2.1 第1课时 平方根、算术平方根（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（湘教版2024）

第2章 实数 七年级数学XJ版·下册 2.1 第1课时 平方根、算术平方根 授课人：XXXX 1 学习目标 1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根; 2.会求非负数的平方根与算术平方根.（重点、难点） 新课导入 某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8 m2，刚好用去正方形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？ ？ 每块正方形地垫的面积是 10.8÷30=0.36(m2)， 即边长×边长=0.36. 由于 0.62=0.36， 因此面积为0.36 m2的正方形地垫的边长是0.6 m. 新知探究 请你说一说解决问题的思路． 　　学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 平方根 一 问题引导 新知探究 （1）若正方形的面积如下，请填表： （2）你能指出它们的共同点吗？ 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm2 都是已知一个正数的平方，求这个正数. 新知探究 问题 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 想一想：3和-3有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是3或-3. 3和-3互为相反数，会不会是巧合呢？ 新知探究 根据上面的研究过程填表： 如果我们把 　 分别叫作 　 的平方根，你能给出平方根的概念吗？ 新知探究 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念： 如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根. 总结归纳 若r2=a，则r是a的一个平方根. 新知探究 因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根. 边长为2 边长为4 < > 类似地，边长小于2的正方形， 它的面积一定小于4，因此， 比2小的正数都不是4的平方根. 思考：除了2和 -2以外，4的平方根还有其他的数吗？ 新知探究 若 r 是正数 a 的一个平方根，那么a 的平方根有且只有两个：r与-r. 总结归纳 正数a的平方根可以用 “ ”来表示. 把正数a的负平方根记作 ，读作“负根号a“； 我们把正数a的正平方根记作 ，读作“根号a“； 新知探究 由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身. 由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根. 小结：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是0；负数没有平方根. 0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 新知探究 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 开平方 平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 新知探究 例1 分别求下列各数的平方根： 36， ，1.21. 解 : 由于 62=36， 因此36的平方根是6与-6. 即 由于 2= ， 因此 的平方根是 与 . 由于 1.12=1.21， 因此1.21的平方根是1.1与-1.1， 即 即 新知探究 ① 的平方根是_______； ② (－16)2 的平方根是_______. 练一练 新知探究 例2 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是______． 方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而两个互为相反数的数的和为0. 解析：因为一个正数的两个平方根分别是 2a－2和a－4，所以2a－2＋a－4＝0，解得a＝2. 2 新知探究 我们把正数a 的正平方根 叫作a 的算术平方根. 算术平方根的概念及性质 二 思考：正数、负数、0的算术平方根各有几个？ 正数的算术平方根是一个正数， 0的算术平方根还是0， 负数没有算术平方根. 新知探究 算术平方根的性质： 非负数 (a≥0) 算术平方根具有双重非负性 非负数 新知探究 判断下列说法是否正确. ①25 的算术平方根是 5； （ ） ②25 的平方根是 5； （ ） ③5 是 25的平方根 . （ ） √ √ 注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义 新知探究 例3 分别求下列各数的算术平方根： 100 ， ， 0.49 . 解: 由于102=100， 因此 . 由于 2= ， 由于 0.72=0.49， 因此 . 因此 . 正数的算术平方根只有一个. 新知探究 例4 若|m-1| + =0,求m+n的值. 方法归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0. 解: 因为|m-1| ≥0， ≥0， 又因为|m-1| + =0， 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1，n= -3， 所以 m+n=1+(-3)= -2. 新知探究 3.若 ，则 a= ； 2.若 ，则 m= ； 4.若｜a-3｜+ ，则代数式 =___. 1.若 |a+3|=0 ， 则 a= ； -3 7 5 -1 表示非负数的式子有 a≥0, |a|≥0, a2 ≥0, ≥0. 新知探究 归纳总结 平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0. 区别： 1.个数不同，一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 2.表示法不同，正数 a 的平方根表示为 ， 而算术平方根表示为 . 联系： 1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种（包含关系）. 课堂小结 平方根 正数的平方根 负数的平方根 0的平方根 正平方根 → → （没有） （就是0本身） 负平方根 算术平方根 ↑ 课堂小测 1. 分别求 64， ，6.25的平方根. 2. 分别求 81， ，0.16的算术平方根. 解：81的算术平方根是9， 的算术平方根是 ，0.16 的算术平方根是 0.4. 解 ： 64的平方根是8与-8， 的平方根是 与 ，6.25的平方根是2.5与-2.5. 课堂小测 3. 判断下列说法是否正确. 正确. （4）(-4)2 的平方根是-4. （1） 是 的一个平方根； （2） 是6的算术平方根； （3） 的值是±4； 正确. 不正确，是 4. 不正确，是 ±4. 课堂小测 4.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A. a+1 B. C. a2+1 D. D 5.已知 ，求x的值． 解：因为 所以 所以 x=12 或 x= -10. 课堂小测 $$