江苏无锡市2025-2026学年第二学期高二年级5月份阶段考试数学模拟试卷（1）

江苏省无锡市2025-2026学年第二学期 高二年级5月份阶段考试数学模拟试卷（1） 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分） 1．的展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 2．已知是函数的导函数，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．小明桌子上有本不同的数学书，本相同的物理书，现将这本书依次全部取走，则不同的取书顺序有（   ）种 A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（   ） A．   B．   C．  D．   5．有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 6．已知，其中为函数的导数，则（    ） A．2 B．0 C．2026 D．2027 7．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分） 9．若甲，乙，丙，丁，戊五人要前往A，B，C，D四个景区游玩且每个人都必须分配到游玩的景区，则下列说法正确的是（   ） A．若每个景区都必须有人游玩，则一共有240种分配方法. B．若每个景区都必须有人游玩且甲，乙二人不能去同一个地方，则一共有216种分配方法. C．若只能选择两个景区游玩且甲，乙二人必须去同一个地方，则一共有84种分配方法. D．若至多有一个景区没有人游玩，则一共有600种分配方法. 10．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．有极小值点，且 三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分） 12．已知直线与曲线相切，则______. 13．一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球.分别标有数字1,2,3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为___________. 14．已知只有1个零点，则a的取值范围是________. 四、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共5小题，共77分） 15．（本小题满分13分） （1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开式所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 16．（本小题满分15分） 2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同. (1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少? (2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望. 17．（本小题满分15分） 已知函数. (1)求; (2)已知，函数，当时，求的最小值. 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； (2)若函数在定义域内不单调，求的取值范围； (3)若，对任意的,恒成立，求的最小值． 19．（本小题满分17分） 1907年物理学家Tatiana和Paul Ehrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型，编号为A和B的两个容器相互连通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生n次转移后，容器A中的分子数记为，容器A的分子数从到的概率记为，即.初始状态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为. (1)求，； (2)求2次转移后，容器A中的分子数的分布列与期望； (3)求出与的关系式，并解释当时的含义. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A A B A D ABC AD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得； 【详解】的展开式的通项， 令，解得， 所以，所以项的系数为， 故选：A 2．C 【详解】由，求导得， 所以. 3．D 【详解】步骤：先假设所有书都不同， 如果本书全不同，那么取书顺序的总数是， 步骤：考虑相同书的重复情况， 因为有本相同的物理书，这本书的顺序交换不会产生新的取法，所以需要除以这本书的排列数， 所以，不同的取书顺序有． 4．A 【分析】分析函数值的变化趋势，可排除D，分析函数图象的对称性，可排除C，求导，分析函数的单调性，可排除B. 【详解】当时，，，所以，故D错误； 因为为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，故C错误； 当时，，，因为，所以函数在上存在单调减区间，故B错误； 故选：A 5．A 【详解】将丙和丁看作一个整体（捆绑），内部可以交换顺序，有种， ①先排（丙丁）和戊，有种排法，这两个排好后，会产生个空位（包括两端）， ②从个空位中选个来排甲和乙，有种排法， 所以总排法为种． 6．B 【分析】利用函数与导数的奇偶性求解：先判断原函数是奇函数，故 ；再判断导函数是偶函数，故 ，两者相加得结果为 ． 【详解】因为的定义域是， 且 所以为奇函数，所以 ， ， 因为的定义域是， 且 所以为偶函数，所以 ， 所以 ． 7．A 【分析】构造函数，分析其单调性，再结合函数的奇偶性求解不等式. 【详解】已知时，， 所以构造函数，则 ， 当时，，所以， 因此在上单调递减， 因为是偶函数，则， 即是奇函数，图象关于原点对称， 所以在上也是单调递减， 因为，则， 由是奇函数可得：， 等价于或， 当时，则，， 当时，，即， 因为在上单调递减且，所以有； 当时，，即， 因为在上单调递减且，所以有， 同时要满足，所以； 当时，，，则，即， 因为在上单调递减且， 所以当时，有， 所以合并得解集：. 8．D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 9．ABC 【分析】本题为排列组合多选题，解题核心是先分情况讨论，再用分组分配、正难则反、排除法验证各选项：A选项用“先分组（必有2人一组）再全排列”；B选项用A的结果减去甲乙同景区的情况；C选项先选景区，再用“甲乙捆绑+排除全同组”；D选项分“无空景区”和“一个空景区”两类计算，最终筛选出正确选项． 【详解】对于A，条件：5人去4个景区，每个景区都有人． 先把5人分成4组（必有1组2人，其余3组各1人）：分组方法数为种， 再将4组分配到4个景区：排列方法数为种． 所以总方法数：种，A正确； 对于B，条件：5人去4个景区，每个景区都有人． 先计算总方法数（同A）：240种． 再计算甲、乙同景区的方法数：把甲、乙看作1组，再和其余3人分成4组，再分配到4个景区，方法数为种． 所以符合条件的方法数：种，B正确； 对于C，条件：只能选2个景区，且甲、乙同景区． 先选2个景区：种． 把甲、乙看作1组，剩余3人每人都有2种选择（2个景区），但不能全选另一个景区（否则甲、乙所在景区没人）：总选择数为种． 所以总方法数：种，C正确； 对于D，条件：至多有1个景区没人（即“0个景区没人”或“1个景区没人”）． 0个景区没人（同A）：240种． 1个景区没人：先选1个空景区种，再把5人分到3个景区（分组为2,2,1或3,1,1）： 分组为2,2,1：种，再排列种，共种． 分组为3,1,1：种，再排列种，共种． 1个空景区的总方法数：种． 所以总方法数：种，D错误． 10．AD 【分析】可先将变形为，然后根据二项式展开式的通项公式求出的值，再分别分析各个选项. 【详解】已知，根据二项式展开式的通项公式， 可得展开式的通项公式为. 因为是的系数，令，则，所以. 已知，即，根据组合数公式可得： 解得或，因为，所以. 对于选项A：由上述计算可知，所以选项A正确. 对于选项B：令，则， 即，所以选项B错误. 对于选项C：令，则， 即，所以选项C错误. 对于选项D：对两边求导， 可得：， 令，则， 即，所以选项D正确. 故选：AD. 11．AD 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，则， 对于A，当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且，则且， 所以，解得，故A正确； 对于B，由于函数在上单调递减，在上单调递增，且，因此函数的两个零点， 由题意知，两边取自然对数得：，两式相减得， 令，由于，所以，则，代入上式得，从而， 因此， 令，则，所以在上单调递增，所以， 由于，所以，即，故B错误 对于C， 令，则，所以在上单调递减，所以，即， 由于，所以，即，故C错误； 对于D，由， 当时，；当时，，所以有极小值点， 由题意知，得， 因此，由于，因此， 即，故D正确. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，以及研究函数的零点问题，其中解答中熟记导数在函数中的应用，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 12．2 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，代入可得，即可求解. 【详解】，设切点横坐标为， 曲线在处的切线方程为， 将代入，得，解得，则. 故答案为：2 13．/0.5 【分析】求出基本事件空间，找出符合条件的事件，根据古典概率求法可得答案. 【详解】基本事件空间为共6种情况； 设事件“选到3号球”，事件A包含的基本事件有共3种情况， 所以. 故答案为： 14． 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图象，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有1个交点， 则或，解得或， 所以a的取值范围是. 15．（1）①②，（2） 【分析】（1）①根据二项式展开式的性质，结合二项式系数之和公式进行求解即可； ②根据二项式系数的性质进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可. 【详解】（1）①因为二项式的展开式共有6项， 所以，因此二项展开所有项的二项式系数和为； ②因为二项展开式中二项式系数最大的项为第和第项， 所以，； （2）在中， 令，得， 所以. 16．(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用古典概型公式即可求解； （2）利用二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意得甲、乙所选的大学不同，丙有10种选择， 当丙与甲、乙的选择均不同，丙有8种选择， 所以已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率为； （2）由题意得选择第一场的概率为，所以， 所以， ， 所以的分布列为： 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）先对函数求导，代入求出的值，再代入计算. （2）先确定的表达式，代入得到，对求导并因式分解，根据导数的符号分情况讨论的取值范围，分析在上的单调性，进而求出最小值. 【详解】（1）对求导，得. 令，得，解得. 故. （2）由，得， 则，. ，其中恒成立. 当时，，，在上单调递减，. 当时，令，得. 若，即，，在上单调递增，. 若，即，，在上单调递减，. 若，即，在上单调递减，在上单调递增， . 综上，. 18．(1)或2 (2) (3) 【分析】(1) 先对函数求导，结合导数的几何意义求出函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； (2)因为函数在定义域内不单调，所以其导数在定义域内有正有负，即在上有解，且解的两侧导数符号不同；对求导，根据参数分离的方法整理导函数，分析导函数对应的函数的单调性、最值，再根据导数有正有负的条件求出的取值范围； (3)因为对任意恒成立，所以；对求导，分析的单调性，求出的表达式，得到与的关系，从而将转化为关于的函数，再通过求导分析该函数的单调性，进而求出最小值. 【详解】（1），. 当时，，. 曲线在点处的切线方程为. 令时，;令时，; 该切线与坐标轴围成的三角形的面积 由题意知，即，解得或 的值为或2. （2）函数的定义域为；由，解得. 令，则函数不单调的充要条件是其导函数变号， 这等价于大于的最小值. 由，令，解得 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ，即，解得. 的取值范围是 （3），函数的定义域为，， 设，则 在上单调递减 令，则 ，， 在上单调递减，且当时， ，， 又，在上单调递减， ，使得，即，得 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ,恒成立， ,,，解得 令， 则 令，解得或 ∵ ，∴ ，故 舍去，解得 ” 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 的最小值为. 19．(1)， (2) X2 0 2 4 P . (3)，答案见解析 【分析】（1）弄清楚，的意义，根据古典概型的概率计算公式求值. （2）确定的可能值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求其期望. （3）先探索当时，与和的递推关系，再利用期望公式探索与的关系，利用数列求通项公式的方法求.进而解释的含义. 【详解】（1）∵每个分子等可能发生转移且分子数有限，∴本题是古典概型. 表示A中有1个分子转移到B，B中的分子不发生转移对应的概率，所以； 表示B中有1个分子转移到A，A中的分子不发生转移对应的概率，所以. （2）所有可能取值为0，2，4， 则， ， . 故的分布列为 X2 0 2 4 P ∴. （3）由题得，，， 当，则. 设，则， 解得. ∴， ∵，∴. 当时，. 解释：充分混合后，最终两容器分子数相等. *注：期望递推关系为： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $