培优专题 一元一次不等式（知识盘点+7题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

培优专题 一元一次不等式 一元一次不等式的定义 1．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 注意 一元一次不等式与一元一次方程的异同 (1)相同点:二者都只含有一个未知数,未知数的次数是1,左右两边都是整式·(2)不同点:一元一次不等式表示的是不等关系，用不等号连接;一元一次方程表示的是相等关系,用等号连接. （2024春•青龙县期末）下列不等式是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 一元一次不等式的解法 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 注意 解一元一次不等武时，五个步骤不一定都用到，也不一定都按这个顺序求解,应根据不等式的特点炅活求解 （2024春•江阳区校级期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 列不等式解决实际问题 列不等式解应用题的基本步骤 (1) 审:认真审题,分清已知量、未知量; (2) 找:找出题中的不等关系,抓住题中的关键词,如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“至多”“不超过”“超过”等； (3)设:设出适当的未知数; (4)列:根据题中的不等关系列出不等式; (5)解:求出所列的不等式的解集; (6)验:检验是否符合题意及实际意义； (7)答:写出答案。 注意 列不等式解决实际问题时，有三点应特别注意:(1)设未知数时,表示不等关系的文字如“至少”等不能出现。(2)列不等式时,不等式两边所表示的量应该相同，并且单位要统一。 (3)在最后写答时,应把表示不等关系的文字补上。 （2024秋•象山县校级期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是　　 A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 一元一次不等式的定义 例1若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 【变式1-2】已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ． 【变式1-3】当 时，不等式是一元一次不等式． 【变式1-4】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 求一元一次不等式的解集 例2已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 【变式2-4】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 求一元一次不等式的整数解 例3若，则式中的n可能表示的不同自然数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】不等式的非负整数解为 ． 【变式3-2】已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【变式3-3】若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 【变式3-4】规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 求一元一次不等式解的最值 例4已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【变式4-2】当 时，有最小值，最小值是 ； 【变式4-3】定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【变式4-4】规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【变式4-5】已知、满足和，求的最小值． 解|x≥a型的不等式 例5先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【变式5-1】在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【变式5-2】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式5-3】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 用一元一次不等式解决!实际问题 例62023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 【变式6-1】某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 【变式6-2】根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【变式6-3】某校准备在某超市为学生购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元． (1)求毛笔和宣纸的单价； (2)该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折． 若该校准备购买毛笔50支，宣纸张，则选择哪种方案（只能选择其中一种）更划算？请说明理由． 几何问题用一元一次不等式解决 例7如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【变式7-1】一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且，满足．将线段沿轴向右平移得到线段，平移后点，的对应点分别为，，且点．记为，为． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)①如图1，当点在线段（不包含线段的端点，）上时，直接写出：__________（度）； ②如图2．连接，，当三角形的面积为时，求的值，并求出此时与的数量关系； (3)作直线，在直线上有动点（点不与重合），点的横坐标为，连接，．若三角形的面积不大于，直接写出的取值范围． 【变式7-3】如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【变式7-4】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 1． （2023春•昭平县期中）在一次考试中有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣2分，不做得0分，小雨没有漏做，假设她做对了道题，且得分不低于70分，那么的取值范围是 　 　． 2．（2024春•丰都县期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 1．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 2．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 4．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 5．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 6．解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 8．学校选拔出了一批体育代表队，代表学校参加校联赛，现准备为全体出行师生租用接送车辆．已知4辆大客车和2辆小客车一次可载270人，2辆大客车和4辆小客车一次可载240人，大客车和小客车的租金分别为800元/辆，600元/辆． (1)求两种车的载客量各为多少； (2)已知学校本次出行的全体师生共205人，在保证每位师生都有座位的前提下，计划租用5辆车，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算选出最省钱的租车方案． 9．在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．    (1)已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值． (2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一元一次不等式 一元一次不等式的定义 1．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 注意 一元一次不等式与一元一次方程的异同 (1)相同点:二者都只含有一个未知数,未知数的次数是1,左右两边都是整式·(2)不同点:一元一次不等式表示的是不等关系，用不等号连接;一元一次方程表示的是相等关系,用等号连接. （2024春•青龙县期末）下列不等式是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【解答】解：根据一元一次不等式的定义可知， 选项没有未知数，不符合题意； 选项含有两个未知数，不符合题意； 选项是一元二次不等式，不符合题意； 只有选项中的不等式是一元一次不等式，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式是一元一次不等式． 一元一次不等式的解法 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 注意 解一元一次不等武时，五个步骤不一定都用到，也不一定都按这个顺序求解,应根据不等式的特点炅活求解 （2024春•江阳区校级期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质即可求得，解答即可． 【解答】解：关于的不等式的解集为， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 列不等式解决实际问题 列不等式解应用题的基本步骤 (1) 审:认真审题,分清已知量、未知量; (2) 找:找出题中的不等关系,抓住题中的关键词,如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“至多”“不超过”“超过”等； (3)设:设出适当的未知数; (4)列:根据题中的不等关系列出不等式; (5)解:求出所列的不等式的解集; (6)验:检验是否符合题意及实际意义； (7)答:写出答案。 注意 列不等式解决实际问题时，有三点应特别注意:(1)设未知数时,表示不等关系的文字如“至少”等不能出现。(2)列不等式时,不等式两边所表示的量应该相同，并且单位要统一。 (3)在最后写答时,应把表示不等关系的文字补上。 （2024秋•象山县校级期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是　　 A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 【答案】 【分析】设小明答对的题数是道，答错的为道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解． 【解答】解：设小明答对的题数是道，根据题意可得： ， 解得：， 故应为16． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是设出相应的题目数，以得分作为不等量关系列不等式求解． 一元一次不等式的定义 例1若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 【变式1-1】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可求出的值，再代入不等式即可求出不等式的解集，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得， 故答案为：，． 【变式1-2】已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式，根据题意可得，，再分别解不等式即可求解． 【详解】解：∵是不等式的解， ∴把代入得，， 解得， 又∵不是这个不等式的解， 把代入得，， 解得， ∴实数 a 的取值范围是， 故答案为：． 【变式1-3】当 时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-4】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 【答案】-1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以，求解即可； 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查 求一元一次不等式的解集 例2已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 【变式2-1】若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2-2】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 【变式2-3】关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式的组合，先解二元一次方程组，可得，结合，再建立不等式解题即可． 【详解】解：令， 由①②，得． ， ， 解得． 【变式2-4】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 求一元一次不等式的整数解 例3若，则式中的n可能表示的不同自然数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：， 解得， ∴n可能表示的不同自然数5个， 故选：B． 【变式3-1】不等式的非负整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 【变式3-2】已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值． 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为2， 关于的方程的解是， ， ， 故答案为：2． 【变式3-3】若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次方程和一元一次不等式解的情况求参数，先求出方程的解和不等式的解集，根据不等式的解集确定出方程的解，再代入方程的解即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解不等式，得， 不等式的最大整数解为， ∵方程的解是不等式的最大整数解， ∴， 解得． 【变式3-4】规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． 求一元一次不等式解的最值 例4已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【变式4-1】已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 【变式4-2】当 时，有最小值，最小值是 ； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 【变式4-3】定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 【变式4-4】规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 【变式4-5】已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 解|x≥a型的不等式 例5先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【变式5-1】在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 【变式5-3】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 用一元一次不等式解决!实际问题 例62023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 【答案】(1)A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元 (2)当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱 【分析】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得，解方程组即可． （2）根据题意，得在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：，分类计算解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，正确理解题意，建立不等式模型，方程组模型是解题的关键． 【详解】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得， 解得， 答：A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元.． （2）解：在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：（元）. 当在甲厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在甲厂家购买较省钱. 当在甲、乙两个厂家购买花费一样时： ，解得， 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样. 当在乙厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在乙厂家购买较省钱. 综上所述：当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱. 【变式6-1】某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元 (2)250棵 (3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可； （2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可； （3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可． 【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元， 根据题意，得，解得： 答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元． （2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：，解得． 答：至少购买“女贞”树苗250棵． （3）解：由题意：可列不等式，解得：． 由（2）可知， ． 为整数， 的取值可以是250，251，252， 有三种购买方案， 方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）； 方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）； 方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）． ， 方案一最省钱． 答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵． 【变式6-2】根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【答案】(1)x的取值范围是． (2)小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及用一元一次不等式解决问题，解决本题的关键是熟练掌握由题意能列出不等式． （1）根据题意先列出不等式，再求出解集即可； （2）先根据题意列出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， x的取值范围是； （2）设小颖家将x亩稻田用于种植蔬菜， 由题意可得， 解得：， 小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【变式6-3】某校准备在某超市为学生购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元． (1)求毛笔和宣纸的单价； (2)该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折． 若该校准备购买毛笔50支，宣纸张，则选择哪种方案（只能选择其中一种）更划算？请说明理由． 【答案】(1)毛笔的单价为5元/支，宣纸的单价为元/张 (2)当时，选择方案A划算；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案B划算 【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出毛笔和宣纸的单价； （2）利用总价=单价×数量，可分别用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用，分，及三种情况，求出a的取值范围或a的值，进而可得出：当时，选择方案A划算；当时，选择两种方案费用相同；当时，选择方案B划算． 【详解】（1）解：设毛笔的单价为元/支，宣纸的单价为元/张， 根据题意，得， 解得， 答：毛笔的单价为5元/支，宣纸的单价为元/张． （2）解：选择方案A所需费用为元； 选择方案B所需费用为元． 当时，解得． ， ； 当时，解得； 当时，解得． 综上所述，当时，选择方案A划算；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案B划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，利用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用． 几何问题用一元一次不等式解决 例7如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 【变式7-1】一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且，满足．将线段沿轴向右平移得到线段，平移后点，的对应点分别为，，且点．记为，为． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)①如图1，当点在线段（不包含线段的端点，）上时，直接写出：__________（度）； ②如图2．连接，，当三角形的面积为时，求的值，并求出此时与的数量关系； (3)作直线，在直线上有动点（点不与重合），点的横坐标为，连接，．若三角形的面积不大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②， (3)的取值范围是和 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定与性质，不等式，坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）①由平移可得，得到，结合，即可求解；②连接，并延长交轴于点，由，可得，，结合平移的性质可得，，进而得到，，，，，然后根据列方程即可求出，由可得，结合，可得到与的数量关系； （3）分为：当时，过点作轴于点，根据求解；当时， 求解即可． 【详解】（1）解：点，且，满足， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：①由平移可得：， ， ， ， 即， 故答案为：； ②如图，连接，并延长交轴于点， ，， ，， 由平移可得：，， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 解得：； ， ， ， ， 即， ， 即； （3）解：当时，如图，过点作轴于点， 根据题意得：， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ； 当时，此时， 解得：， ， 综上所述，的取值范围是和． 【变式7-3】如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 【变式7-4】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 1．（2023春•昭平县期中）在一次考试中有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣2分，不做得0分，小雨没有漏做，假设她做对了道题，且得分不低于70分，那么的取值范围是 　且为整数　． 【答案】且为整数． 【分析】根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， ， 的取值范围是且为整数， 故答案为：且为整数． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键． 2．（2024春•丰都县期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 1．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是不大于的最大整数， ∴． ∵是大于的最小整数， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵表示不大于的最大整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴； ∵表示大于的最小整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 故答案为：，； （3）解：解方程组得， 表示不大于的最大整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 表示大于的最小整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 2．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质、不等式的解法；熟练掌握坐标图形性质，分类讨论是解题的关键． （1）由，即可得出的长； （2）由题意可得，由面积公式即可得出结果； （3）分两种情况：当时及当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， 故答案为：3； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴，轴， , ， ， 四边形的面积; （3）②分两种情况： 第一种，当时，如图所示： 的面积的面积四边形的面积 ， ， ， ， ， ， ， 第二种，当时，如图所示： 的面积四边形的面积的面积 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，当时，或． 4．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 5．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 6．解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 【答案】(1) (2)最小整数解为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及求一元一次不等式的整数解． （1）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值 （2）根据方程组的解满足方程和，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值，代入一元一次不等式，解不等式即可得出最小整数解． 【详解】（1）解：∵方程组的解和方程组的解相同． ∴， 由②①得： ， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）把分别代入和， 可得方程组 解得 ∴ 即， ∴， ∴最小整数解为1． 7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】①6；②或；③或 【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值； ②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可； ③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x， ∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示， 表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示， ∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB， 且线段AB的长度为6， ∴的最小值为6. 故答案为：6. ②设A表示-3，B表示1，P表示x， ∴线段AB的长度为4，则， 的几何意义表示为PA+PB， ∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB， ∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． ③设A表示-a，B表示3，P表示x， 则线段AB的长度为， 的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值， ∴ ∴或， 即或； 故答案为：或. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键． 8．学校选拔出了一批体育代表队，代表学校参加校联赛，现准备为全体出行师生租用接送车辆．已知4辆大客车和2辆小客车一次可载270人，2辆大客车和4辆小客车一次可载240人，大客车和小客车的租金分别为800元/辆，600元/辆． (1)求两种车的载客量各为多少； (2)已知学校本次出行的全体师生共205人，在保证每位师生都有座位的前提下，计划租用5辆车，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算选出最省钱的租车方案． 【答案】(1)大客车每辆可载50人，小客车每辆可载35人 (2)见解析 (3)租用大客车2辆，小客车3辆最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，分别求出各租车方案所需总租金． （1）设大客车每辆可载人，小客车每辆可载人，根据“4辆大客车和2辆小客车一次可载270人，2辆大客车和4辆小客车一次可载240人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租大客车辆，则租小客车辆．根据学校本次出行的全体师生共205人，列出不等式，求出m的取值范围,即可得出结论； （3）利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，可分别求出4种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设大客车每辆可载人，小客车每辆可载人， 根据题意，得， 解得， 答：大客车每辆可载50人，小客车每辆可载35人． （2）解：设租大客车辆，则租小客车辆． 根据题意，得，解得． 又，均为整数， 可取2，3，4，5， 学校共有4种租车方案： 方案①：租用大客车2辆，小客车3辆； 方案②：租用大客车3辆，小客车2辆； 方案③：租用大客车4辆，小客车1辆； 方案④：租用大客车5辆． （3）解：选择方案①时的租车费用为（元）； 选择方案②时的租车费用为（元）； 选择方案③时的租车费用为（元）； 选择方案④时的租车费用为（元）． ， 选择方案①，即租用大客车2辆，小客车3辆最省钱． 9．在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．    (1)已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值． (2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②1；③； (2) 【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得的最小值为1； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为64计算即可； （2）根据点D、E的纵坐标之差的绝对值为5，可知点M到点D、E的横坐标的距离之和小于等于5，然后分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为1； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图， ∴， ∴；    （2）解：∵点，点， ∴点D、E的纵坐标之差的绝对值为5， ∵有动点，使得， ∴， ①当时，由题意得：， 解得：， ∴ ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，若有动点，使得，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$