考点专题训练（三） 整式乘法与因式分解 2024-2025学年沪科版数学七年级下册

考点专题训练（三） 整式乘法与因式分解 (自测时间：100分钟　分值：100分) 考点过关自测：幂的运算□　科学记数法表示绝对值较小的数□　整式的乘法□　完全平方公式□　平方差公式□　整式除法□　因式分解□ 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列计算正确的是(　B　) A.a3·a2＝a B．a3·a2＝a5 C．a3·a2＝a6 D．a3·a2＝a9 2．计算(－x2)3的结果是(　A　) A．－x6 B．x6 C．－x5 D．－x8 3．如果(2ambm＋n)3＝8a9b15成立，那么(　A　) A．m＝3，n＝2 B．m＝2，n＝3 C．m＝2，n＝5 D．m＝6，n＝2 4．如果3x＝2，3y＝4，那么3x－y等于(　C　) A．－2 B．2 C．0.5 D．1 5．下列计算正确的是(　B　) A．－22＝4 B．(－)-2＝4 C．(－3)-1×3＝1 D．(－1)2 026＝2 026 6．已知单项式4xy2与－x3y的积为mxny3，则m，n的值为(　A　) A．m＝－，n＝4 B．m＝－12，n＝－2 C．m＝，n＝3 D．m＝－12，n＝3 7．下列因式分解中：①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋2x＋1＝(x＋1)2；③2a(b－c)－3(b－c)＝(2a－3)(b－c)；④x3－9x＝x(x2－9)，正确的个数为(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 ①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y＋1)，原式错误；②x2＋2x＋1＝(x＋1)2，原式正确；③2a(b－c)－3(b－c)＝(2a－3)(b－c)，原式正确；④x3－9x＝x(x2－9)＝x(x＋3)(x－3)，原式错误；故正确的有②③，共2个． 8．若a2－a－5＝0，则(3－a)(a＋2)的值是(　B　) A．0 B．1 C．－1 D．2 根据题意，可知a2－a－5＝0，即a2－a＝5，所以原式＝3a－a2＋6－2a＝a－a2＋6＝－(a2－a)＋6＝－5＋6＝1. 9．若a＋x2＝2 020，b＋x2＝2 021，c＋x2＝2 022，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为(　D　) A．0 B．1 C．2 D．3 由题意，可知2 020－a＝2 021－b＝2 022－c，所以a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1，原式＝2×(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)×＝[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]×＝(1＋4＋1)×＝3. 10．已知a，b为常数，对于任意x的值都满足(x－10)(x－8)＋a＝(x－9)(x－b)，则a＋b的值为(　B　) A．8 B．10 C．－8 D．－10 因为(x－10)(x－8)＋a＝x2－18x＋80＋a，(x－9)(x－b)＝x2－(9＋b)x＋9b.又(x－10)(x－8)＋a＝(x－9)(x－b)，所以x2－18x＋80＋a＝x2－(9＋b)x＋9b，所以解得所以a＋b＝10. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11．纳米(Nanometer，符号：nm)，即为毫微米，是长度单位，1纳米＝10-9米．已知一根头发的半径约为25 000纳米，用科学记数法应表示为__2.5×10-5__米． 12．若a2＋3a＝2，则代数式5a(a＋3)－2的值为__8__． 13．已知(x2＋y2－1)(x2＋y2－2)＝0，则x2＋y2的值等于__1或2__． 14．若(x－3)x+4＝1，则x的值为__4或2或－4__． ①x＋4＝0，x－3≠0，解得x＝－4；②x－3＝1，解得x＝4；③x－3＝－1，x＋4为偶数，解得x＝2. 15．分解因式：(x＋y－2xy)(x＋y－2)＋(xy－1)2＝__(x－1)2(y－1)2__. 原式＝(x＋y)2－2(x＋y)－2xy(x＋y)＋4xy＋(xy)2－2xy＋1＝(x＋y)2－2(x＋y)－2xy(x＋y)＋(xy)2＋2xy＋1＝(x＋y)2－2(x＋y)(xy＋1)＋(xy＋1)2＝[(x＋y)－(xy＋1)]2＝(x＋y－xy－1)2＝(x－1)2(y－1)2. 16．在实数范围内规定运算：a⊗b＝a－2b，则不等式组的解集为__x＞8__． 由题意，得解不等式①，得x＞8，解不等式②，得x≥，所以不等式组的解集是x＞8. 三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)当m，n为何值时，x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]＝x(x2＋mx＋nx2＋nx＋m)＝(1＋n)x3＋(m＋n)x2＋mx， 根据结果中不含x2和x3的项，得到1＋n＝0，m＋n＝0， 解得m＝1，n＝－1. 18．(本题满分12分)阅读材料：我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：x2＋2x－3. 原式＝(x2＋2x＋1－1)－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1). 由上式可知：x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，因为不论x取何值，(x＋1)2≥0，所以当x＋1＝0，即x＝－1时，x2＋2x－3的最小值是－4. 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题. (1)利用配方法分解因式：x2－6x－27； (2)根据上面解题思路可知多项式x2－6x－27有最小值，即当x＝__3__时，最小值是__－36__； (3)已知a，b，c分别是△ABC三边的长且2a2＋b2＋c2－2a(b＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． (1)x2－6x－27＝(x2－6x＋9)－36＝(x－3)2－36＝(x－3＋6)(x－3－6)＝(x＋3)(x－9). (2)x2－6x－27＝(x2－6x＋9)－36＝(x－3)2－36， 当x＝3时，x2－6x－27的最小值为－36. (3)△ABC的形状是等边三角形．理由如下： 因为2a2＋b2＋c2－2a(b＋c)＝0， 所以2a2＋b2＋c2－2ab－2ac＝0. 利用拆项，得(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＝0， 即(a－b)2＋(a－c)2＝0， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是a－b＝0，a－c＝0， 所以可以得到a＝b＝c，即△ABC的形状是等边三角形． 19．(本题满分14分)【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：A＝5x2－7x＋2，A经过程序设置得到B＝2×5x－7＝10x－7. 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2－x－m，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若B＝3nx－m，求m，n的值； (2)若A－mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解； (3)某同学在计算A－2B时，把A－2B看成了2A－B，得到的结果是2x2－4x－3，求出A－2B的正确值． (1)因为A＝x2－x－m，所以B＝2x－1. 因为B＝3nx－m，所以3n＝2，－m＝－1， 所以m＝1，n＝. (2)因为A－mB＝(x2－x－m)－m(2x－1)＝x2－x－m－2mx＋m＝x2－x－2mx＝x2－(1＋2m)x， 因为A－mB的结果中不含一次项，所以1＋2m＝0， 解得m＝－. 因为B＝m，所以2x－1＝－，2x＝，x＝. (3)因为2A－B＝2(x2－x－m)－(2x－1)＝2x2－2x－2m－2x＋1＝2x2－4x－2m＋1， 所以－2m＋1＝－3，2m＝4，所以m＝2， 所以A－2B＝(x2－x－2)－2(2x－1)＝x2－x－2－4x＋2＝x2－x－4x＋2－2＝x2－5x. 20．(本题满分14分)如图所示的是人民公园的一块长为(2m＋n)米，宽为(m＋2n)米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台(阴影部分). (1)请用m，n表示观景台的面积；(结果化为最简) (2)如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知m＝5米，n＝3米，那么修建观景台需要费用多少元？ (1)阴影部分的面积为(2m＋n)(m＋2n)－mn－(m－n)2－(2m＋n)(m－n)＝2m2＋4mn＋mn＋2n2－mn－(m2－2mn＋n2)－(2m2－2mn＋mn－n2)＝2m2＋4mn＋mn＋2n2－mn－m2＋2mn－n2－2m2＋2mn－mn＋n2＝－m2＋7mn＋2n2. 答：观景台的面积为(－m2＋7mn＋2n2)平方米； (2)当m＝5，n＝3时，原式＝－25＋7×5×3＋2×9＝98(平方米)， 200×98＝19 600(元). 答：修建观景台需要费用为19 600元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点专题训练（三） 整式乘法与因式分解 (自测时间：100分钟　分值：100分) 考点过关自测：幂的运算□　科学记数法表示绝对值较小的数□　整式的乘法□　完全平方公式□　平方差公式□　整式除法□　因式分解□ 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列计算正确的是(　　) A.a3·a2＝a B．a3·a2＝a5 C．a3·a2＝a6 D．a3·a2＝a9 2．计算(－x2)3的结果是(　　) A．－x6 B．x6 C．－x5 D．－x8 3．如果(2ambm＋n)3＝8a9b15成立，那么(　　) A．m＝3，n＝2 B．m＝2，n＝3 C．m＝2，n＝5 D．m＝6，n＝2 4．如果3x＝2，3y＝4，那么3x－y等于(　　) A．－2 B．2 C．0.5 D．1 5．下列计算正确的是(　　) A．－22＝4 B．(－)-2＝4 C．(－3)-1×3＝1 D．(－1)2 026＝2 026 6．已知单项式4xy2与－x3y的积为mxny3，则m，n的值为(　　) A．m＝－，n＝4 B．m＝－12，n＝－2 C．m＝，n＝3 D．m＝－12，n＝3 7．下列因式分解中：①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋2x＋1＝(x＋1)2；③2a(b－c)－3(b－c)＝(2a－3)(b－c)；④x3－9x＝x(x2－9)，正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．若a2－a－5＝0，则(3－a)(a＋2)的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 9．若a＋x2＝2 020，b＋x2＝2 021，c＋x2＝2 022，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知a，b为常数，对于任意x的值都满足(x－10)(x－8)＋a＝(x－9)(x－b)，则a＋b的值为(　　) A．8 B．10 C．－8 D．－10 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11．纳米(Nanometer，符号：nm)，即为毫微米，是长度单位，1纳米＝10-9米．已知一根头发的半径约为25 000纳米，用科学记数法应表示为__ __米． 12．若a2＋3a＝2，则代数式5a(a＋3)－2的值为__ __． 13．已知(x2＋y2－1)(x2＋y2－2)＝0，则x2＋y2的值等于__ __． 14．若(x－3)x+4＝1，则x的值为__ __． 15．分解因式：(x＋y－2xy)(x＋y－2)＋(xy－1)2＝__ __. 16．在实数范围内规定运算：a⊗b＝a－2b，则不等式组的解集为__ __． 三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)当m，n为何值时，x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ 18．(本题满分12分)阅读材料：我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：x2＋2x－3. 原式＝(x2＋2x＋1－1)－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1). 由上式可知：x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，因为不论x取何值，(x＋1)2≥0，所以当x＋1＝0，即x＝－1时，x2＋2x－3的最小值是－4. 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题. (1)利用配方法分解因式：x2－6x－27； (2)根据上面解题思路可知多项式x2－6x－27有最小值，即当x＝__ __时，最小值是__ __； (3)已知a，b，c分别是△ABC三边的长且2a2＋b2＋c2－2a(b＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 19．(本题满分14分)【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：A＝5x2－7x＋2，A经过程序设置得到B＝2×5x－7＝10x－7. 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2－x－m，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若B＝3nx－m，求m，n的值； (2)若A－mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解； (3)某同学在计算A－2B时，把A－2B看成了2A－B，得到的结果是2x2－4x－3，求出A－2B的正确值． 20．(本题满分14分)如图所示的是人民公园的一块长为(2m＋n)米，宽为(m＋2n)米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台(阴影部分). (1)请用m，n表示观景台的面积；(结果化为最简) (2)如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知m＝5米，n＝3米，那么修建观景台需要费用多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$