第10章 分式 期末易错50题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

第10章 分式 期末易错50题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，分式有意义的条件等知识．熟练掌握函数图象，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，可判断A的正误；当时，，即图象不经过第四象限，可判断B的正误；当时，，可求，即图象过，可判断C图象的正误；当时，，图象经过第三象限，当时，，图象经过第二象限，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴，故A图象不符合要求； 当时，，即图象不经过第四象限，故B图象不符合要求； 当时，， 解得，， ∴图象过，故C图象不符合要求； 当时，，图象经过第三象限， 当时，，图象经过第二象限，故D图象符合要求； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题的关键．设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元，再结合图像列出方程即可． 【详解】解：设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元， 根据题意可得：， 故选：D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系以及分式方程有意义的条件，由两支曲线的分界线在轴右侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】 的取值范围是 两支曲线的分界线位于轴的右侧 当时，函数图象位于轴的下方 当时， 又 故选：C． 4．（2022·黑龙江绥化·三模）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树万棵，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“提前10天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，需要天完成， 实际每天植树万棵，需要天完成， 提前10天完成任务， ， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解是解题的关键．根据运算法则计算分式方程，根据题意即可得到取值范围． 【详解】解：， 两边同时乘以，得， ， 检验得，当时，方程有增根， ， 解得， 由于关于的分式方程的解为非负数， ， 解得， 故的取值范围是且， 故答案为：且． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，根据已知条件中的新定义，把所求式子写成两个分式相减的形式，然后进行通分，从而进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，先求出分式方程的解，根据关于x的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且，即，， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 9．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0， ∴的值无限接近2， 故答案为2． 10．（22-23八年级下·江苏南京·期末）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 【答案】甲每小时比乙数少做6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙每小时做个，则甲每小时做个，根据甲乙的工作时间相同，可列方程． 【详解】解：根据方程可得设乙每小时做个，甲每小时做个， ∴被墨迹弄污的条件应是甲每小时比乙数少做6个， 故答案为：甲每小时比乙数少做6个． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 12．（2024·山东枣庄·一模）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程，根据分式方程的解，可知且，从而得解． 【详解】解关于的分式方程，得：， 根据题意，得∶，且， 解得∶ 且， 故答案为：且． 13．（11-12八年级上·湖北黄冈·期末）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是负数，确定出m的范围，但是必须保证分母不为零即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解是负数， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 14．（2024·山东聊城·一模）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简和求值，把整体代入到代数式中化简求值是解题的关键．由条件得，整体代入到代数式中化简求值即可． 【详解】解：由得，， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程，先解分式方程，再根据方程的解为正数，得不等式，求解不等式即可，掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且 且 且 故答案为：且． 16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）若分式方程有解，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解求解参数，将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解，可得且，代入求解即可． 【详解】解：由可得 化简可得： 由题意可得，，且且， 则，即且 解得 综上且 故答案为：且 17．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若关于的方程的解为整数解，则满足条件的负整数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的取值范围．先求出方程的解，再根据解的情况，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解，且，为负整数， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再根据分式方程解为非负数和分式有意义的条件，即可得出m的取值范围． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵分式方程的解为非负数， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不等于0． 三、解答题 19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）先化简：，再从，0，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先利用分式的运算法则化简，再取合适的x的值代入即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴当时，原式． 20．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内部分，再计算除法，化简得到结果，根据分式有意义的条件选择合适的字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当或或时，分式无意义， ∴， 当时， 原式 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)与互为“和整分式”，“和整值”为 (2)；或或 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； （2）解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 22．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个． (1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？ (2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？ 【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． (2)至少可购买种充电桩100个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元，根据“用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过100万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元． 根据题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 由题可得：， 解得：， 答：至少可购买种充电桩100个． 23．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲：160元/个，乙：200元/个 (2)甲至少需要购买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设甲元/个，乙元/个，根据“用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列方程求解即可； （2）设需购买甲个，乙个，根据“计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲元/个，乙元/个， ， ， 经检验是原方程的解， ， ， 答：甲：160元/个，乙：200元/个． （2）解：设需购买甲个，乙个， ， ， 答：甲至少需要购买10个． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 【答案】(1)18万元；15万元 (2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格； （2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元； （2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：． 设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则， ， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时． 答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨． 25．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元． (1)第一批笔记本每本进价多少元？ (2)王老板以每本15元的价格销售第二批笔记本，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于192元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 【答案】(1)第一批笔记本每本进价为8元 (2)剩余的笔记本每本最低打七折 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用； （1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． （2）设剩余的笔记本每本打折，根据题意列出不等式，解不等式，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元， 由题意得： 解之得： 经检验，为原方程的解 答：第一批笔记本每本进价为8元． （2）第二批笔记本有：（本） 设剩余的笔记本每本打折， 由题意得： 解得： 答：剩余的笔记本每本最低打七折． 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； (2)购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为28万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 27．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 28．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．先将除法运算转化为乘法运算，再对分式的分子分母分别因式分解并约分，然后进行分式的减法运算，最后根据，及分式的意义，求出a的值并代入计算即可． 【详解】 ， ，且，，，，a为整数， ， 原式． 29．（23-24八年级下·江苏常州·期末）某校八军级准备购买一批笔记本奖励本学期进步大的学生，在购买时发现，每本笔记本可以打八折，用200元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多25本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？ 【答案】2元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设打折前每本笔记本的售价是x元，根据“打折后购买的数量比打折前多25本”列分式方程求解即可． 【详解】解：设打折前每本笔记本的售价是x元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：打折前每本笔记本的售价是2元； 30．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）按要求填空： 小华计算的过程如下： 解： …………………………第一步 ………………………………………第二步 …………………………………………………第三步 ……………………………………………………第四步 (1)小华计算的第一步是_______（填所有符合要求的序号：①通分，②约分，③因式分解，④合并同类项），计算过程的第_______步出现错误； (2)直接写出正确的计算结果是_______． 【答案】(1)①③；二 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是： （1）观察可知，第一步是通分和因式分解，第二步数字1前面没有变号； （2）根据分式的混合计算法则求出正确的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，小华计算的第一步是通分和因式分解，计算过程是第二步出错的，在计算同分母分式减法的时候，数字1前面的符号没有变号． 故答案为：①③；二； （2）解： ， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 32．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）甲乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多，乙公司比甲公司人均多捐20元． (1)设乙公司有x人，则甲公司有______人（用含x的代数式表示）； (2)在（1）条件下，列方程，求甲乙公司各有多少人? 【答案】(1) (2)甲公司有30人，乙公司有25人． 【分析】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确列出代数式和分式方程是解题的关键． （1）根据甲公司的人数比乙公司的人数多即可列出代数式； （2）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据乙公司比甲公司人均多捐20元列出方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设乙公司有x人，已知甲公司的人数比乙公司的人数多， ∴则甲公司有人， 故答案为： （2）解：设乙公司有x人，则甲公司有人， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲公司有30人，乙公司有25人． 33．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 34．（21-22八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键． （1）先求，再求，即可求解． （2）先求，再求，即可求解． （3）由（1）、（2）的方法可得，将所求式子化简，代入求值即可． 【详解】（1）解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）由，得到， 即， ∴， 则； （3）根据题意得：，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 35．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】(1)150，120 (2)17 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； （2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台． 36．（23-24八年级下·江苏南京·期末）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？ 甲同学所列的方程为，； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示_______． (2)选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目． 【答案】(1)汽车原计划行驶的时间，汽车实际行驶的速度 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题目中的方程即可得到结论； （2）设汽车原计划需行驶的时间为 ，则汽车实际行驶的时间为，根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示汽车原计划需行驶的时间；乙同学所列方程中的表示汽车实际行驶的时间， 故答案为：汽车原计划需行驶的时间；汽车实际行驶的时间； （2）解：选择甲同学的方法， 设汽车原计划需行驶的时间为 ，则汽车实际行驶的时间为， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：汽车实际行驶的时间为． 37．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键． 利用完全平方公式和平方差公式整理原式，约分化简，再根据分式有意义的条件，取代入求值即可． 【详解】解： ， ∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 38．（2024·江苏连云港·二模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 39．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)4或2或1 (3)4或3或1 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，，得到，则； （2）先得到，再由y是正整数，得到或或，解之即可； （3）先求出，再由y是正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵y是正整数， ∴或或， ∴或或； ∴y的值为4或2或1 （3）解：∵，， ∴， ∵y是正整数， ∴或或 ∴或或． ∴y的值为4或3或1 40．（23-24九年级下·重庆长寿·期中）甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且，为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务． (2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”建立分式方程求解即可； （2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合，都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案． 【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则 ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务． （2）解：由题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵，都为正整数， ∴为3的倍数， ∴或或， ∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式， 方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元）， 方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元）， 方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元）， ∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 41．（23-24八年级上·广东东莞·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)超市销售这种干果共盈利4800元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，有理数混合运算的应用； （1）等量关系式：3000元购进干果数量的倍9000元购进干果的数量，据此列方程，即可求解； （2）第一次、第二次的销售总额减去两次购买干果的金额，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）解：第一次购进（千克）， 第二次购进（千克）， （元）． 答：超市销售这种干果共盈利4800元． 42．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 43．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】(1)是， (2)①；② (3)c的值为4或16 ． 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3） ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 44．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．    (1)求点的“倾斜系数”的值； (2)已知点的“倾斜系数”，且，求的长； (3)如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可； （2）由或，又因，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解； （3）当点P与点D重合时，且时，a有最小临界值，此时，，则，求得；当点P与B点重合，且时，a有最大临界值，此时，，则，求得：；即可求得时，a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，得，， ∵， ∴点的“倾斜系数”； （2）解：∵的“倾斜系数”， 当时，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 综上，； （3）解：①由题意知，当点P与点D重合时，且时，a有最小临界值，如图，连接，延长交x轴于E，    此时，， 则， 解得：； ∵则； ②当点P与B点重合，且时，a有最大临界值，如图，连接，延长交x轴于F， 此时，， 则， 解得：， ∵，则； 综上①②两种情况，若P的“倾斜系数”，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值． 45．（23-24八年级上·江苏南通·期末）张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式等知识点，明确题意、列出相应的分式方程是解题的关键． （1）根据表中的信息，列出新能源车的每千米行驶费用的代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：元． 故答案为：． （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴，解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴元，元． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 46．（2023·江苏徐州·模拟预测）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【答案】甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元 【分析】设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样列出方程，从而可解决问题． 【详解】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 47．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式“友好分式”． 如与，因为，， 所以是的“友好分式”． (1)分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ∴， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：______． ②若是的“友好分式”，则的值为______． 【答案】(1)是 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】（1）解：∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是 （2）解：设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． （3）解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 故答案为： 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 48．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米 (2)共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱． 【分析】（1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，根据乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，列出方程，进行求解即可； （2）设甲工程队修路天，根据修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，列出不等式组，求出的取值范围，确定方案，设花费的总费用为，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ； 答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米； （2）解：设甲工程队修路天，由题意，得∶ ，解得：， ∵为整数， ∴可以取：； ∴共有13种方案； 设共需花费万元，由题意，得： ， ∵，随着的增大而增大， ∴当时，的值最小， 即：甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱． 答：共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程，不等式组． 49．（21-22八年级下·江苏常州·期末）在生活中，我们常会听到“糖水加糖甜更甜”的说法，小明和小华准备在实验室展开实验过程． (1)在50g水中加入50g的糖，搅拌溶解，则糖含量为______； (2)为了使（1）中的糖水的糖含量达到60%，小明采取的方法是继续往糖水中加入糖，小华采取的方法是用酒精灯加热蒸发水分．请选择其中一种方法计算加入糖的重量或蒸发的水分重量（精确到0.1g）； (3)在（1）中的糖水中继续加入tg糖，搅拌溶解，设此时的糖含量为y． ①y与t之间的函数表达式为______； ②根据实际经验，在未饱和状态下，糖水中加入的糖越多，糖含量越高，用数学的语言可以描述为______． 【答案】(1)50% (2)加入25g糖能使糖的含量达到60%；蒸发水分约为16.7g能使糖的含量达到60%； (3)①；②y随着t的增大而增大． 【分析】（1）直接利用糖的质量除以糖水的质量得出答案； （2）选择小明采取的方法是继续往糖水中加入糖，设所加的糖为xg，列出分式方程求解；若选择小华采取用酒精灯加热蒸发水分的方法：设蒸发水分为x g，列出分式方程求解； （3）①根据糖的重量÷（糖的重量+水的重量）=糖的含量来列函数表达式； ②根据加入的糖越多，糖含量越高解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：50%； （2）解：选择小明采取的方法是继续往糖水中加入糖， 设所加的糖为xg， 根据题意得， 解得（g）， 经检验是原方程的解， 所以所加的糖为25g． 答：加入25g糖能使糖的含量达到60%； 若选择小华采取用酒精灯加热蒸发水分的方法： 设蒸发水分为x g， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 所以（g）． 答：蒸发水分约为16.7g能使糖的含量达到60%； （3）解：①根据题意得， 故答案为：； ②根据实际经验，在未饱和状态下，糖水中加入的糖越多，糖含量越高，用数学的语言可以描述为：y随着t的增大而增大． 故答案为：y随着t的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，列函数关系式，理解糖的重量÷（糖的重量+水的重量）=糖的含量是解答关键． 50．（2022·河北保定·模拟预测）【阅读材料】 已知，求的值． 解：∵， ∴原式． 【初步探究】 已知，求代数式的值． 【综合运用】 在Rt中，，若，，求Rt的面积． 【答案】【初步探究】4；【综合运用】Rt的面积为 【分析】先将分式方程转化为整式方程，得到x、y之间的关系，再整体代入代数式化简即可； 先由勾股定理得到直角三角形两直角边的平方和，再将AC+BC=23两边平方，化简得面积． 【详解】解：【初步探究】∵， ∴． ∴原式=． 【综合运用】∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题考查了分式的运算，整式乘法及勾股定理的应用．解题关键是用整体思想对代数式进行代换． 试卷第1页，共3页 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式 期末易错50题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 4．（2022·黑龙江绥化·三模）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树万棵，则列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 10．（22-23八年级下·江苏南京·期末）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 12．（2024·山东枣庄·一模）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 13．（11-12八年级上·湖北黄冈·期末）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 14．（2024·山东聊城·一模）已知，那么 ． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）若分式方程有解，则m的取值范围是 ． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若关于的方程的解为整数解，则满足条件的负整数的值是 ． 18．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）先化简：，再从，0，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 22．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个． (1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？ (2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？ 23．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 25．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元． (1)第一批笔记本每本进价多少元？ (2)王老板以每本15元的价格销售第二批笔记本，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于192元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 27．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 28．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 29．（23-24八年级下·江苏常州·期末）某校八军级准备购买一批笔记本奖励本学期进步大的学生，在购买时发现，每本笔记本可以打八折，用200元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多25本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？ 30．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）按要求填空： 小华计算的过程如下： 解： …………………………第一步 ………………………………………第二步 …………………………………………………第三步 ……………………………………………………第四步 (1)小华计算的第一步是_______（填所有符合要求的序号：①通分，②约分，③因式分解，④合并同类项），计算过程的第_______步出现错误； (2)直接写出正确的计算结果是_______． 31．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 32．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）甲乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多，乙公司比甲公司人均多捐20元． (1)设乙公司有x人，则甲公司有______人（用含x的代数式表示）； (2)在（1）条件下，列方程，求甲乙公司各有多少人? 33．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 34．（21-22八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 35．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 36．（23-24八年级下·江苏南京·期末）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？ 甲同学所列的方程为，； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示_______． (2)选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目． 37．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 38．（2024·江苏连云港·二模）解方程： 39．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 40．（23-24九年级下·重庆长寿·期中）甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且，为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 41．（23-24八年级上·广东东莞·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？ 42．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 43．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 44．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．    (1)求点的“倾斜系数”的值； (2)已知点的“倾斜系数”，且，求的长； (3)如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______． 45．（23-24八年级上·江苏南通·期末）张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 46．（2023·江苏徐州·模拟预测）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 47．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式“友好分式”． 如与，因为，， 所以是的“友好分式”． (1)分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ∴， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：______． ②若是的“友好分式”，则的值为______． 48．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 49．（21-22八年级下·江苏常州·期末）在生活中，我们常会听到“糖水加糖甜更甜”的说法，小明和小华准备在实验室展开实验过程． (1)在50g水中加入50g的糖，搅拌溶解，则糖含量为______； (2)为了使（1）中的糖水的糖含量达到60%，小明采取的方法是继续往糖水中加入糖，小华采取的方法是用酒精灯加热蒸发水分．请选择其中一种方法计算加入糖的重量或蒸发的水分重量（精确到0.1g）； (3)在（1）中的糖水中继续加入tg糖，搅拌溶解，设此时的糖含量为y． ①y与t之间的函数表达式为______； ②根据实际经验，在未饱和状态下，糖水中加入的糖越多，糖含量越高，用数学的语言可以描述为______． 50．（2022·河北保定·模拟预测）【阅读材料】 已知，求的值． 解：∵， ∴原式． 【初步探究】 已知，求代数式的值． 【综合运用】 在Rt中，，若，，求Rt的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$