第11章反比例函数 培优专题(知识盘点+15题型+2易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

第11章反比例函数 培优专题 反比例函数的概念 1．反比例函数需要满足的三个条件 （1）有两个变量与，其中是自变量； （2）有比例系数（为常数，且）； （3）变量满足关系． 2．反比例函数表达式的三种形式 （1）为常数，且 ； （2）为常数，且 ； （3）（为常数，且）． 注意：（1）反比例函数表达式中，均不为0； （2）在实际问题中，应根据具体情况来确定的取值范围． （22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的为（     ） A． B． C． D． 总结： 判断一个函数是否为反比例函数，要紧扣概念，不能只看表面形式，而要看是否能转化为反比例函数表达式的三种形式：，其中. 用待定系数法求反比例函数的表达式 1．设形式：反比例函数的一般式为（是待求的常数，且）。 2．代坐标：将题目中给出的一个点的坐标（比如点代入表达式，得到方程。 3．求常数：通过解方程，算出的值。 4．写解析式：把求出的代入一般式，得到最终的反比例函数表达式。 关键：反比例函数只有一个待定系数，只需一个已知点 即可求出表达式。 （22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点A（3，4）在反比例函数为常数，的图象上，则该反比例函数的解析式是( ) A． B．y= C． y= D． y= 总结： 先根据变量之间的关系设出函数表达式，再代入数据列出关于待定系数的方程(组)，解这个方程(组)，求出待定系数的值，从而使问题得到解决。 反比例函数图象的画法 1．确定象限： 若，图象在 第一，第三象限（两支曲线分别在这两个象限）； 若，图象在 第二，第四象限。 2．列表取值： 取 的若干组互为相反数的值（如等），计算对应的值（注意）。 列表时尽量对称取值，方便后续描点。 3．描点连线： 在坐标系中描出列表中的点（横纵坐标对应）。 用 平滑的曲线 依次连接同一象限内的点（两支曲线分别连接，不相交）。 4．图象特征： 图象是 双曲线，两支曲线 关于原点对称。 曲线 无限接近坐标轴，但永远不会与轴，轴相交（因为）。 （23-24八年级下·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 关键：先根据的正负确定象限，再对称取值，描点，最后用平滑曲线连接，注意避开坐标轴。 总结： 利用对称性画反比例函数图象 利用对称性画反比例函数图象时，有如下两种方法： （1）先用描点法画出轴一侧的反比例函数的图象，再利用对称性（图象的两个分支关于原点对称）画出另一侧的图象． （2）先画出反比例函数的图象，再沿轴（或轴）翻转得到反比例函数的图象． 反比例函数的图象与性质 1．表达式 反比例函数一般形式：为常数，，其中。 2．图象特征 形状：图象是双曲线（两支曲线）。 位置： 当 时，图象在 第一，第三象限； 当 时，图象在 第二，第四象限。 与坐标轴的关系： 双曲线 无限接近x轴和y 轴，但永不与坐标轴相交（因为和都不能为0）。 对称性： 图象关于 原点对称（中心对称），即若点在图象上，则点也在图象上。 3．函数性质 增减性（在每个象限内）： 当时，随的增大而减小（例如：第一象限内，x越大，y越小）； 当时，随的增大而增大（例如：第二象限内，x越大，y越大）。 注意：不能说＂在整个定义域内增减＂，因为双曲线分两支，需强调＂在每个象限内＂。 4．的几何意义 图象上任意一点向轴，轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为。 （即：若点在 上，则。 （22-23八年级下·江苏苏州·期中）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的值为 ． 总结： 的正负决定图象所在象限； 每个象限内，的正负决定函数的增减性； 图象是双曲线，关于原点对称，且与坐标轴永不相交； 越大，双曲线离原点越远；越小，双曲线离原点越近。 反比例函数（为常数，且0）中的几何意义 1． 如图，点与点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，轴，则 ． 2． 的几何意义 矩形面积 过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为 三角形面积 过双曲线上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 提醒 反比例函数（为常数，且）中的有正，负之分，所以在利用值表示矩形或三角形的面积时，都要加上绝对值，最后根据图形的位置确定的正负． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 反比例函数 例1（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若函数是反比例函数，则的值为 ． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【变式1-3】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 判断(画)反比例函数图象 例2（23-24八年级下·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ． 已知双曲线分布的象限，求参数范围 例3（22-23八年级下·江苏常州·期末）已知点，在反比例函数的图像上，且，，则m n（填“”或“”）． 【变式3-1】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 【变式3-2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图像在二、四象限，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（22-23八年级下·江苏徐州·期末）已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为 ． 判断反比例函数的增减性 例4（22-23八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级下·江苏·期末）一次函数（k为常数，且）图像上两点，，且，下列关于反比例函数图像性质的说法中，正确的是（    ） A．图像关于y轴对称 B．图像在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏常州·期末）若反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（   ） A．图像经过点 B．图像在第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 判断反比例函数图象所在象限 例5（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数 的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第 象限． 【变式5-2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在第二、四象限 B．它的图象是中心对称图形 C．y的值随x的增大而增大 D．点是函数图象上的点 【变式5-3】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）下列关于反比例函数的描述，正确的是（    ） A．它的图像经过点 B．图像的两支分别在第一、三象限 C．当时， D．时，y随x的增大而减小 已知反比例函数的增减性求参数 例6（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 比较反比例函数值或自变量的大小 例7（23-24八年级下·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）点和在反比例函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-3】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若、都在函数的图象上，且，，则（    ） A． B． C． D． 已知比例系数求特殊图形的面积 例8（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ． 【变式8-1】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【变式8-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（    ）    A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【变式8-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 求反比例函数解析式 例9（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 【变式9-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【变式9-2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【变式9-3】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 反比例函数与几何综合 例10（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【变式10-1】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ． 【变式10-2】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 根据图形面积求比例系数(解析式) 例11（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【变式11-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形为矩形，点在第四象限，点关于的对称点为点，且，都在函数的图象上，轴于点，的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，则的值为 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　  ） A．2 B．1 C．3 D．6 【变式11-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为 ．    一次函数与反比例函数图象综合判断 例12（23-24八年级下·江苏淮安·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题… (1)将方程的解转化为和这两个函数图像的交点问题，结合图象可以判断这个方程有 个实数解； (2)方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．请直接写出一对符合要求的表达式 和 ，结合图象可以判断方程有 个解； (3)利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (4)请根据的取值情况写出满足方程（均为非0常数）的的个数． 【变式12-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    【变式12-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式12-3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、． (1)试求的面积； (2)试根据图象写出使得一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 一次函数与反比例函数的交点问题 例13（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求的值； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 【变式13-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 【变式13-2】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，点、是反比例函数与一次函数图象的交点，连接AO、BO． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出的面积． 【变式13-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图像上，点与点A关于点O对称，一次函数的图像经过点．函数、的图像相交于第一象限B点． (1)用无刻度的直尺与圆规作出点； (2)若，点B坐标为． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (3)若点B的横坐标为，的面积为16，求k的值． 一次函数与反比例函数的实际应用 例14（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【变式14-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．    (1)求反比例函数解析式； (2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【变式14-2】（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 【变式14-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 实际问题与反比例函数 例15（2023八年级下·江苏·专题练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【变式15-1】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【变式15-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【变式15-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 1．（2022·江苏南京·二模）已知都在的图像上，若，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是(   ) A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．点在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知点、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知，，都在反比例函数图像上，则、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点也在该反比例函数的图象上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是 ．      8．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，直线与反比例函数交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接，使得，过点C作x轴的垂线交于点D，以为边作矩形，若，则 ． 三、解答题 9．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点，点B的纵坐标为．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于2，则n的取值范围是______；（直接写出答案） (3)求的面积． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 12．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）已知反比例函数 图像与一次函数的图像交于点，． (1)　　，　　，　　； (2)点是反比例函数图象上一点，且点横坐标大于2，连接、．若的面积是5，求出点的纵坐标． 13．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)水温从20℃加热到100℃，需要______分钟； (2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式； (3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章反比例函数 培优专题 反比例函数的概念 1．反比例函数需要满足的三个条件 （1）有两个变量与，其中是自变量； （2）有比例系数（为常数，且）； （3）变量满足关系． 2．反比例函数表达式的三种形式 （1）为常数，且 ； （2）为常数，且 ； （3）（为常数，且）． 注意：（1）反比例函数表达式中，均不为0； （2）在实际问题中，应根据具体情况来确定的取值范围． （22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，则此项不符题意； B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意； C、叫做是的反比例函数，则此项符合题意； D、是正比例函数，则此项不符题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟记定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做是的反比例函数． 总结： 判断一个函数是否为反比例函数，要紧扣概念，不能只看表面形式，而要看是否能转化为反比例函数表达式的三种形式：，其中. 用待定系数法求反比例函数的表达式 1．设形式：反比例函数的一般式为（是待求的常数，且）。 2．代坐标：将题目中给出的一个点的坐标（比如点代入表达式，得到方程。 3．求常数：通过解方程，算出的值。 4．写解析式：把求出的代入一般式，得到最终的反比例函数表达式。 关键：反比例函数只有一个待定系数，只需一个已知点 即可求出表达式。 （22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点A（3，4）在反比例函数为常数，的图象上，则该反比例函数的解析式是( ) A． B．y= C． y= D． y= 【答案】C 【分析】直接把点A（3，4）代入反比例函数y=，求出k的值即可． 【详解】解：∵将点A（3，4）代入反比例函数y=，得4=， 解得k=12． ∴反比例函数表达式为：y=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 总结： 先根据变量之间的关系设出函数表达式，再代入数据列出关于待定系数的方程(组)，解这个方程(组)，求出待定系数的值，从而使问题得到解决。 反比例函数图象的画法 1．确定象限： 若，图象在 第一，第三象限（两支曲线分别在这两个象限）； 若，图象在 第二，第四象限。 2．列表取值： 取 的若干组互为相反数的值（如等），计算对应的值（注意）。 列表时尽量对称取值，方便后续描点。 3．描点连线： 在坐标系中描出列表中的点（横纵坐标对应）。 用 平滑的曲线 依次连接同一象限内的点（两支曲线分别连接，不相交）。 4．图象特征： 图象是 双曲线，两支曲线 关于原点对称。 曲线 无限接近坐标轴，但永远不会与轴，轴相交（因为）。 （23-24八年级下·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先利用菱形的面积公式求出与的函数解析式，再根据的取值范围及函数的性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的面积为，则， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小， ∴描点正确的是， 故选：． 关键：先根据的正负确定象限，再对称取值，描点，最后用平滑曲线连接，注意避开坐标轴。 总结： 利用对称性画反比例函数图象 利用对称性画反比例函数图象时，有如下两种方法： （1）先用描点法画出轴一侧的反比例函数的图象，再利用对称性（图象的两个分支关于原点对称）画出另一侧的图象． （2）先画出反比例函数的图象，再沿轴（或轴）翻转得到反比例函数的图象． 反比例函数的图象与性质 1．表达式 反比例函数一般形式：为常数，，其中。 2．图象特征 形状：图象是双曲线（两支曲线）。 位置： 当 时，图象在 第一，第三象限； 当 时，图象在 第二，第四象限。 与坐标轴的关系： 双曲线 无限接近x轴和y 轴，但永不与坐标轴相交（因为和都不能为0）。 对称性： 图象关于 原点对称（中心对称），即若点在图象上，则点也在图象上。 3．函数性质 增减性（在每个象限内）： 当时，随的增大而减小（例如：第一象限内，x越大，y越小）； 当时，随的增大而增大（例如：第二象限内，x越大，y越大）。 注意：不能说＂在整个定义域内增减＂，因为双曲线分两支，需强调＂在每个象限内＂。 4．的几何意义 图象上任意一点向轴，轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为。 （即：若点在 上，则。 （22-23八年级下·江苏苏州·期中）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得： 或， 又，解得：， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得m的值是解题的关键． 总结： 的正负决定图象所在象限； 每个象限内，的正负决定函数的增减性； 图象是双曲线，关于原点对称，且与坐标轴永不相交； 越大，双曲线离原点越远；越小，双曲线离原点越近。 反比例函数（为常数，且0）中的几何意义 1． 如图，点与点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，轴，则 ． 2． 的几何意义 矩形面积 过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为 三角形面积 过双曲线上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 提醒 反比例函数（为常数，且）中的有正，负之分，所以在利用值表示矩形或三角形的面积时，都要加上绝对值，最后根据图形的位置确定的正负． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得； （2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：过B作于E， ∵A的坐标为，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过C作轴于F， ∴， ∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设，， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 反比例函数 例1（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据点落在一次函数图象上得到，根据P1的坐标是由P旋转得到的得到，又由P是反比例函数图象上的一点，得到，把代数式进行加法运算后利用整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵点落在一次函数图象上， ∴， ∴， ∵P1的坐标是由P顺时针旋转得到的，如图所示，作轴于点，作轴于点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点代入反比例函数，求出的值，再根据为定值对各选项进行逐一检验即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． A、∵，∴此点在函数图象上； B、∵，∴此点不在函数图象上； C、∵，此点不在函数图象上； D、∵，此点不在函数图象上． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 判断(画)反比例函数图象 例2（23-24八年级下·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先利用菱形的面积公式求出与的函数解析式，再根据的取值范围及函数的性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的面积为，则， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小， ∴描点正确的是， 故选：． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解和掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意； B．反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线，直线为对称轴的轴对称图形，故选项B符合题意； C．把代入得：，故选项C不符合题意； D．函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减少，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可． 【详解】解：直线中，，图像过一、三象限， 函数的图象与直线没有交点， 函数的图像必须位于二、四象限， ， ． 故答案为：． 已知双曲线分布的象限，求参数范围 例3（22-23八年级下·江苏常州·期末）已知点，在反比例函数的图像上，且，，则m n（填“”或“”）． 【答案】 【分析】由反比例函数知，其图象在第一、三象限，由，知，，从而确定答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴它的图象在第一、三象限， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质确定a与b的符号是解题的关键． 【变式3-1】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，，解不等式即可得结果． 【详解】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一、三象限；时，函数位于二、四象限． 【变式3-2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图像在二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质列式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内． 【变式3-3】（22-23八年级下·江苏徐州·期末）已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 判断反比例函数的增减性 例4（22-23八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 根据可得反比例函数图形经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：已知反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B ． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．由反比例函数，得到，反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上，， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级下·江苏·期末）一次函数（k为常数，且）图像上两点，，且，下列关于反比例函数图像性质的说法中，正确的是（    ） A．图像关于y轴对称 B．图像在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先根据题意得到，进而得到反比例函数图像经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数中，y随x增大而减小， ∴， ∴反比例函数图像经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，， ∵反比例函数不关于y轴对称， ∴四个选项中，只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏常州·期末）若反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（   ） A．图像经过点 B．图像在第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 先把点代入反比例函数求出的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ， ， ∴图像不经过点，故A选项错误； ， ∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误； ∵当时，函数图象在第一象限，随的增大而减小，故C选项正确； ∵当时，随的增大而减小，故D选项错误． 故选：C． 判断反比例函数图象所在象限 例5（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数 的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在象限． 【详解】解： ， 反比例函数 的图象位于第一、三象限． 故选：A． 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第 象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 【变式5-2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在第二、四象限 B．它的图象是中心对称图形 C．y的值随x的增大而增大 D．点是函数图象上的点 【答案】C 【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可 【详解】A. ，它的图象分布在第二，四象限，正确，不符合题意； B. 函数是反比例函数，故它的图象是中心对称图形，正确，不符合题意； C. ，它的图象分布在第二，四象限，在每一个象限内y的值随x的增大而增大，原说法错误，符合题意； D. 时，，点是函数图象上的点，正确，不符合题意； 故选择：C 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟悉反比例函数的图象和性质是解答本题的关键． 【变式5-3】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）下列关于反比例函数的描述，正确的是（    ） A．它的图像经过点 B．图像的两支分别在第一、三象限 C．当时， D．时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】A选项点坐标代入即可确定；B选项由反比例函数的k值可判断图象所在的象限；C选项根据图象可确定时的y取值范围；D选项可通过图象来判断． 【详解】A：当时，，故不符合题意； B：反比例函数位于二、四象限，故不符合题意； C：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，且当时，，所以当时，，故符合题意； D：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，所以当时，随的增大而增大． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 已知反比例函数的增减性求参数 例6（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可． 【详解】解：，， 反比例函数在各个象限内，随的增大而增大， 点、在同在第四象限，，即． 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，直接利用反比例函数的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，；或． 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 点、在反比例函数的图象上，且， 时，点、在第一象限内， ， 故答案为：． 比较反比例函数值或自变量的大小 例7（23-24八年级下·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选C． 【变式7-1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质可得反比例函数，图象在第一、三象限，然后根据每个象限上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：反比例函数， 图象在第一、三象限，随的增大而减小， 点、都在反比例函数的图象上， 点与点都在第三象限， ， ． 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）点和在反比例函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将，坐标代入函数解析式，求出和是解题的关键．将点和点的坐标分别代入，求出和即可解决问题． 【详解】解：将点代入得， ． 将点代入得， ， 所以． 故选：C 【变式7-3】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若、都在函数的图象上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【详解】解：∵，， 设，其中，则， 又∵、都在函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：B． 已知比例系数求特殊图形的面积 例8（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用面积将线段和用含有、的代数式表示出来，进而将线段和也用的代数式表示出，利用面积公式即可求出． 本题考查了反比例函数中值的几何意义，，图象上点的坐标之积等于． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 【变式8-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（    ）    A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点位于反比例函数图像上， ∴， 故选：A．    【变式8-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 【答案】(1)①5；② (2) 【分析】（1）①根据，，直线轴于点H，得出，，然后求出结果即可； ②设，则，求出，，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； （2）根据点，得出，，求出，得出，求出，得出，说明为定值，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，，直线轴于点H， ∴， ， ∴；    ②设，则， ，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点， ∴，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D， ∴把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵和变化时，的值始终不变， ∴为定值， ∴为定值， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数解析式中k的几何意义． 求反比例函数解析式 例9（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 【分析】本题主要反比例函数图象与结合图形的综合，理解矩形面积与反比例函数系数的关系，几何图形面积的计算，点坐标的计算方法是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图形上，由，即可求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式，根据点的横坐标为，点的横坐标为，可得，，则，再根据，即可求解； （3）由题意可得，根据当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点为反比例函数图像上的两个动点，矩形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∴． 【变式9-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主经考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数上的点的坐标适合解析式，从而确定比例系数，是解决本题的关键． 将点代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：5 【变式9-2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 【变式9-3】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，由四边形是正方形，得，轴，设，则，，，再根据中点坐标可得，最后代入解析式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，轴， 设，则，，， ∵是中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：，， 故选：． 反比例函数与几何综合 例10（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式10-1】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键．由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高÷2，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． 故答案为：． 【变式10-2】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形与折叠的性质，勾股定理，矩形面积与反比例函数的中的关系是解题的关键． 根据题意设，则，，可求出反比例函数解析式，可得的纵坐标为b，根据折叠的性质可得，在直角中，根据勾股定理即求出b的值，由此即可求解 【详解】解：根据题意，设，则， ∴， ∵点是矩形对角线的中点， ∴，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，即点的纵坐标为， ∴把点的纵坐标代入反比例函数解析式得，， 解得，，即， ∴， ∵沿着折叠，点与点重合，如图所示，连接，则， 在中，， ∴，且，则， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式10-3】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 根据图形面积求比例系数(解析式) 例11（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形为矩形，点在第四象限，点关于的对称点为点，且，都在函数的图象上，轴于点，的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“”的几何含义等知识，解决问题的关键是学会利用面积法解决问题．如图，连接，．首先证明，推出，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． 四边形为矩形， ， 由对称的性质可得：， ， ， 与的边上的高相等， ， ． ， 故答案为：． 【变式11-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　  ） A．2 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设，，中点坐标公式求出，根据点D在反比例函数图象上，以及菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【变式11-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 一次函数与反比例函数图象综合判断 例12（23-24八年级下·江苏淮安·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题… (1)将方程的解转化为和这两个函数图像的交点问题，结合图象可以判断这个方程有 个实数解； (2)方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．请直接写出一对符合要求的表达式 和 ，结合图象可以判断方程有 个解； (3)利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (4)请根据的取值情况写出满足方程（均为非0常数）的的个数． 【答案】(1)2 (2)，，0 (3)图象见解析，方程的解的个数为1； (4)同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，画函数图象，数形结合是本题的最大特点． （1）在同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可得到答案； （2）方程两边除以x，变为，则可表示成一个一次函数与一个反比例函数的交点问题，从而可写出符合要求的表达式，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可得到答案； （3）把变形为：，这样方程的解的个数可转化为两个函数的交点个数问题，借助函数图象即可解决； （4）分两种情况进行分析解答即可． 【详解】（1）在同一坐标系中，和这两个函数图象如下，有两个交点， ∴方程有2个实数解； 故答案为：2 （2）解： 方程两边除以x，得：， 即， ∴令，， 则方程的解转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．结合图象可以判断方程有0个解； 故答案为：，，0 （3）解：把变形为：， 设，， 方程的解的个数可转化为两个函数，，的图象的交点个数问题， 画出两个函数的图象如下： 观察图象知，两个函数，的图象的交点只有1个，表明方程只有1个解． （4）∵，均为非0常数 ∴， 当时，，即同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个． 当时，即异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个． 综上可知，同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个． 【变式12-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合． 根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或， 故答案为：或． 【变式12-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，关于原点对称的坐标特点，以及利用函数图象解不等式，根据一次函数图象和反比例反比例函数图象都是关于原点对称的，得出A和B关于原点对称，从而求出B点坐标，观察图象找出直线在双曲线的下方时x的范围即可解答． 【详解】解∶∵一次函数图象和反比例函数图象都是关于原点对称的， ∴A和B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为， 由图象可得，当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是或， ∴不等式的解集是或， 故答案为∶ 或． 【变式12-3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、． (1)试求的面积； (2)试根据图象写出使得一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（1）利用待定系数法求解反比例函数和一次函数；设直线交轴于，首先求出点的坐标，然后利用代入求解即可；（2）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得， 反比例函数的表达式是：， 把代入得：， ， 把，的坐标代入，得， 解得： 一次函数的表达式是：； 设直线交轴于， 把代入得：， ， ，， （2），， 结合图象可知使得一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围是或． 一次函数与反比例函数的交点问题 例13（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求的值； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或； (4)或． 【分析】（）把代入可得，把代入即可求得； （）根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标，观察函数图象即可求解； （）根据图象即可求解； （）根据即可求得，求得或； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把代入可得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴关于原点对称，， 由图象可知，当或时，， 故答案为：或； （3）由正比例函数与反比例函数的对称性可知， 由图象可知，当或时，， ∴当时，的取值范围是或， 故答案为:或； （4）∵的面积为， ∴， ∴， ∴或． 【变式13-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-2】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，点、是反比例函数与一次函数图象的交点，连接AO、BO． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出的面积． 【答案】(1)， (2)或， 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数解析式的综合，掌握待定系数法求解析，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点A，B在反比例函数图象上可得，图形结合可得，可求出反比例函数解析式，及点A，B坐标，运用待定系数法即可求解一次函数解析式； （2）令一次函数中，可得一次函数与y轴交点，根据几何图象面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，结合图形可得，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴，则， ∴反比例函数解析式为：， 把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：根据图示可得，当或时，反比例函数值大于一次函数值， 令一次函数时，， ∴． 【变式13-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图像上，点与点A关于点O对称，一次函数的图像经过点．函数、的图像相交于第一象限B点． (1)用无刻度的直尺与圆规作出点； (2)若，点B坐标为． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (3)若点B的横坐标为，的面积为16，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② (3) 【分析】本题考查了作图—中心对称图形，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法的应用； （1）连接并延长，在直线上截取即可； （2）①先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到点A坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可；②画出函数图象，求出直线与x轴的交点坐标，再根据两个函数图象写出不等式解集即可； （3）连接，作轴交于E，求出直线的解析式，进而可得点E坐标，然后表示出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：点如图所示， （2）①∵点B坐标为，且点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， ∴ ∵点、在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ②一次函数与反比例函数图象如图所示，直线交x轴于C， 当时，解得：， ∴， ∴由函数图象可知，使成立的x的范围为． （3）如图，连接，作轴交于E， ∵的面积为16，， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图像上， ∴，， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 一次函数与反比例函数的实际应用 例14（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 【变式14-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．    (1)求反比例函数解析式； (2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值； （2）由图象直接可得； （3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得，再计算，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将点A坐标代入（）中，得：， ， 双曲线的解析式为（）； （2）由图象可知，点D横坐标为4，则关于x的不等式的解集是或； （3）点坐标为，轴， 点坐标为； ，， 而， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，反比例函数k的几何意义，熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则图形的面积是解题关键． 【变式14-2】（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 【答案】(1)，； (2)不在，理由见解析；． 【分析】（1）根据点代入直线，求得的值，再根据平行四边形的性质，求出点的坐标，又根据点在反比例函数上，进而求得的值； （2）根据点代入直线，求得的值，求出点的坐标，再将点代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上； 设所在直线的解析式为，把、代入求得解析式，进而解得与轴交点，再根据面积和差即可求解． 【详解】（1）当时，． ∴． 当时，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴点的坐标为． ∴． ∴． （2）不在，理由如下： ∵点在上，当时，， ∴点的坐标为． ∵反比例函数为，当时，， ∴点不在反比例函数的图像上， 延长交轴于点，如图，      由得：，， 设所在的直线为, 将、代入得: ，解得：， ∴设所在的直线为， 令，则，解得：， ∴点， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解． 【变式14-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 实际问题与反比例函数 例15（2023八年级下·江苏·专题练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式15-1】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 【变式15-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 【变式15-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 1．（2022·江苏南京·二模）已知都在的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】将点A和点B的坐标代入得，，则，即可进行求解． 【详解】解：∵都在的图像上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像上点的坐标特征． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 (4)时最小值为 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点分别代入和即可得到与的值； （2）①过点作轴于点，结合点的坐标与旋转的性质证明，得，，即可得解； ②根据①的结论，将点的坐标代入求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，根据勾股定理及等积法依次求出，，，，，确定，直线的解析式为，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，根据，得，求解即可； （4）先确定点的运动路径为直线，设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点，根据对称的性质得垂直平分，，继而得到，当点、、共线时取“”，此时取得最小值，结合点的坐标及等腰三角形三线合一性质确定 ，继而得到，，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数及几何的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数图像交点的确定方法，等积法及最短路径等知识点．掌握反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，旋转及对称的性质，确定点到直线的距离是解题的关键． 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是(   ) A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．点在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质进行逐一判断即可． 【详解】反比例函数的图像经过点， ，函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大 A.，说法正确，不符合题意； B.函数图象分布在第二、四象限，说法正确，不符合题意； C.点在该反比例函数图象上，说法正确，不符合题意； D. 在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，在函数增减性上必须要强调在每个象限内． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知点、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可得反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，则可得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点、在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴四个选项中只有C结论一定正确， 故选C． 【点睛】本题考查比较反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知，，都在反比例函数图像上，则、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图像在第二象限，第四象限，根据函数图像及增减性即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图像在第二、四象限，随的增大而增大， 图像在第二象限中，，；图像在第四象限中，，； ∴，；，， ∴，即 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像所在象限，函数的增减性是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则对角线交点的坐标为，，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用字母表示出各个点的坐标． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为，， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 由已知得， ， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ，， ． 故选：A 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，先根据反比例函数与正比例函数的性质求出点的横坐标，再结合函数图象即可得出答案，利用数形结合的思想，熟练掌握函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 由函数图象可知，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方时，取值范围是或， 即时，取值范围是或， 故选：． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点也在该反比例函数的图象上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于，根据题意，，由于将线段绕点顺时针旋转得到线段，得出，，即可得出，即可得出，，得到，代入反比例函数解析式即可求得的值． 【详解】解：作轴于， 点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点， ， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段． ，， ， ， ， ， 点也在该反比例函数的图象上， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题 7．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是 ．      【答案】或 【分析】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围． 【详解】时，对应函数图象在直线l左侧，两部分，或 故答案为：或 【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，直线与反比例函数交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接，使得，过点C作x轴的垂线交于点D，以为边作矩形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形三线合一的性质，反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键． 作于，交于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可求得，由反比例函数的对称性得出， ，求得，进而求得． 【详解】解：作于，交于点， ， ， ∵， ∴， ∵直线与反比例函数交于、两点，轴， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：6． 三、解答题 9．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点，点B的纵坐标为．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于2，则n的取值范围是______；（直接写出答案） (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)5 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）通过观察图象，结合到轴的距离小于2，从而，进而可以得解； （3）依据题意，把的面积看成是和的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的表达式为：． 在反比例函数图象上，且点的纵坐标为， ． 点和在一次函数的图象上， ． 解得． 一次函数表达式为：． （2）由题意，点到轴的距离小于2， ． 在该反比例函数的图象上， 当时，；当时，． 结合图1，    或； （3）由一次函数，可得，    又和， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时需要熟练掌握并理解． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得； ②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为； （2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴； 当时，，即， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴，； ②解：由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围， 当时，， 解得，， ∴的图象经过点， 由图象可知，使成立的x的范围为； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可； （2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 12．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）已知反比例函数 图像与一次函数的图像交于点，． (1)　　，　　，　　； (2)点是反比例函数图象上一点，且点横坐标大于2，连接、．若的面积是5，求出点的纵坐标． 【答案】(1)6，1， (2)点的纵坐标为2 【分析】（1）由点的坐标求出的值，即可得出反比例函数的解析式；由反比例函数解析式求出，由待定系数法求出的值； （2）求得的面积为，即可得出的面积是的面积的2倍，点作的平行线，交反比例函数的图象于，此时符合题意，求得直线与反比例函数的交点即可求得点的纵坐标． 【详解】（1）解：由题意得， ， 反比例函数的解析式是， 反比例函数过点， ， ， 一次函数的图象过点，． ，解得，， 故答案为：6，1，； （2）解：由（1）可知一次函数， ， ， ， 经过点作的平行线，交反比例函数的图象于，使点到直线和到直线的距离相等，则的面积是的面积的2倍， 直线的表达式为， 由，解得或， 点横坐标大于2， ， 点的纵坐标为2． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想． 13．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)水温从20℃加热到100℃，需要______分钟； (2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式； (3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？ 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【详解】（1）开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； （2）由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）∵开机加热时每分钟上升20℃ ∴，水温 ∵， ∴当时，， ∴水温不低于40℃的时间范围为 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$