6．2　无理数和实数 同步练习 2024-2025学年沪科版数学七年级下册

6．2　无理数和实数 第2课时　实数的性质及运算 知识点1　实数与数轴　 1．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，圆上与原点重合的一点O到达点A，下列说法正确的是(　A　) A．点A所表示的数是π B．OA上只有一个无理数π C．数轴上只有有理数 D．数轴上的有理数比无理数要多一些 因为圆的周长为π，所以滚动一周的路程即π，所以点A所表示的数是π，故选项A正确；OA上不只有一个无理数π，故选项B错误；数轴上既有无理数，也有有理数，故选项C错误；数轴上的有理数与无理数多少无法比较，故选项D错误． 2．(广西柳州期中)实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是(　B　) A．b＞－2 B．|b|＞a C．a＋b＞0 D．a－b＜0 由数轴，知1＜a＜2，－3＜b＜－2，所以A错误，|b|＞a，即B正确，a＋b＜0，即C错误，a－b＞0，即D错误． 知识点2　实数的性质　 3．无理数－的相反数是(　B　) A．－ B． C． D．－ 4．填空： (1)的相反数是__－__，－的相反数是__－__； (2)＝__－2__，＝__π－3__． 知识点3　估算无理数的大小　 5．(广西北海月考)实数在哪两个相邻的整数之间(　C　) A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．(广西来宾模拟)已知正整数m，n满足m＜＜m＋1，n＜＜n＋1，则mn的值为(　B　) A．4 B．8 C．9 D．27 因为＜＜，＜＜，所以2＜＜3，3＜＜4.又因为m＜＜m＋1，n＜＜n＋1，所以m＝2，n＝3，所以mn＝23＝8. 知识点4　实数的运算　 7．填空： (1)±＝__±2__； (2)＝__－__； (3)－＝__0.1__； (4)|－1|＝__－1__． 8．若2a＋1和2－a的立方根互为相反数，则a＝__－3__. 因为2a＋1和2－a的立方根互为相反数，所以2a＋1和2－a也是互为相反数，所以2a＋1＋2－a＝0，所以a＝－3. 知识点5　实数的大小比较　 9．(广西钦州期中)若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　C　) A．b＜－a＜－b＜a B．b＜－b＜－a＜a C．b＜－a＜a＜－b D．－a＜－b＜b＜a 从数轴，可知b＜0＜a，|b|＞|a|，所以b＜－a＜a＜－b. 10．设的小数部分是m，的整数部分是n，则(m＋1)n的值是__2__． 因为1＜＜，＜＜，所以1＜＜2，2＜＜3.因为的小数部分是m，的整数部分是n，所以m＝－1，n＝2，所以(－1＋1)2＝2. 易错易混点　混淆实数的比较与计算的方法 11．(广西百色期中)阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用－1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：因为＜＜，即2＜＜3， 所以的整数部分为2，小数部分为(－2). 请解答：(1)的整数部分是__2__，小数部分是__－2__； (2)已知x是8＋的整数部分，y是8＋的小数部分，求x－y的值 (1)因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2. (2)因为＜＜，即3＜＜4， 所以11＜8＋＜12， 所以8＋的整数部分为11，小数部分为8＋－11＝－3，即x＝11，y＝－3， 所以x－y＝11－(－3)＝11－＋3＝14－. 12．下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若a，b互为相反数，则＝－1；③若a为任意有理数，则a－|a|≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ①无理数的倒数还是无理数，正确；②当a＝b＝0时，无意义，故若a，b互为相反数，则＝－1说法错误；③若a为任意有理数，则a－|a|≤0，正确；④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误．综上可知，正确的有①③，共两个． 13．的平方根是__±2__，2－的相反数是__－2__，2－绝对值是__－2__． 因为＝4，(±2)2＝4，所以的平方根是±2；因为－(2－)＝－2，所以2－的相反数是－2；因为|2－|＝－2，所以2－的绝对值是－2. 14．计算－＋＋＋|1－|. 原式＝－2－3＋6＋－1＝. 15．(广西柳州月考)计算：－2×(－3)＋(－1)2 025－(π－3.14)0. 原式＝2－(－6)－1－1＝2＋6－1－1＝6. 【母题P15T3】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)－，－； (2)，； (3)，. (1)因为5<6，所以<，所以－>－； (2)因为π>3，所以>； (3)因为3<4，所以<2，所以－1<2－1， 所以－1<1，所以<. 【变式】 写出比大且比小的整数． 因为＜＜，所以＜2＜. 因为＜＜，所以2＜3＜，所以比大且比小的整数是2或3. 16．(应用意识)(广西来宾模拟)对于任意一个实数a，定义a！＝－a为“相反数运算”，不得在一个字母进行双重“相反数运算”，现在有实数组成的式子a＋b＋c＋d，可以在不同字母进行多个“相反数运算”，但前提是前一个字母进行了“相反数运算”，如a＋b！＋c＋d＝a－b＋c＋d，反例如a！＋b＋c！＋d，那么对于该运算说法正确的个数有(　C　) ①存在这样的“相反数运算”，使原式相加后为0.②存在这样的“相反数运算”，同时消掉b和d.③不存在这样的“相反数运算”，与原式结果一样．④所有“相反数运算”化简后有10种可能． A．1 B．2 C．3 D．4 若a＝b，c＝d，则a＋b！＋c！＋d＝a－b－c＋d＝0，故①正确；若a≠c，b＝－d，则a＋b！＋c！＋d！＝a－b－c－d＝a－c－(b＋d)＝a－c，故②正确；若a＋d＝0，b＋c＝0，则a＋b＋c＋d＝0，a＋b！＋c！＋d＝a－b－c＋d＝a＋d－(b＋c)＝0，则a＋b＋c＋d＝a＋b！＋c！＋d，故③错误；由题意，可得所有化简结果如下：a！＋b＋c＋d＝－a＋b＋c＋d，a＋b！＋c＋d＝a－b＋c＋d，a＋b＋c！＋d＝a＋b－c＋d，a＋b＋c＋d！＝a＋b＋c－d，a！＋b！＋c＋d＝－a－b＋c＋d，a＋b！＋c！＋d＝a－b－c＋d，a＋b＋c！＋d！＝a＋b－c－d，a！＋b！＋c！＋d＝－a－b－c＋d，a＋b！＋c！＋d！＝a－b－c－d，a！＋b！＋c！＋d！＝－a－b－c－d，所有“相反数运算”化简后共有10种可能．故④正确；正确的是①②④，共3个． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．2　无理数和实数 第1课时　无理数 知识点1　无理数　 1．下列各数中，是无理数的是(　　) A. B．0 C． D． 2．(广西柳州月考)下列各数，能化为无限不循环小数的是(　　) A． B． C． D．－ 3．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，－7，，3.141 592 65，，－2π，＋2，－，2.010 010 001. 知识点2　把有理数写成分数的形式　 4．把0.写成分数的形式为____． 5．把0.43写成分数的形式为____． 知识点3　实数的分类　 6．(广西崇左期中)实数，，0.505 005 000…，中，无理数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在实数，0，－0.3，3.141 592 6，4，－2 022，π中，有理数的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．把下列各数分别填入相应的数集里． －π，－，，，0.324 371, 0.5，－， ， 4，－，，0.808 008 000 8… 实数集{___}； 无理数集{_}__； 有理数集{____}； 负无理数集{__}． 易错易混点　混淆无理数的概念 9．(广西来宾月考)数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？ 以0.为例，老师给小明做了以下解答(注：0.即0.333 33…)： 设0.为x，即0.＝x， 等式两边同时乘10，得3.＝10x， 即3＋0.＝10x.因为0.＝x，所以3＋x＝10x，解得x＝，即0.＝. 因为分数是有理数，所以0.是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题： (1)无限循环小数0.写成分数的形式是____. (2)请用解方程的办法将0.写成分数． 10．下列各数，－π，2 024，，，，其中是无理数的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 11．(广西贺州期中)下列判断正确的是(　　) A．一个实数的倒数等于它本身，这个数是1 B．一个实数的绝对值等于它本身，这个数是正数 C．一个实数的相反数等于它本身，这个数是0 D．一个实数的算术平方根等于它本身，这个数是1 12．把0.3写成分数的形式为____． 13．请你写出一个同时符合下列条件的代数式，①同时含有字母a，b；②是一个4次单项式；③它的系数是一个负无理数．你写出的一个代数式是___． 14．(广西防城港模拟)已知实数x，y满足关系式＋|y2－9|＝0. (1)求x，y的值； (2)判断是有理数还是无理数，并说明理由. 【母题P12T1】 把下列各数分类填入图中： 0，3，－1，－，，0.，－0.25，3.14，π，，，，－，－，，0.181 881 888…(两个1之间依次增加一个8). 【变式】 求整式7a3－3(2a3b－a2b－a3)与(3a2b－6a3b)＋2(5a3－a)的差，并说明当a，b均为无理数时，结果是一个什么数？ 15．(运算能力)已知实数x，y满足关系式＋|y2－1|＝0. (1)求x，y的值； (2)判断是有理数还是无理数？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．2　无理数和实数 第2课时　实数的性质及运算 知识点1　实数与数轴　 1．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，圆上与原点重合的一点O到达点A，下列说法正确的是(　　) A．点A所表示的数是π B．OA上只有一个无理数π C．数轴上只有有理数 D．数轴上的有理数比无理数要多一些 2．(广西柳州期中)实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．b＞－2 B．|b|＞a C．a＋b＞0 D．a－b＜0 知识点2　实数的性质　 3．无理数－的相反数是(　　) A．－ B． C． D．－ 4．填空： (1)的相反数是____，－的相反数是____； (2)＝____，＝____． 知识点3　估算无理数的大小　 5．(广西北海月考)实数在哪两个相邻的整数之间(　　) A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．(广西来宾模拟)已知正整数m，n满足m＜＜m＋1，n＜＜n＋1，则mn的值为(　　) A．4 B．8 C．9 D．27 知识点4　实数的运算　 7．填空： (1)±＝____； (2)＝____； (3)－＝____； (4)|－1|＝____． 8．若2a＋1和2－a的立方根互为相反数，则a＝____. 知识点5　实数的大小比较　 9．(广西钦州期中)若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．b＜－a＜－b＜a B．b＜－b＜－a＜a C．b＜－a＜a＜－b D．－a＜－b＜b＜a 10．设的小数部分是m，的整数部分是n，则(m＋1)n的值是____． 易错易混点　混淆实数的比较与计算的方法 11．(广西百色期中)阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用－1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：因为＜＜，即2＜＜3， 所以的整数部分为2，小数部分为(－2). 请解答：(1)的整数部分是____，小数部分是____； (2)已知x是8＋的整数部分，y是8＋的小数部分，求x－y的值 12．下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若a，b互为相反数，则＝－1；③若a为任意有理数，则a－|a|≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．的平方根是____，2－的相反数是____，2－绝对值是____． 14．计算－＋＋＋|1－|. 15．(广西柳州月考)计算：－2×(－3)＋(－1)2 025－(π－3.14)0. 【母题P15T3】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)－，－； (2)，； (3)，. 【变式】 写出比大且比小的整数． 16．(应用意识)(广西来宾模拟)对于任意一个实数a，定义a！＝－a为“相反数运算”，不得在一个字母进行双重“相反数运算”，现在有实数组成的式子a＋b＋c＋d，可以在不同字母进行多个“相反数运算”，但前提是前一个字母进行了“相反数运算”，如a＋b！＋c＋d＝a－b＋c＋d，反例如a！＋b＋c！＋d，那么对于该运算说法正确的个数有(　　) ①存在这样的“相反数运算”，使原式相加后为0.②存在这样的“相反数运算”，同时消掉b和d.③不存在这样的“相反数运算”，与原式结果一样．④所有“相反数运算”化简后有10种可能． A．1 B．2 C．3 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．2　无理数和实数 第1课时　无理数 知识点1　无理数　 1．下列各数中，是无理数的是(　C　) A. B．0 C． D． 2．(广西柳州月考)下列各数，能化为无限不循环小数的是(　B　) A． B． C． D．－ 3．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，－7，，3.141 592 65，，－2π，＋2，－，2.010 010 001. 有理数：－7，3.141 592 65，，2.010 010 001. 无理数：，，－2π，＋2，－. 知识点2　把有理数写成分数的形式　 4．把0.写成分数的形式为____． 5．把0.43写成分数的形式为____． 知识点3　实数的分类　 6．(广西崇左期中)实数，，0.505 005 000…，中，无理数有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在实数，0，－0.3，3.141 592 6，4，－2 022，π中，有理数的个数为(　D　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．把下列各数分别填入相应的数集里． －π，－，，，0.324 371, 0.5，－， ， 4，－，，0.808 008 000 8… 实数集{__－π，－，，，0.324_371,_0.5，－，_，_4，－，，0.808_008_000_8…__}； 无理数集{__－π，，0.808_008_000_8…}__； 有理数集{__－，_，0.324_371,_0.5，－，_，_4，－，__}； 负无理数集{__－π__}． 易错易混点　混淆无理数的概念 9．(广西来宾月考)数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？ 以0.为例，老师给小明做了以下解答(注：0.即0.333 33…)： 设0.为x，即0.＝x， 等式两边同时乘10，得3.＝10x， 即3＋0.＝10x.因为0.＝x，所以3＋x＝10x，解得x＝，即0.＝. 因为分数是有理数，所以0.是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题： (1)无限循环小数0.写成分数的形式是____. (2)请用解方程的办法将0.写成分数． (1)设0.为x，即0.＝x， 等式两边同时乘10，得2.＝10x， 即2＋0.＝10x. 因为0.＝x，所以2＋x＝10x， 解得x＝，即0.＝； (2)设0.为x，即0.＝x， 等式两边同时乘100，得21.＝100x， 即21＋0.＝100x. 因为0.＝x，所以21＋x＝100x， 解得x＝，即0.＝. 10．下列各数，－π，2 024，，，，其中是无理数的有(　B　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 11．(广西贺州期中)下列判断正确的是(　C　) A．一个实数的倒数等于它本身，这个数是1 B．一个实数的绝对值等于它本身，这个数是正数 C．一个实数的相反数等于它本身，这个数是0 D．一个实数的算术平方根等于它本身，这个数是1 12．把0.3写成分数的形式为____． 13．请你写出一个同时符合下列条件的代数式，①同时含有字母a，b；②是一个4次单项式；③它的系数是一个负无理数．你写出的一个代数式是__答案不唯一，如：－ab3__． 14．(广西防城港模拟)已知实数x，y满足关系式＋|y2－9|＝0. (1)求x，y的值； (2)判断是有理数还是无理数，并说明理由. (1)因为＋|y2－9|＝0， 所以y2－9＝0，则y＝±3，4x－y2＋1＝0，则x＝2； (2)分两种情况： 当y＝3时，＝＝3，是有理数， 当y＝－3时，＝，是无理数． 【母题P12T1】 把下列各数分类填入图中： 0，3，－1，－，，0.，－0.25，3.14，π，，，，－，－，，0.181 881 888…(两个1之间依次增加一个8). 　有理数集合：{0，3，－1，－，，0.，－0.25，3.14，，－…} 无理数集合：{π，，，－，，0.181 881 888…(两个1之间依次增加一个8)…} 【变式】 求整式7a3－3(2a3b－a2b－a3)与(3a2b－6a3b)＋2(5a3－a)的差，并说明当a，b均为无理数时，结果是一个什么数？ 由题意，得7a3－3(2a3b－a2b－a3)－(3a2b－6a3b)－2(5a3－a)＝2a， 当a是无理数时，2a是无理数． 15．(运算能力)已知实数x，y满足关系式＋|y2－1|＝0. (1)求x，y的值； (2)判断是有理数还是无理数？并说明理由. (1)由题意，得 解得 (2)当x＝2，y＝1时，＝，是无理数． 当x＝2，y＝－1时，＝＝2，是有理数． 学科网（北京）股份有限公司 $$