期末复习（三）图形的平移与旋转讲义-2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

期末复习（三）图形的平移与旋转 考点1 图形的平移 【例1】如图，已知S△ABC=12，将△ABC沿BC平移得到△A′B′C′，使点B′与点C重合，连接AC′交A′C于点D，则△C′DC的面积是 ( ) A.10 B.8 C.6 D.4 方法点拨：由平移的性质可得出线段的长度和位置关系：AC∥A′C′，且AC=A′C′，再据此求出各图形的面积关系即可. 【针对训练】 1.已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a-c|+=0，将线段PQ向右平移a个单位长度扫过的面积为20，则a+b+c的值为 ( ) A．12 B．15 C．16 D．17 考点2 图形的旋转与角度计算 【例2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．若∠ACB=28°，则∠FGC＝ ． 方法点拨：旋转变换中可由对应线段构建等腰三角形，且对应点与旋转中心的连线构成的角度等于旋转角，由此可确定图形中各个角的角度大小，据此解答即可. 【针对训练】 2.如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB=55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1= ． 考点3 中心对称图形 【例3】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A B C D 方法点拨：正确理解轴对称图形和中心对称的定义是解决此题的关键. 【针对训练】 3.如图，若要在四个区域中添加一个的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处． 考点4 平移与旋转作图 【例4】如图，把△ABC向右平移5个方格得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°，得到△A2B1C2．画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母. 方法点拨：平移与旋转作图中，关键在于根据平移、旋转要素找准对应点，平移可根据坐标画图，旋转则根据旋转中心、旋转方向和旋转角度找点、旋转后的对应位置，再按顺序相连. 【针对训练】 4.如图所示，△ABC的顶点均在格点上，且A（2，4），B（1，2），C（5，1）． （1）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ； （2）画出△ABC向下平移6个单位长度后的△A2B2C2，并直接写出点的坐标：A2 ，B2 ，C2 ． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.下列图形中，是中心对称图形的是 ( ) A B C D 2.已知点M(a，2)在第二象限，|a|=1，则点M关于原点对称的点的坐标是 ( ) A．（-2，1） B．（-1，2） C．（2，-1） D．（1，-2） 3.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，若点D恰好在BC的延长线上，则∠BDE的度数为 ( ) A．100° B．80° C．70° D．60° 第3题图 第4题图 4.如图，等边三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 ( ) A.(4，23) B.(3，3) C.(4，3) D.(3，2) 5.将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标是( ) A.(-a,-b) B.(-a,-b-1) C.(-a,-b+1) D.(-a,-b+2) 6.若点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，∠C=90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移10个单位长度，得△A′B′C′，已知BC=5，AC=8，则阴影部分的面积为 ( ) A．40 B．60 C．20 D．80 第7题图 第8题图 8.如图，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACP′，若AP′=3则PP′的长度是 ( ) A.3 B.2 C.4 D.3 二、填空题（每题4分，共16分） 9.如图，将△ABC沿BC方向平移a cm得到△DEF，已知BC=6 cm，BF=10 cm，则a= cm. 第9题图 第10题图 10.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若∠C=50°，且AB⊥DE于点F，则∠DAE= ． 11.在平面直角坐标系中，以P(1,1)为顶点的三角形与以N(2,0)为顶点的三角形成中心对称，若点P的对应点M的坐标为(3,1)，则点N对应点的坐标为 . 12.直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于A,B两点，将△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为 . 三、解答题（共32分） 13.在平面直角坐标系中，将点(0，0)，(1，3)，(2，0)，(3，3)用线段依次连接起来，得到一个图案“N”． (1)画出图案“N”关于y轴对称的图案； (2)将图案“N”先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出第二次平移后的图案； (3)以原点为对称中心，画出与(2)中的图案成中心对称的图案． 14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，延长AC交DB于点F，AB，DC相交于点O.求证： （1）AB⊥DE； （2）FB+BG=BC. ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（三）图形的平移与旋转 考点1 图形的平移 【例1】如图，已知S△ABC=12，将△ABC沿BC平移得到△A′B′C′，使点B′与点C重合，连接AC′交A′C于点D，则△C′DC的面积是 (C) A.10 B.8 C.6 D.4 方法点拨：由平移的性质可得出线段的长度和位置关系：AC∥A′C′，且AC=A′C′，再据此求出各图形的面积关系即可. 【针对训练】 1.已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a-c|+=0，将线段PQ向右平移a个单位长度扫过的面积为20，则a+b+c的值为 (D) A．12 B．15 C．16 D．17 考点2 图形的旋转与角度计算 【例2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．若∠ACB=28°，则∠FGC＝88 °． 方法点拨：旋转变换中可由对应线段构建等腰三角形，且对应点与旋转中心的连线构成的角度等于旋转角，由此可确定图形中各个角的角度大小，据此解答即可. 【针对训练】 2.如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB=55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1=50 °． 考点3 中心对称图形 【例3】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 (A) A B C D 方法点拨：正确理解轴对称图形和中心对称的定义是解决此题的关键. 【针对训练】 3.如图，若要在四个区域中添加一个的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在②处． 考点4 平移与旋转作图 【例4】如图，把△ABC向右平移5个方格得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°，得到△A2B1C2．画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母. 方法点拨：平移与旋转作图中，关键在于根据平移、旋转要素找准对应点，平移可根据坐标画图，旋转则根据旋转中心、旋转方向和旋转角度找点、旋转后的对应位置，再按顺序相连. 解：如图所示： 【针对训练】 4.如图所示，△ABC的顶点均在格点上，且A（2，4），B（1，2），C（5，1）． （1）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ； （2）画出△ABC向下平移6个单位长度后的△A2B2C2，并直接写出点的坐标：A2 ，B2 ，C2 ． 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1(-2，-4)，B1(-1，-2)，C1(-5，-1). 故答案为(-2，-4)(-1，-2)(-5，-1)； (2)如图，△A2B2C2即为所求，点A2(2，-2)，B2(1，-4)，C2(5，-5).故答案为(2，-2)(1，-4)(5，-5)． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.下列图形中，是中心对称图形的是 (D) A B C D 2.已知点M(a，2)在第二象限，|a|=1，则点M关于原点对称的点的坐标是 (D) A．（-2，1） B．（-1，2） C．（2，-1） D．（1，-2） 3.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，若点D恰好在BC的延长线上，则∠BDE的度数为 (B) A．100° B．80° C．70° D．60° 第3题图 第4题图 4.如图，等边三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 (A) A.(4，23) B.(3，3) C.(4，3) D.(3，2) 5.将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标是(D) A.(-a,-b) B.(-a,-b-1) C.(-a,-b+1) D.(-a,-b+2) 6.若点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有 (B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，∠C=90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移10个单位长度，得△A′B′C′，已知BC=5，AC=8，则阴影部分的面积为 (B) A．40 B．60 C．20 D．80 第7题图 第8题图 8.如图，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACP′，若AP′=3，则PP′的长度是 (A) A.3 B.2 C.4 D.3 二、填空题（每题4分，共16分） 9.如图，将△ABC沿BC方向平移a cm得到△DEF，已知BC=6 cm，BF=10 cm，则a=4cm. 第9题图 第10题图 10.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若∠C=50°，且AB⊥DE于点F，则∠DAE=100 °． 11.在平面直角坐标系中，以P(1,1)为顶点的三角形与以N(2,0)为顶点的三角形成中心对称，若点P的对应点M的坐标为(3,1)，则点N对应点的坐标为(2,2). 12.直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于A,B两点，将△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为(8,6)或(4,-6). 三、解答题（共32分） 13.在平面直角坐标系中，将点(0，0)，(1，3)，(2，0)，(3，3)用线段依次连接起来，得到一个图案“N”． (1)画出图案“N”关于y轴对称的图案； (2)将图案“N”先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出第二次平移后的图案； (3)以原点为对称中心，画出与(2)中的图案成中心对称的图案． 答图 解：(1)(2)(3)如图所示： 14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，延长AC交DB于点F，AB，DC相交于点O.求证： （1）AB⊥DE； （2）FB+BG=BC. 证明：(1)∵将△ABC绕点C逆时针旋转90 °得△DEC， ∴∠A=∠D,∠ACD=∠BCE=90 °. ∵∠DGB=∠CGA，∴∠DBG=∠ACG=90 °. ∴AB⊥DE； (2)∵将△ABC绕点C逆时针旋转90 °得到△DEC， ∴∠ABC=∠DEC，∠ACB=∠DCE，BC=EC. ∴∠ACB-90 °=∠DCE-90 °，即∠BCG=∠ECF. ∴△CBG≌△CEF(AAS). ∴EF=BG. ∴EF+BF=BG+BF，即BE=BG+BF. ∵EC=BC，∠BCE=90 °， ∴△BCE为等腰直角三角形. ∴BE=BC，即FB+BG=BC. ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$