专题03 图形的平移与旋转（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 图形的平移与旋转 题型概览 题型01图形的平移 题型02图形的旋转 题型03中心对称 图形的平移题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知A点坐标，B点坐标，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若点C的坐标为，则线段的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，若点B的横、纵坐标相等，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．7 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，将等腰直角沿方向平移得到．若，，则与重叠部分面积为 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B．则点B的坐标是 ． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，阴影部分面积为35，则平移距离为 ． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标为，则点坐标为 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为 ． 图形的旋转题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，现将绕着顶点A顺时针旋转至处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在内部，过E作于点F，若，，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．45° 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，点B的坐标是，，垂足为B，点A在直线，将绕点A顺时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去．．．，点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，若，则的大小为 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当时，则 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为 ．    11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，，垂足为C，，，将线段绕点C按顺时针方向旋转，得到线段，连接，则线段的长度为 ． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在边上（不与点、重合），若，则的度数为 ． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转到的位置，交于点，则 ． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是 ． 三、解答题 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标中，已知点，点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)是平面内一点，且，求n与m的关系； (3)如图2，是x轴上一动点，将线段绕点H顺时针旋转得到线段，当与直线有交点时，求h的取值范围． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题： (1)将向左平移7个单位，得到，画出图形； (2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形； (3)直接写出的长度． 19．（23-24八年级下·四川成都·期末）探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： 【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？    【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点． 【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，，求的面积． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点O，的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上．    (1)把先向上平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度得到，在图中画出； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)仅用无刻度直尺画出线段中点P（保留作图痕迹）． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，现将点按下列步骤完成两次运动： 第一次：将点先向右平移个单位长度，得到点，再将点绕原点逆时针旋转得到点； 第二次：将点先绕原点逆时针旋转得到点，再将点向右平移个单位长度，得到点． (1)当时，请直接写出点和点的坐标； (2)用含的代数式表示点和点的坐标，并求出当时的值； (3)当点在的内部时，请直接写出的取值范围． 23．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）．    (1)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (2)若点的坐标为，请直接写出点的坐标； (3)过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）． 24．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在锐角中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，，K为射线上一点，． ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 25．（23-24八年级下·四川达州·期末）在中， ，，，将绕着点A顺时针旋转，得到．    (1)如图①，当点落在边上时，连接，求的长； (2)如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点； (3)如图③，将绕着点A顺时针旋转，（2）中的结论是否成立？若成立，请计算的值为多少？（直接写出答案）；若不成立，请说明理由． 26．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向右平移7个单位长度得到的； (2)计算平移得到时扫过的面积； (3)画出绕点逆时针旋转后得到的，则点坐标为 ． 27．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段长． 28．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点O顺时针旋转得到的； (2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 29．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，，BC=5，点为平面内任意一点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接． (1)若点为内部任意一点时． ①如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； ②如图2，连接，当点，，在同一直线上且时，求线段的长； (2)如图3，直线与直线相交于点，延长到点，使得，连接，请求出的取值范围． 30．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知：如图，在中，，，，，垂足为D，点E是点D关于的对称点，连接，． (1)求和的长； (2)若将线段沿着射线方向平移，当点E平移到线段上时，求此时的长； (3)如图，将绕点A顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使为等腰三角形，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 中心对称题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题为“若，则” B．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 C．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化遗产名录，以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）对称性揭示了自然的秩序与和谐，体现数学之美．下列几种数学曲线是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）公园城市，美好人居，2024年世界园艺博览会在四川成都举行．如图，某美工设计师为博览会展出的四种花卉设计了图标，其中，是中心对称图形的是（   ） A．莲花 B．三角梅 C．报春花 D．芙蓉花 9．（23-24八年级下·四川巴中·期末）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·四川巴中·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．两条平行线之间的距离处处相等 B．“若，则”的逆命题是假命题 C．用反证法证明“”时应假设“” D．任意一条经过对称中心的直线可将中心对称图形分成面积相等的两部分 13．（23-24八年级下·四川达州·期末）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段下列新能源汽车标志图案中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·四川达州·期末）下列达州巴文化图案中，是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D．   16．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·四川乐山·期末）若点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 二、填空题 18．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）点与点关于原点对称，则 ． 三、解答题 19．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的，并直接写出线段的长度； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 20．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C，D分别是点A，B关于原点的对称点． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标： ． 22．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（图中每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________． (2)请在网格中画出关于原点成中心对称的 (3)将绕点逆时针旋转，请在网格中画出旋转后得到的． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 图形的平移与旋转 题型概览 题型01图形的平移 题型02图形的旋转 题型03中心对称 图形的平移题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的平移问题．根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得：的长表示平移的距离， ∵，， ∴平移的距离是． 故选：D 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知A点坐标，B点坐标，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若点C的坐标为，则线段的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，先根据A、C坐标得到平移距离为，进而得到即可． 【详解】解：∵A点坐标，点C的坐标为， ∴， ∵沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到， ∴， ∵B点坐标， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据坐标的平移规律解答即可． 【详解】解：将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是，即， 故选：B． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，若点B的横、纵坐标相等，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的平移．根据平移的规律可得点B的坐标为，再由点B的横、纵坐标相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点B的横、纵坐标相等， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据平移的性质可得，证明，得到，则，再推出，则． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为24， ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，将等腰直角沿方向平移得到．若，，则与重叠部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判断和性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积，由等腰直角三角形的性质可得，进而由平移可得，可得为等腰直角三角形，得到，又由已知可得，利用勾股定理得到，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵将等腰直角沿方向平移得到， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴与重叠部分面积为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B．则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知“右移加，左移减，上移加，下移减”是解题的关键．利用点平移的坐标规律，点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B的坐标． 【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，阴影部分面积为35，则平移距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，即得，求出，即可求出，即为平移的距离． 【详解】解：∵，沿着点B到C点的方向平移到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，即为平移的距离； 故答案为：5． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点），已知点坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为， 平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， 的对应点的坐标为． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，两点间距离公式的应用，运用待炡系数法求出直线的解析式，得出直线和交点坐标，得到，运用平移规律得，设点，则，，得，求出，，再求出的周长最小值即可 【详解】解：∵，， ∴， 设直线的解析式为 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 联立方程组，解得，， ∵与点关于直线对称， 设，则有： ∴ ∴， 由平移规律得，， 设点，则，， ∴， ∴， ∴的周长 当时，的周长 而 ∴ 解得,， 所以，当时，的周长最小值为， 故答案为： 图形的旋转题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，现将绕着顶点A顺时针旋转至处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在内部，过E作于点F，若，，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． 根据旋转的性质得到，由角的和差可得，则，然后证明为等腰直角三角形，所以，再根据勾股定理可得，即可的长． 【详解】解：∵将绕着顶点A顺时针旋转至处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．然后通过旋转发现，每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，且的纵坐标为4，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为4， ∴点的坐标为． 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．45° 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由，将绕点逆时针旋转得到，得，，得，即可得． 【详解】解：由，将绕点逆时针旋转得到， 得，， 得， 得． 故选：B． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由旋转的性质得到，再由等边对等角得到，，则由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，点B的坐标是，，垂足为B，点A在直线，将绕点A顺时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去．．．，点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化−旋转以及勾股定理，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法．根据题意可知……落在直线上，因此也落直线上，只要求出的长度，即可求出纵坐标，而，而可以根据勾股定理求出． 【详解】解：点B的坐标是， 点的纵坐标为1， ， 在中，， ， 由旋转得：， ∴， 设， 即， （负值舍去）， ， 点的纵坐标是； 在直线上， ， 同理，的纵坐标， 故答案为：，． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，若，则的大小为 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据旋转得出，， ，根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据旋转可知：，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点C作交于点H，连接，根据题意得到，易证，由等腰三角形的性质推出，推出，证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，即可证明是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点C作交于点H，连接， 点E与点A关于线段所在直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，含30度的直角三角形的三边关系，勾股定理，全等三角形的性质与判定等相关知识，得出三角形全等是解题关键．取的中点，连接，，在中，，，，可得，，由点是的中点，可得三角形是等边三角形，，所以，；设，则，，在中，利用勾股定理可得，，解之即可得出结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在中，，，， ，， 点是的中点， ， 是等边三角形， ， 由旋转可知，，， ， ， ， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理可得，， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理的运用，根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转，即， ∴， 故答案为： ． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，，垂足为C，，，将线段绕点C按顺时针方向旋转，得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，含30度角直角三角形特征，等边三角形的判定与性质，过点D作于点E，求出，求出的值，在中利用勾股定理求出的值，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴， 由旋转可知：， 为等边三角形， ， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在边上（不与点、重合），若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质；由旋转知，，，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转到的位置，交于点，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，由可得，由旋转的性质可得，进而得到，再由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转90度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，先由等边三角形的性质得到，再证明得到；如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，则，进而可得，则，即可得到，解得，则． 【详解】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F， ∵是等边三角形，点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判断，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而表示出点C的坐标是解题的关键． 三、解答题 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：； （2）解：如图2所示，即为所求． 由图可得，点， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标中，已知点，点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)是平面内一点，且，求n与m的关系； (3)如图2，是x轴上一动点，将线段绕点H顺时针旋转得到线段，当与直线有交点时，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）过点C作轴于点D，证明，得出，，求出，得出，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点B作于点F，延长，取点E，使，过点E作直线，过点B作，连接，，先根据中点坐标公式求出，根据待定系数法求出直线的解析式为，设点，根据中点坐标公式求出，得出，根据，求出直线l的解析式为：，同理求出直线的解析式为：，根据得出当点D在直线l或上时，符合题意，最后求出结果即可； （3）分别求出当旋转后点正好在上时，当点在上时h的值，即可得出当与直线有交点时，h的边界值，即可得出h的取值范围． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，如图所示： 则， ∵点，点， ∴，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点B作于点F，延长，取点E，使，过点E作直线，过点B作，连接，，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵、， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 根据作图可知：点F为的中点， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴设直线l的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线l的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵，， ∴当点D在直线l或上时，， 当点在直线l上时，，即； 当点在直线上时，，即； 综上分析可知：n与m的关系为或； （3）解：当旋转后点正好在上时，连接，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵，直线的解析式为：， ∴点的坐标为：， ∵，， ∴， 解得：； 当点在上时，过点C作轴于点N，作轴于点M，连接，，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为：， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴当时，与直线有交点． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，一次函数的综合应用，求出一次函数解析式，一次函数的平移问题，中点坐标公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，注意进行分类讨论． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平移法则“上加下减、左加右减”确定对应点，，的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定对应点、、，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点P，根据两点之间线段最短即可解答 本题主要考查了平移作图、旋转作图、轴对称的性质等知识点，正确理解旋转的性质、平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：将向下平移5个单位后得到的， ∴， 故画图如下： 则即为所求． （2）解：根据旋转的性质作图如下： 即为所求． （3）解：如图： 则点P即为所求． ∵， ∴的最小值为． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题： (1)将向左平移7个单位，得到，画出图形； (2)将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形； (3)直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ； （2）解：如图：即为所作， ； （3）解：由勾股定理得：． 19．（23-24八年级下·四川成都·期末）探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： 【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？    【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点． 【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数． 【答案】（1）将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到 （2）见解析 （3）；当取最小值时，点落在线段上，；当取最大值时，点落在的延长线上，． 【分析】本题主要考查了几何变换，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质即可作图，过点作，交延长线于点，根据旋转的性质可得是等边三角形，结合垂直的性质可得是等腰三角形，由此可证，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的判定和性质可证，可求出的取值范围即可． 【详解】解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到； （2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点，    ∴，， ∵绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； （3）∵是等边三角形， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接，    ∴， ∴是等边三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当取最小值时，如图所示， 点落在线段上，； 当取最大值时，如图所示，    点落在的延长线上，； 综上所述，，当 取最小值时，点落在线段上，；当  取最大值时，点落在  B D  的延长线上，． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得AD=DE； （3）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可列方程组，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，在上取点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积= 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点O，的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上．    (1)把先向上平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度得到，在图中画出； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)仅用无刻度直尺画出线段中点P（保留作图痕迹）． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】本题主要考查了作图−平移变换、旋转变换、线段垂直平分线的性质， （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用网格为正方形，对角线互相垂直平分，交于点P，则点P即为所求； 熟练掌握平移的性质、旋转的性质、正方形的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求．    （2）如图，即为所求．    （3）如图，    ∵每个网格为正方形 ∴对角线互相垂直平分， ∴连所在的正方形的另一对角线与交于点P， ∴可得出P点为的中点 ∴点P即为所求． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，现将点按下列步骤完成两次运动： 第一次：将点先向右平移个单位长度，得到点，再将点绕原点逆时针旋转得到点； 第二次：将点先绕原点逆时针旋转得到点，再将点向右平移个单位长度，得到点． (1)当时，请直接写出点和点的坐标； (2)用含的代数式表示点和点的坐标，并求出当时的值； (3)当点在的内部时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)点的坐标为，点的坐标为； (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用平移的性质得到点的坐标，作轴于点，轴于点，证明，得到，，即可得到点的坐标，同理可得到点的坐标． （2）由（1）同理可得出点的坐标为，点的坐标为，再根据，利用勾股定理建立等式求解，即可解题； （3）根据点在的内部，建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，则点的坐标为， 点绕原点逆时针旋转得到点， ，， 作轴于点，轴于点， ， ，， ， ， ，， 的坐标为， 由上面同理可得点的坐标为，再将点向右平移个单位长度，得到点的坐标为； （2）解：由题知，点的坐标为， 由（1）同理可得，点绕原点逆时针旋转得到点的坐标为， 由（1）同理可得，点先绕原点逆时针旋转得到点的坐标为，再将点向右平移个单位长度，得到点的坐标为； ， ， ， 解得； （3）解：点在的内部， ，， 解得，， 的取值范围为． 23．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）．    (1)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (2)若点的坐标为，请直接写出点的坐标； (3)过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、平移的性质，平行线的判定，坐标与图形； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案． （3）根据平移的性质，画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）根据题意建立平面直角坐标系， 则点的坐标为． （3）如图，即为所求．      24．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在锐角中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，，K为射线上一点，． ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①证明，推出，再根据，即可得出结论； ②由全等三角形的性质和等腰三角形的性质证明，再证明，即可求解； （2）结论：．首先证明．如图中，延长到，使得，连接，证明，推出，延长到，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论. 【详解】（1）解：①证明：在与中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ， ， ， ， ， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图2中，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ∴， 由旋转可得：， ∴，， 如图2中，延长到，使得，连接， ，，， ， ，， 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ∵ ∴ ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，对顶角性质，四边形内角等于360度等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25．（23-24八年级下·四川达州·期末）在中， ，，，将绕着点A顺时针旋转，得到．    (1)如图①，当点落在边上时，连接，求的长； (2)如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点； (3)如图③，将绕着点A顺时针旋转，（2）中的结论是否成立？若成立，请计算的值为多少？（直接写出答案）；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，理由见解析， 【分析】（1）过点E作的延长线于F，则，根据含的直角三角形性质得到，，根据旋转性质得到，，得到，得到，得到，，得到，在中，根据勾股定理得到； （2）过点E作交的延长线于F，则，  由旋转得到，，，得到，得到，得到，推出，得到，即得点P是的中点； （3）过点E作直线的延长线于点H，交延长线于点G，则，得到，，由旋转知，，得到，证明四边形是矩形，得到，，得到，得到，推出 ，得到，， P是的中点，根据，得到，得到，即得的值为：． 【详解】（1）如图①，过点E作，交延长线于F，则，    ∵中，，，， ∴，， ∵将绕着点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； （2）如图②，过点E作交的延长线于F，则，      由旋转知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 点P是的中点； （3）（2）中的结论仍然成立，理由： 如图③，过点E作直线，交延长线于点H，交延长线于点G，则，    ∵， ∴， ∴， 当绕着点A顺时针旋转时，，， ∴，， ∵, ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴P是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的值为：． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形与旋转综合．添加辅助线构造全等三角形和直角三角形，熟练掌握含的直角三角形性质，旋转性质，等腰三角形判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 26．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向右平移7个单位长度得到的； (2)计算平移得到时扫过的面积； (3)画出绕点逆时针旋转后得到的，则点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)35 (3) 【分析】本题考查了平移，旋转， （1）将点A、B、C分别向右平移7个单位长度可得到、、，连接即可得； （2）根据平移可得，平移得到时扫过的面积：，进行计算即可得； （3）将点A、C分别绕点逆时针旋转后可得到、，连接可得到，即可得． 【详解】（1）解：将点A、B、C分别向右平移7个单位长度可得到、、，连接即可得到，如图所示， （2）解：如图所示， 平移得到时扫过的面积： ； （3）解：将点A、C分别绕点逆时针旋转后可得到、，连接即可得到，如图所示， 则点坐标为， 故答案为：． 27．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理等： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得的长，再由角平分线的判定定理可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点O顺时针旋转得到的； (2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设交y轴于点D，则点， ， ∵的面积是面积的倍， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 29．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，，BC=5，点为平面内任意一点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接． (1)若点为内部任意一点时． ①如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； ②如图2，连接，当点，，在同一直线上且时，求线段的长； (2)如图3，直线与直线相交于点，延长到点，使得，连接，请求出的取值范围． 【答案】(1)①，证明见解析；② (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，证明，判断点在以为直径的圆上运动是解第（2）题的关键．（1）①利用证明即可得出结论；②取与的交点为，利用勾股定理求出，证明得出，再利用勾股定理求出，进而求出，然后解等腰直角三角形即可；（2）证明，从而发现点在以为直径的圆上运动，当点和重合时最小，当经过中点时，最大，据此即可求解． 【详解】（1）①， 证明：是等腰三角形， ， ， 将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ; ②解：如图，取与的交点为， 由①已证， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在等腰直角中， ; （2）解：由（1）已证， ， ， ， 又， ， ， 点在以为直径的圆上运动，当点和重合时最小，当经过中点时，最大， 最小值为， 取中点为，取中点， 则，， ， ， ，， ， 最大值为， . 30．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知：如图，在中，，，，，垂足为D，点E是点D关于的对称点，连接，． (1)求和的长； (2)若将线段沿着射线方向平移，当点E平移到线段上时，求此时的长； (3)如图，将绕点A顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使为等腰三角形，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或或或15． 【分析】（1）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，连接交于，设点平移到线段上于点， 点是点关于的对称点， ，，，， 将沿射线方向平移， ∴， ， 又， ， ， 同理可得：； ∴， ∴， ∴， 即平移后的为； （3）解：由（2）可知：，， ①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时， 如图2， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形，且是钝角， ， ， ， ， 在中，，， ； ②如图3， 为等腰三角形， ， ，， ， 由旋转得，，，，， ， ∴， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； ③如图4， 旋转的过程中，和线段，相交时， Ⅰ、当时， ，， ， ， Ⅱ、当时， ， ， ， ， 根据勾股定理得，， 即满足条件的的长为或或或15． 【点睛】本题是几何变换综合题，勾股定理、三角形全等、主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，化为最简二次根式，旋转的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求，根据题意画出图形是本题的难点． 中心对称题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题为“若，则” B．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 C．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查的是真假命题的判断，根据逆命题的概念、三角形角平分线的性质、中心对称图形的概念、三角形全等的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、命题“若，则”的逆命题为“若，则”，说法正确，不符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，说法正确，不符合题意； C、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，说法错误，符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的识别，一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则A不符合题意； B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则B不符合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C符合题意； D是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化遗产名录，以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了中心对称图形的定义，熟记定义并理解与轴对称图形的区别是解题的关键．根据“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行分析判断． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）对称性揭示了自然的秩序与和谐，体现数学之美．下列几种数学曲线是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此解答即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，先在直线上任意取一点，然后根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出m值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一三四象限， ∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称， ∴平移后的函数的解析式为， ∵直线经过点，该点关于原点的对称点为， 将代入，得， 解得， 即平移后解析式为， 可以化为：， 所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 故选：D． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】A．不是中心对称图形，故此选项错误； B．不是中心对称图形，故此选项错误； C．不是中心对称图形，故此选项错误； D．是中心对称图形，故此选项正确． 故选D． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）公园城市，美好人居，2024年世界园艺博览会在四川成都举行．如图，某美工设计师为博览会展出的四种花卉设计了图标，其中，是中心对称图形的是（   ） A．莲花 B．三角梅 C．报春花 D．芙蓉花 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 在平面内，把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：莲华，三角梅，芙容花不是中心对称图形；报春花是中心对称图形； 故选：C． 9．（23-24八年级下·四川巴中·期末）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的点的坐标是． 故选：D． 10．（23-24八年级下·四川巴中·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：B． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．两条平行线之间的距离处处相等 B．“若，则”的逆命题是假命题 C．用反证法证明“”时应假设“” D．任意一条经过对称中心的直线可将中心对称图形分成面积相等的两部分 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、不等式的性质、反证法的应用以及中心对称的性质进行分析即可． 【详解】解：A．两条平行线之间的距离处处相等，则原说法正确，故此选项不符合题意； B．“若，则”的逆命题是：若，则，它是假命题，例如：，而，则原说法正确，故此选项不符合题意； C．用反证法证明“”时应假设“”，则原说法不正确，故此选项符合题意； D．任意一条经过对称中心的直线可将中心对称图形分成面积相等的两部分，则原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查逆命题，以及命题的真假判断，掌握平行线的性质、不等式的性质、反证法的应用以及中心对称的性质是解题的关键． 13．（23-24八年级下·四川达州·期末）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段下列新能源汽车标志图案中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 15．（23-24八年级下·四川达州·期末）下列达州巴文化图案中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、选项中的图案不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C. 选项中的图案是中心对称图形，故选项C符合题意； D. 选项中的图案不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．是中心对称图形，故符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 17．（23-24八年级下·四川乐山·期末）若点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题 18．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了原点对称的性质：横纵坐标互为相反数，据此即可得到答案，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为． 三、解答题 19．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的，并直接写出线段的长度； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可，即可写出的坐标； （2）利用点P与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可，利用勾股定理即可求出的长度； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 则； （2）解：∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 如图所示： ； （3）解：根据图象可知，连接、后，它们交于点，且点的坐标为， 所以和的对称中心的坐标为． 20．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C，D分别是点A，B关于原点的对称点． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）求出点A和点B的坐标，再根据点C，D分别是点A，B关于原点的对称点求出点C，D的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在坐标系中画出函数图象，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∵点C，D分别是点A，B关于原点的对称点， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）如图， ∵，，， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，熟练掌握平移和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据图形平移的性质分别将，，向右平移4个单位长度得到对应点，，，连接即可； （2）根据中心对称图形的性质分别作出，，以原点为对称中心的对应点，，，连接即可； （3）依次将对应点，连线，交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：根据图形平移的性质分别将，，向右平移4个单位长度得到对应点，，，再依次连接点，，， 如图，即为所求： （2）解：根据中心对称图形的性质分别作，，以原点为对称中心的对应点，，，再依次连接点，，， 如图，即为所求： （3）解：如图，连接，，交点即为旋转中心，所以旋转中心的坐标为， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（图中每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________． (2)请在网格中画出关于原点成中心对称的 (3)将绕点逆时针旋转，请在网格中画出旋转后得到的． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查作图—中心对称、旋转变换， （1）由题意可知，是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，由此可得答案； （2）根据中心的性质分别作出点、、关于原点对称的对应点、、，再顺次连接即可得； （3）根据旋转的性质分别作出点、绕点逆时针旋转后得到的对应点、，再顺次连接即可得； 掌握平移、中心对称和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， ∵， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：； （2）如图，即为所作； （3）如图，即为所作； 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$