精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高一下学期2月月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）. A B. C. D. 3. 下列区间包含函数零点的为（ ） A. B. C. D. 4. 中，分别为角的对边，，，且（为锐角），则以下正确的有（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，那么一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 正三角形 6. 已知4个函数:①;②;③;④的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为 A ①④②③ B. ③②④① C. ①④③② D. ③①④② 7. 已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示（ ） A. a－2 B. 5a－2 C. 3a－(1＋a)2 D. 3a－a2 8. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为， 则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. C. 函数图像的一个对称中心为 D. 函数的图像可由图像向右平移个单位得到 11. 根据《周髀算经》记载，满足勾股定理的正整数组（a，b，c）称为勾股数组，任意一组勾股数组（a，b，c）都可以表示为如下的形式：，其中，，均为正整数，如图，中，，三边对应的勾股数中，点M在线段EF上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 三、填空题 12. 化简______. 13. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为________． 14. 已知函数，，，，对任意恒有，则函数在上单调增区间______. 四、解答题 15. 设，是夹角为的单位向量，若，，求与的夹角． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围及的值． 17. 在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③. （1）求A的大小； （2）求的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性并根据定义证明； （3）若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且． （1）若边，，的平分线交边于点．求的长； （2）若为边上任意一点，，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高一下学期2月月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域相同，解析式一致即可判断. 【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故B错误； 对于C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D：函数的定义域为，且， 函数的定义域为，且， 两函数的定义域相同，解析式一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：D 2. 已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， . 故选：C 3. 下列区间包含函数零点的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案. 【详解】，， ，， ，又为上单调递增连续函数 故选：C . 4. 中，分别为角的对边，，，且（为锐角），则以下正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理得：， 为锐角，. 故选：C. 5. 在中，已知，那么一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 正三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式化简即可得解. 【详解】在中，， ， 即， ， ， 又A，，， 一定是等腰三角形. 故选：A 6. 已知4个函数:①;②;③;④的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为 A. ①④②③ B. ③②④① C. ①④③② D. ③①④② 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】解：①是奇函数，图象关于原点对称；当时，恒成立； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③为非奇非偶函数，图象关于原点和轴不对称，且恒成立； ④是偶函数，图象关于轴对称； 则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大. 7. 已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是（ ） A. a－2 B. 5a－2 C. 3a－(1＋a)2 D. 3a－a2 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2． 故选：A. 8. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果. 【详解】因为，且与夹角的余弦值为， 所以. 故选：A. 二、多选题 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故正确； 对于B，因为，所以 所以，（当且仅当即时取等号，故等号不取） ，（当且仅当即时取等号，故等号不取）， 所以，故错误； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当即时，取等号，故正确； 对于D，， 当且仅当即时，取等号，故正确 故选：ACD 10. 函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. C. 函数图像的一个对称中心为 D. 函数的图像可由图像向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论． 【详解】由函数的图像可知，最小正周期，则，，A选项正确； ，函数的图像过点，则有，，，B选项错误； ，，函数图像的一个对称中心为，C选项正确； 函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，D选项错误. 故选：AC 11. 根据《周髀算经》记载，满足勾股定理的正整数组（a，b，c）称为勾股数组，任意一组勾股数组（a，b，c）都可以表示为如下的形式：，其中，，均为正整数，如图，中，，三边对应的勾股数中，点M在线段EF上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先通过勾股数确定三角形的边长，再结合向量的数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】由题意可得，显然，， 所以在直角中，， 若，则，即， 此时，与矛盾，不符合题意； 若，则，即， 此时，符合. 综上所述，，故A错误，B正确； 由，，，，， 所以， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 化简______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果. 【详解】原式 . 故答案为：. 13. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据函数解析式以及零点解得或，分析可知与、共有3个不同的交点，结合图象分析求解即可. 【详解】令，则， 若，可得，解得或； 若，可得，无解； 综上所述：或，即或， 由题意可知：与、共有3个不同的交点， 作出的图象，如图所示， 显然，可得或， 解得或，所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，，，，对任意恒有，则函数在上单调增区间______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据，，，得到，进而求得，再由对任意恒有，得到，从而求得函数解析式，然后利用正弦函数的性质求解. 【详解】因为函数，，，， 所以，， 又因为对任意恒有， 所以， 所以， 解得， 又因为， 所以， 所以， 令， 解得， 又因， 所以函数在上单调增区间是 故答案为： 四、解答题 15. 设，是夹角为的单位向量，若，，求与的夹角． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积公式求出及，，利用向量夹角公式求出答案. 【详解】由题意得：，从而， ，，设与的夹角为，从而，解得：，所以与的夹角为. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围及的值． 【答案】（1） （2）的取值范围为； 【解析】 【分析】（1）由图象可确定函数最大值和最小正周期，由此可得；根据可求得，由此可得结果； （2）根据三角函数平移和伸缩变换原则可得，采用换元法将问题转化为，与有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得范围，结合正弦函数对称性可求得的值. 【小问1详解】 由图象可知：，最小正周期，，， ，，解得：， 又，，. 【小问2详解】 由题意知：； 当时，， 令，，， 则与有两个不同的交点，如下图所示， 由图象可知：； 设两根为，则，，解得：， 综上所述：实数的取值范围为；. 17. 在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③. （1）求A的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角得正弦公式即可得解； 选②，利用余弦定理即可得解； 选③，利用正弦定理化边为角，再根据商数关系化切为弦及两角和得正弦公式即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数即可得解. 【小问1详解】 选①， 因为， 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以； 选②， 因， 所以， 又，所以； 选③， 因为， 由正弦定理得，即， 则， 则， 又，所以， 因，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为， 所以， 则， 因为锐角三角形， 所以，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性并根据定义证明； （3）若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）利用单调性的定义判断和证明； （3）根据的单调性列方程，然后根据方程得到是方程的两个根，然后列不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 得，解得，故． ，即是奇函数，所以． 【小问2详解】 函数为增函数． 证明：设任意实数， 因为，所以， 所以，所以函数为增函数． 【小问3详解】 由（2）知函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增． 依题意，，即 令，因此是方程的两个根， 即的两个不等的正根，于是解得， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于由得到是方程的两个根，然后转化为一元二次方程根的分布问题求解即可. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且． （1）若边，，的平分线交边于点．求的长； （2）若为边上任意一点，，．求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，利用余弦定理得，根据等面积法可得结果. （2）利用向量的线性运算表示，进而得到，结合基本不等式中“1”的代换可得的最小值． 【小问1详解】 由得，，即， ∴，由得，， ∵，∴ 由余弦定理得，，即，得， ∵为的平分线，∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由已知得，，即， ∴，故， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为． 【点睛】关键点点睛：解决第（2）的关键是利用向量的数量积运算得到，利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$