湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

雅礼教育集团2025年上学期3月考试试卷 高二数学 时量:120分钟分值:150分 命题人:汤芳审题人:张鎏 1、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设集合,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】因为集合, 所以, 因此, 所以不正确,正确. 又因为,所以不正确. 故选. 2、已知函数的图像关于点对称,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】函数的图像关于点对称, 则,即. 因为, 所以. 故选. 3、复数满足,则的虚部为( ) A. B. C.2 D. 【答案】 【解析】因为,所以,所以的虚部为2.故选. 4、边长为1的正三角形中,的值为( ) A.1 B.2 C. D. 【答案】 【解析】如图,作菱形,则 由余 弦定理得,所以 故选. 、已知,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】,当时,, 故切点为(1,0),切线在该点处的斜率为, 故曲线在点处的切线方程为,即. 6、如图,三棱柱中,,分别是、的中点,平面将三棱柱分成体积为(左为,右为)两部分,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】设三角形的面积为,三角形与三角形的面积为,三棱柱的高为, 则有, 设三棱柱的体积为, 又因为①,②,所以③, 由题意可知④, 由①②③④可得, 所以,所以. 故选:. ★7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的两点反射后,分别经过点和,且,则的离心率为( ) 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意可知直线都过点,如图,则有, 设,则,所以,故,所以,因此, 在,即, 整理得即,解得, 所以,令双曲线半焦距为, 在中,,即, 解得,所以的离心率为.故选:B 8、已知函数的定义域为是的导数,且,若为偶函数,则( ) A.80 B.75 C.70 D.65 【答案】 【解析】因为为偶函数,所以,所以, 是奇函数,所以, 因为,所以,所以, , 所以,所以, 又,所以是周期为4的函数, 故选:. 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得2分. 、已知抛物线的焦点到准线的距离是4,直线过它的焦点且与交于,两点,为弦的中点,则下列说法正确的是( ) A.抛物线的焦点坐标是(2,0) B. C.若,则 D.若以为圆心的圆与的准线相切,则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】对选项,抛物线的焦点到准线的距离是4, 所以,故正确.对选项,当直线的斜率不存在时,,所以,当 直线的斜率存在时,设, 得:,所以.故正确. 对选项,,故错误.对选项,如图所示: 过分别向准线作垂线,垂足为,因为, 所以,即:以为直径的圆与的准线相切,故正确.故选:ABD 10、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正确的有( ) A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为,则数学期望 B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为,则 C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有种,则数学期望 D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为,则数学期望 【答案】 【解析】【分析】 本题考查了离散型随机变量的期望,二项分布等,属于中档题. 对于,分别计算随机变量取不同值时对应的概率,即可求解期望值,对于,则可求. 【解答】 对于的可能值:0,1,2,3, 则,故正确; 对于的可能值:0,1,2,3,取球一次取到黑球的概率为, 因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果, 因此,,故错误; 对于的可能值:1,2,3, 则,故正确; 对于的可能值:0,1,2,3, 因为对应的事件为:红或白红,所以, 因为对应的事件为:黑红或黑白红或白黑红,所以, 因为对应的事件为:黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红, 所以, 所以, 则,故正确. 故选:ACD. 11、 高斯被誉为“数学王子”,是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为,且, 令,则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】【解析】对于, 当时,, 化简得, 又,解得, 则是以1为首项,1为公差的等差数列, , 选项错,选项正确; 对于, , ,选项正确; 对于,当时,, , 又, , ,故对. 故选:BCD. 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. ★12、已知,若,则_____ 【答案】 【解析】令,可得,解得, , 展开式中的系数为. ★13、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来调研,每个组至多3名学生,则不同的安排方法种数为_____ 【答案】450种 【解析】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生, 所以可以分成1,2,3或2,2,2两类, 当6人分成1,2,3三组,有种分法, 当6人分成2,2,2三组,有种分法, 所以不同的安排方法种数为种 ★14、已知不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】设,则对有, 对有.从而在(0,1)上递减,在上递增,所以,故. ①一方面,在条件中令,即得. 假设,则,从而,矛盾. 所以一定有. ②另一方面,若: 首先有%. 以及. 将两个不等式相加,就得到, 从而. 由于,故,所以对任意,有. 而对任意的,显然也有, 所以,从而时条件一定满足. 综合①②两个方面,可知的取值范围是. 法二:指对同构 四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、如图,四棱锥的底面是矩形,是等边三角形,平面平面,分别是的中点,与交于点. (1)求证:平面； (2)平面与直线交于点,求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)略(2) 【解析】(1)证明:因为为正三角形,是中点,所以, 又因为平面平面,平面平面, 所以平面, 因为,所以 ,所以, 又因为在平面内且相交,故平面; (2)因为分别为的中点,所以, 又平面过且不过,所以平面, 又平面交平面于,故,进而,因为是中点,所以是的中点, 以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 则, 所以, 设平面的法向量为, 则,解得, 令,得,所以, 所以,所以, 所以直线与平面所成角的大小为. 16、(本小题15分)已知分别是角的对边,的面积. (1)证明:; (2)若为的平分线,交于点,且,,求的长. 【答案】(1)略(2) 【解析】(1)证明: 因为,化简得, 由正弦定理, 得, 又, 所以,整理得, 又为的内角,所以,即； (2)因为为的平分线,且, 所以,所以, 在等腰三角形中,,① 又, , 化简得, 又② ①代入②,得, 解得或(舍去), , 在中,由余弦定理得: . 17、南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布. (1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？ (2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量(人)与年收益增量(万元)的数据如下: 人工投入增量(人) 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量(万元) 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了与的两个回归模型: 模型①:由最小二乘公式可求得与的线性回归方程:; 模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,令 (i)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程(精确到0.1)； (ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附:若随机变量,则 决定系数. 【答案】(1)1.29%(2)(i)(ii)当时,模型②年收益增量预测值为:(万元), 这个结果比较模型①的预测精度更高、更可靠. 【解析】(1)由已知,单个“南澳牡蛎”质量, 则, 由正态分布的对称性可知 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”, 其中质量小于的牡蛎为只故, 则, 这10只“南澳牡蛎”中,会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%; (2)(i)由, 有, 且, 所以模型②中关于的回归方程为； (ii)由表格中的数据,有182.4>79.2, 即, 模型①的小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好, 当时,模型②年收益增量预测值为:(万元), 这个结果比较模型①的预测精度更高、更可靠. 18、已知椭圆,定义椭圆上的点的“伴随点”为. (1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程; (2)如果椭圆上的点的“伴随点”为,对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”,求的取值范围; (3)当时,直线交椭圆于两点,若点的“伴随点”分别是,且以为直径的圆经过坐标原点,求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】(1)设.所以,根据“伴随点”的定义,有,则 又因为,所以,即 所以,椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为 (2)由(1)知,椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为, 因为椭圆上的点的“伴随点”为, 所以,根据“伴随点”的定义与(1)中结论,有,解得. 因为点在椭圆上,所以,所以,,且, 所以 因为,所以, 所以的取值范围是 (3)由题意,得椭圆的方程为. 设,则 联立椭圆和直线的方程,得所以 由题意,得,所以.① 因为为直径的圆经过坐标原点, 所以,即, 所以.② 将①代入②,化简,得.所以, 所以 又因为点到直线的距离,所以. 19、定义:如果函数在定义域内,存在极大值和极小值,且存在一个常数,使成立,则称函数为极值可差比函数,常数称为该函数的极值差比系数.已知函数 (1)当时,求； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；(3)若,求的极值差比系数的取值范围. 【解析】(1)当时,, 所以, 当时,,当时,, 所以在和上单调递增,在上单调递减, 所以的极大值为,极小值为, 所以, 此时 (2)的定义域为,即, 假设存在,使得的极值差比系数为, 则是方程的两个不等正实根, 不妨设,则, 由于 所以,从而, 得, 令, 所以在上单调递增,有, 因此式无解,即不存在使的极值差比系数为. (3) ,又,令 所以 ,因为,所以 令 则,令 在上单调递减,, 所以上单调递增, 所以 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2025年上学期3月考试试卷 高二数学 时量:120分钟 分值:150分 命题人:汤芳 审题人:张鎏 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设集合,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 2、已知函数的图像关于点对称,则( ) A. B. C. D. 3、复数满足,则的虚部为( ) A.-2025 B. C.2 D. 4、边长为1的正三角形中,的值为( ) A.1 B.2 C. D. 、已知,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、如图,三棱柱中,,分别是、的中点,平面将三棱柱分成体积为(左为,右为)两部分,则( ) A. B. C. D. ★7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的两点反射后,分别经过点和,且,则的离心率为( ) 图1 图2 A. B. C. D. 8、已知函数的定义域为是的导数,且,若为偶函数,则( ) A.80 B.75 C.70 D.65 二、多项选择题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 、已知抛物线的焦点到准线的距离是4,直线过它的焦点且与交于,两点,为弦的中点,则下列说法正确的是( ) A.抛物线的焦点坐标是(2,0) B. C.若,则 D.若以为圆心的圆与的准线相切,则是该圆的一条直径 10、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正确的有( ) A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为,则数学期望 B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为,则 C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有种,则数学期望 D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为,则数学期望 11、高斯被誉为“数学王子”,是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为,且,令,则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. ★12、已知,若,则_____ ★13、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来调研,每个组至多3名学生,则不同的安排方法种数为_____ ★14、已知不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是_____ 四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本小题13分)如图,四棱锥的底面是矩形,是等边三角形,平面平面分别是的中点,与交于点. (1)求证:平面； (2)平面与直线交于点,求直线与平面所成角的大小. 16、(本小题15分)已知分别是角的对边,的面积.(1)证明:; (2)若为的平分线,交于点,且,,求的长. 17、(本小题15分)南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布. (1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20的牡蛎的可能性有多大？ (2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量(人)与年收益增量(万元)的数据如下: 人工投入增量(人) 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量(万元) 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了与的两个回归模型: 模型①:由最小二乘公式可求得与的线性回归方程:; 模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,令 (i)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程(精确到0.1)； (ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附:若随机变量,则 决定系数. 、(本小题17分)已知椭圆,定义椭圆上的点的“伴随点”为. (1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程; (2)如果椭圆上的点的“伴随点”为,对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”,求的取值范围; (3)当时,直线交椭圆于两点,若点的“伴随点”分别是,且以为直径的圆经过坐标原点,求的面积. 19、(本小题17分)定义:如果函数在定义域内,存在极大值和极小值,且存在一个常数,使成立,则称函数为极值可差比函数,常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时,求极值差比系数的值； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由； (3)若,求的极值差比系数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$