八年级下·江苏扬州·期中）计算并化简： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简，正确掌握分式的除法运算法则，以及分式的加减运算法则是解题的关键． （1）先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，即可解题． （2）利用分式除法法则计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（2010·江苏苏州·中考真题）化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则． 【详解】 ， 故选：A ． 27．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将除法变为乘法约分计算即可； （2）先通分，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 28．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握其运算法则是解题的关键． 先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 分式乘除混合运算 （22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分式的计算是解题的关键． 30．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 31．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据分式的加法运算法则求解即可； （2）根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了分式的加法运算和乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 32．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，再同分母的分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的除法运算，根据运算法则正确的计算是解题的关键． 分式乘方 （22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的乘方运算．分别把分子、分母乘方是正确解答本题的关键． 【详解】解：， 故选D． 34．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）小明的练习本上有如下四道题，其中有一道题他做错了，这道题是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算各选项，进而可得结果． 【详解】解：，A错误，故符合要求； ，B正确，故不符合要求； ，C正确，故不符合要求； ，D正确，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的乘方，分式的加减运算．解题的关键在于正确的运算． 35．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）计算：（1）；   （2）﹣a﹣1． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算分式的乘方，幂的乘方，再算分式的乘除，最后化为最简分式； （2）先通分，利用公式展开，再合并同类项． 【详解】解：（1）；    =， =， =； （2）， =， =， =， =． 【点睛】本题考查分式的加减，分式的乘方，幂的乘方，分式乘除混合运算，掌握分式的加减，分式的乘方，幂的乘方，分式乘除混合运算是解题关键． 36．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂、负整指数幂和绝对值的化简进行求解即可； （2）根据分式的乘方和分式的乘除混合运算进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整指数幂、绝对值的化简、分式的乘方和分式的乘除混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 分式加减乘除混合运算 （22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）同分母相减，分母不变，分子相减； （2）先计算括号里的加法，然后计算除法． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 38．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，结合分式有意义的条件，取，将代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ，且， 且， 故当时， 上式． 39．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 40．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的加减乘除混合运算： （1）原式根据二次根式的性质，负整数指数幂以及零指数幂运算法则化简后再进行乘除运算即可； （2）原式先进行分式的乘方运算，再把除法转换为乘法后再进行计算即可； （3）原式先通分，再按同分母分式加减法法则进行计算即可； （4）原式先将括号内的进行通分，再把除法转换为乘法后，再进行约分拮可得答案 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ； （4）解： 分式化简求值 （22-23八年级下·江苏扬州·期中）对于两个非零的实数，定义运算如下：．例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 42．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 43．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】现将每项进行因式分解，然后进行化简得到，再将代入化简后的式子计算即可．本题考查因式分解，分式的计算，代入求值．能够进行准确的因式分解，分式的加减运算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，则 44．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，把 的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【例1】计算： 【答案】原式= 【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键. 【例2】的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】 = = = 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解． 1．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简求值．先把题目给的式子变形，然后将得到的结果进行倒数运算即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1 升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第n次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（  ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确 找出规律，如第次倒出的水为升．根据题意易知倒出水的规律，第次倒出的水为升，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，第一次倒出：（升）， 第二次倒出：（升）， 第三次倒出：（升）， 第次倒出：所以次共倒出：（升）， 所以第次倒出水后，还剩下水（升）． 故选：A 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】此题考查了解分式的加减法计算，根据异分母分式加法法则计算，再根据得到，即可求出A和B的值． 【详解】解：， ∵ ∴ ∴ 解得， 故答案为：2；． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 令题目中三个式子相加化简得出，再将分子分母同时除以，化简带入数值即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 根据题意可得， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)与互为“和整分式”，“和整值”为 (2)；或或 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； （2）解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 7．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式，如：． 解决下列问题： (1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (4)若分式的值为，求的取值范围． 【答案】(1)真分式； (2)0、1、3、4； (3)、、； (4)． 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解； （3）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解； （4）先把分式化为带分式，再根据非负数的意义求解． 【详解】（1）分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）是整数， 的值为：，， 的值为：0、1、3、4； （3）为整数， 的值为：、， 的值为：、、； （4）， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，理解新定义是解题的关键． 8．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分之后，和前面的1进行通分，进行减法计算即可； （2）先将分子、分母分别进行因式分解，再约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． 9．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先通过变形使分母相同，然后根据同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）根据分式乘除的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的乘除运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先通分，再求和化简即可； （2）先将括号内的合并，再按分式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 分式的混合运算 同分母分式加减法的法则 1.文字语言 同分母分式相加减，分母不变,分子相加减 2.符号语言 提示 (1)法则中的“分母不变”就是加减运算时所取的分母是原分式中的分母 (2)“分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减即各个分子都应有括号，当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略 (3)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式 （22-23八年级下·江苏苏州·期中）化简：． 异分母分式加减法的法则 1.文字语言 异分母分式相加减先将它们化为同分母的分式然后进行加减 2.符号语言 异分母分式加减运算的一般步骤 (1)通分: 将异分号的分式化成同分母的分式; (2)加减: 按同分母的分式加减法法则写成“分母不变、分子相加减”的形式; (3)合并:分子去括号、合并同类项; (4)约分:分子、分母约分，把结果化成最简分式或整式 简记为“一通分，二加减,三合并，因约分” （22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 分式的混合运算 分式混合运算与分数的加减乘除及乘方混合运算一样,先算乘方，再算乘除最后进行加减运算，如果有括号的，一般要先算括号内的，再算括号外的 注意 (1)对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减； (2)要灵活运用交换律、结合律与分配律； (3)分式的运算结果一般化简成最简分式或整式. （23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 分式的乘法法则 1.概念 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2.符号语言 （23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D．2 分式的除法法则 1.概念 分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 2.符号语言 【提示】(1)分式的除法运算常转化为分式的乘法运算;(2)分式乘除运算结果必须是最简分式或整式. （23-24八年级下·江苏·期末）化简： ． 分式的乘除混合运算 1.运算法则 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算 2.运算顺序 分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，属于同级运算，即按照从左到右的顺序计算,有括号时先算括号里面的 【特别提醒】分式化简求值的一般方法:(1)先化简,在分式的混合运算中,先乘方,再乘除,进行约分,最后加减.有括号应先算括号内的.(2)再求值:对于自己选取一个值代入求值这类题,选取字母的值必须要保证原式有意义. （22-23八年级下·江苏·期中）计算：． 分式的乘方法则 1.概念 分式的乘方等于把分子分分别乘方 2.符号语言 提示 (1) 分式乘方时，先确定乘方结果的符号,它和实数乘方确定符号的方法相同:正数的任何次方都是正数;负数的偶次方为正数,奇次方为负数 (2) 分式乘方时，一定要把分式加上括号. （23-24八年级下·江苏·期中）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 同分母分式加减法 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）化简： (1)； (2) 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那么当矩形周长为16时，其面积最大值是 ；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，进而推导出“式子”的最小值，则这个最小值是 ． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算 异分母分式加减法 5.（22-23八年级下·江苏扬州·期中）观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，试说明． 7．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）化简∶ (1) (2) 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 整式与分式相加减 9.（22-23八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 10．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 12．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 分式加减混合运算 13.（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 16．（22-23八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 分式加减的实际应用 17.（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 18．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 19．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地． (1)若该汽车先以的速度行驶了，再以的速度行驶了剩下的路程，求该汽车从甲地到乙地的时间； (2)若该汽车采用以下两种不同方式行驶： 方式1：前的路程以速度行驶，后的路程以速度行驶； 方式2：前的时间以速度行驶，后的时间以速度行驶． ①设该汽车以方式1、方式2行驶到达目的地的时间分别为、．请用含a、b的代数式分别表示，； ②当时，哪种方式先到达目的地？请说明理由； 20．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x＋2＝t，则x＝t－2． 原式，所以． 这样，分式就拆分成一个整式（x－5）与一个分式的和的形式． (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_________． (2)已知分式的值为整数，求整数x的值． 分式乘法 21.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： （1）； （2）； （3）先化简，再从，1，0三个数中，选一个恰当的数作为的值代入求值． 22．（23-24八年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 24．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 分式除法 25.（22-23八年级下·江苏扬州·期中）计算并化简： (1)． (2) 26．化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)． (2)． 28．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算：． 分式乘除混合运算 29.（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 30．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 31．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 32．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 分式乘方 33.（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）小明的练习本上有如下四道题，其中有一道题他做错了，这道题是（      ） A． B． C． D． 35．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）计算：（1）；   （2）﹣a﹣1． 36．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 分式加减乘除混合运算 37.（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 38．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 39．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 40．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 分式化简求值 41.（22-23八年级下·江苏扬州·期中）对于两个非零的实数，定义运算如下：．例如：．若，则的值为 ． 42．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值． 43．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 44． （22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 【例1】计算： 【例2】的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1 升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第n次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（  ） A．升 B．升 C．0升 D．升 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若，则 ， ． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 7．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式，如：． 解决下列问题： (1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (4)若分式的值为，求的取值范围． 8．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算 (1) (2) 9．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$