精品解析：江苏省盐城市滨海县东元高级中学2024-2025学年高二下学期3月份检测数学试卷

东元高级中学2025学年春学期高二3月份检测 数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行即可得. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：B 2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（    ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成角之间相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 3. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， ， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 4. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若不能构成空间的一个基底，则它们共面. 【详解】因为不能构成空间的一个基底，则它们共面，则， 则， ，解得，D正确. 故选：D 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 6. 在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 7. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ） A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再增大 【答案】D 【解析】 【分析】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为2，则，通过空间向量来求二面角的，故在上单增， 上单减，即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.即可得出结果. 【详解】 以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为2，则，,，，设平面BDE法向量, 则，令有， 故. 又平面ABC的法向量，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值 ，又，故在上单增， 上单减， 即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大. 故选：D. 【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目. 8. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，连接，证明平面，求出P在FC上.将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值. 【详解】取中点，连接， 由，，可知，则， ∴由知，即 ∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B， ∴平面，∵平面，∴， ∵，∴平面， ∵，∴平面，平面， ∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上； ∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC， ∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离， 将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图： 将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值. 以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)， 直线CF方程，即， 设，则， ∴. 故选：A﹒ 二．多选题（共5小题） 9. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 若非零空间向量满足，则有 B. 若是空间的一个基底，则都不是零向量 C. 纵坐标为0的空间向量都共面 D. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】将向量想象为正方体三条相邻的棱可判断A；根据基底的性质判断B；由纵坐标都为0的向量都与平面平行判断C；假设共面推得也共面判断D. 【详解】A：根据题设，以正方体三条相邻的棱为例，易知不成立，错； B：根据基底的性质，都是非零向量，对； C：纵坐标都为0的向量都与平面平行或在其内，即它们都共面，对； D：若共面，则， 所以也共面，与题设矛盾，故也是空间的一个基底，对. 故选：BCD 10. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为； （2）过点，且为法向量的平面的方程为． 现已知平面，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据公认事实求出直线的方向向量和平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系即得. 【详解】平面的法向量为， 对于，则，即：， 故经过点，方向向量，则，即， 故，即A正确，D错误； 对于，即，故经过点，方向向量为， 因点满足平面，即与有公共点，故B错误； 对于，可知经过点，方向向量为， 因，可得，即或， 但点不满足平面，即，故，故C正确. 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 三．填空题（共2小题） 12. 已知向量，，若，则的值是_____ 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算法则，可以解得的值，计算的值得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以， 解得，所以. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将两点的空间直角坐标求出来，结合向量的模、正弦函数的最值即可得解. 【详解】由题意点与点空间直角坐标分别为， 所以，等号成立当且仅当. 故答案为：. 14. 如图，正四棱锥模型中，过点作一个平面分别交棱､､于点､､，若，，则_____________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】法一：设，则，结合四点共面，从而得到； 法二：作出辅助线，找到点的位置，求出. 【详解】法一：设， 则有 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故， 故， 法二：如图所示：作法：连接并延长，与的延长线相交于点， 连接并延长，与的延长线相交于点， 连接，与相交于一点，则该点即为点. 理由如下： 因为与是两条相交直线，所以与确定一个平面， 则，，A､､， 因为，，所以， 因为，所以，，､､､四点共面. 取的中点，因为，所以平行于，且， 故，故. 故答案为： 四．解答题（共5小题） 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求： （1）； （2）． 【答案】（1）23 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，利用向量的线性运算，用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律求解. （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【小问1详解】 依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图： ， ， 由，则， 由，则， ，， . 【小问2详解】 由（1）知， 因此 ， 所以. 16. 在四棱柱中，底面是菱形，且. （1）求证:平面平面 ; （2）若,求平面与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形及正三角形的性质证得线面垂直，再利用面面垂直的判定推理得证. （2）结合（1）证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱柱中，底面是菱形， 由，得和均为正三角形， 于是，令与的交点为，则，又， 而平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由及，得，，则， ，，于是， 由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 平面的法向量为，设平面设平与平面所成角为， 则，则， 所以平面与平面所成角的大小为. 17. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角形性质以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得结论； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果； 方法二：根据二面角定义作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值； （3）方法一：设，利用线面角的向量表示计算可得当时，满足题意； 方法二：根据题意作出直线与平面所成角的平面角，计算可知当时，满足题意. 【小问1详解】 在图1的等腰直角中，为的中点，则， 所以在图2中，有，， 又，平面，所以平面， 又平面，可得； 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为正三角形，因为为的中点，所以， 又平面， 可得平面，又平面 所以． 【小问2详解】 方法一： 以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内过点作垂直于轴 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 可得平面的一个法向量为， 所以， 即二面角的余弦值为． 方法二： 作于，于，连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 平面，故, 因为，平面MNH，故平面MNH， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，所以，． 在中，，，所以， 所以， 可得． 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 方法一： 易知，， 设，则， 平面的一个法向量为． 依题意可得， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 方法二： 作于，如下图所示： 由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 在中，由余弦定理可得， 所以． 设，则，， 所以，解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 18. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面距离为，求正四棱柱的高； （3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. （3）设，则根据夹角公式可得关于的方程，利用换元法可求的取值范围. 【小问1详解】 证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故， 点到平面的距离为：， 解得， 故正四棱柱的高为； 【小问3详解】 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，则， 则， 故，设， 则， 故，设， 则在上有解； 因为的对称轴为， 故，故， 故，所以，故， 故线段的取值范围为． 19. 定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. （1）求2的完美3维向量集： （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 【答案】（1）； （2）不存在完美4维向量集，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用的完美维向量集定义求解即可. （2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断. （3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果. 【小问1详解】 由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（）， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 又，所以，，， 所以2的完美3维向量集为. 【小问2详解】 依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个为集合B中元素， 同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素， 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去； （iv）当时，，不满足条件③，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集. 【小问3详解】 依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（）， 因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以， 由（2）知，故， 假设存在k，使得，不妨设. （i）当时，如下图， 由条件③知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意. （ii）当时，如下图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究的前个分量中所有含1的个数. 一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1， 故（）中至多有1个1， 故的前个分量中， 所有含1的个数至多有个1（**）. 另一方面，考虑（）， 故的前个分量中， 含有个1，与（**）矛盾，不合题意. 故对任意且，，由（*）可得. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东元高级中学2025学年春学期高二3月份检测 数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（    ） A. 1 B. C. D. 0 3. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若不能构成空间一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 5. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ） A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再增大 8. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( ) A. B. C. D. 二．多选题（共5小题） 9. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 若非零空间向量满足，则有 B. 若是空间的一个基底，则都不是零向量 C. 纵坐标为0的空间向量都共面 D. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为； （2）过点，且为法向量的平面的方程为． 现已知平面，，，，则（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三．填空题（共2小题） 12. 已知向量，，若，则的值是_____ 13. 在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为__________. 14. 如图，正四棱锥模型中，过点作一个平面分别交棱､､于点､､，若，，则_____________. 四．解答题（共5小题） 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求： （1）； （2）． 16. 在四棱柱中，底面是菱形，且. （1）求证:平面平面 ; （2）若,求平面与平面所成角的大小. 17. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 18. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； （3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 19. 定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. （1）求2完美3维向量集： （2）判断否存在完美4维向量集，并说明理由： （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$