1.2.1 第2课时 平方差公式的应用（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（湘教版2024）

七年级数学XJ版·下册 授课人：XXXX 第1章 整式的乘法 1.2.1 第2课时 平方差公式的应用 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.掌握平方差公式的应用，会进行平方差公式的变形计算. 2.灵活应用平方差公式解决问题.（难点） 3.通过合作探究平方差公式的学习过程，让学生体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性. 新课引入 如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. (1)请表示图1中的阴影部分的面积. a2-b2 a b 图1 图1 图1 新课引入 (2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ 长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b) (3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ a b 图2 新知探究 a a b b b a + b a - b b 方法一： 新知探究 方法二：如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； 解： S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)． 所以S1＝S2＝(a＋b)(a－b)＝ a2－b2. 新知探究 想一想 （1）计算下列各组算式， 并观察它们的共同特点： 7×9 = 8×8 = 11×13 = 12×12 = 79×81 = 80×80 = 63 64 143 144 6399 6400 你发现了什么？ （a – 1）（a + 1）= a2 – 1 新知探究 例 1 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 解（1）103×97 =（100 + 3）（100 – 3） = 1002 – 32 = 9 991 解（2）118×122 =（120 – 2）（120 + 2） = 1202 – 22 = 14 396 新知探究 例 2 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3). 解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2 = a2(a2 – b2) + a2b2 = a4 – a2b2 + a2b2 = a4 解（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) = (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) = 4x2 – 25 – 4x2 + 6x = 6x – 25 新知探究 例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2-1-(9-n2) ＝10n2-10. 因为(10n2-10)÷10=n2-1. n为正整数， 所以n2-1为整数 方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 课堂小结 注意 内容 平方差公式 的应用 在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 课堂小测 1.如图①是由一个方鉴和一个方尊缶组成的青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，已知大正方形与小正方形的边长和为1.1 m，差为0.5 m，则阴影部分的面积为________m2. 第2题图 0.55 课堂小测 2.计算: (1)(3mn＋1)(3mn－1)-8m2n2. (2)(x＋y)2-(x-y)2 解：(1)(3mn＋1)(3mn－1)-8m2n2 =(3mn)2－1-8m2n2 =m2n2－1 =9m2n2－1-8m2n2 解：(2)(x＋y)2-(x-y)2 =(x＋y+x-y)(x＋y-x+y) =4xy =2x·2y 课堂小测 （x – y）（x + y）（x2 + y2）（x4 + y4 ） 3. 化简. =（x2 – y2）（x2 + y2）（x4 + y4 ） =（x4 – y4）（x4 + y4 ） = x8 – y8 课堂小测 4.小红家有一块L型的菜地，如图所示，要把L型的菜地，按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a)m，请你帮小红家算一算这块菜地的面积共有多少？并求出当a＝10，b＝30时，L型菜地的总面积． 解：由题意，得这块菜地的面积为 2× (a＋b)(b－a)＝b2－a2(m2)．当a＝10，b＝30时， 原式＝302－102＝800(m2)． $$