4.1.1条件概率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

课时1 条件概率 新授课 知识回顾 彩票摇号试验 有n个不同号码的小球 1.样本空间中的样本点个数 2.每个样本点发生的可能性 知识回顾 抛掷一枚均匀硬币的试验 1.样本空间中的样本点个数 2.每个样本点发生的可能性 2.古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 1.古典概型特征： (1)　　　　：样本空间的样本点只有　　　个； (2)　　　　：每个样本点发生的可能性　　　． 复习引入 事件的运算 含义 符号表示 概率表示 并事件 (和事件) 交事件 (积事件) 互斥 (互不相容) 互为对立 A与B至少一个发生 A与B同时发生 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A∪B 或A+B A∩B 或AB A∩B=Φ A∩B=Φ, A∪B=Ω P(A+B)=P(A)+P(B) -P(A∩B) P(A)+P(B)=1 P(AB)=P(A)P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) 2.事件的运算 探究一：条件概率 在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题. 当事件A与B相互独立时，有 P(AB)=P( A)P(B) 如果事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢？ 下面，我们从具体的问题入手，了解条件概率的定义，以及条件概率的计算方法，重要的是理清条件概率与积事件的概率的联系与区别. 学习活动 学习目标 学习总结 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 2.理解条件概率的相关性质 问题1 某个班级有40名学生，其中男生14、女生16的人数及团员的人数如下表所示. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到男生的概率是多少？ 情境导入 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 解：设 “这个家庭有女孩”, “两个小孩都是女孩”.所求问题为 则 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么 （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 思考1：在上面两个问题中，为什么（1）和（2）的结果不同呢？ 问题1 （1）选到男生的概率是多少？ 问题2 （1）两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已知这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ （2）如果已知选的是团员，那么选到男生的概率是多少？ 条件概率 因为样本空间发生改变，已知事件的发生缩小了样本空间. 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B) 条件概率的概念： 思考2：P(B|A)与P(A|B)表示的意义相同吗? P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率. P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率. 一般地，设𝐴、𝐵为两个随机事件，且 ,已知事件𝐴发生的条件下，事件𝐵发生的概率，称为条件概率，记作 追问：你能试着举出与条件概率有关的例子吗？ 不同 学习活动 学习目标 学习总结 目标一：结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 任务1：完成下列问题，了解条件概率的概念及其公式. 已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 学习活动 学习目标 学习总结 目标一：结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 任务1：完成下列问题，了解条件概率的概念及其公式. 喜欢长跑 不喜欢长跑 合计 男生 8 6 14 女生 10 6 16 合计 18 12 30 学习活动 学习目标 学习总结 样本空间Ω是由班级中所有学生组成的集合，共包含14+16=30个样本点. 记A：“所抽到的学生喜欢长跑”，其中包含10+8=18个样本点； 所抽到的学生喜欢长跑的概率为： 思考：1.借助古典概型来处理，那么问题（1）中样本空间由什么组成？所抽到的学生喜欢长跑有几个样本点？其概率为多少？ 学习活动 学习目标 学习总结 2.问题(2)中存在哪几个事件？事件之间有什么联系？如何求解问题(2)？ 记A:“所抽到的学生喜欢长跑”, B:“抽到的学生是男生”， 已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率即在事件B发生的条件下求事件A发生的概率. 其中样本空间Ω1是由班级中所有男生组成的集合,共包含14个样本点，事件AB(即)包含8个样本点. 因此,已知抽到的是男生,所抽到的学生喜欢长跑的概率为 . 思考3：结合问题1和问题2，你能归纳出条件概率的计算公式吗？ 追问：这个结论对于一般的古典概型是否仍然成立？ 成立! 如图所示，若已知事件𝐴发生，此时相当于以𝐴为样本空间来考虑事件𝐵发生的概率，而在新的样本空间中事件𝐵就是积事件𝐴𝐵. 由古典概型知识可知， 分析 求 的一般思想： 思考4： 与 有什么区别和联系？ 缩小样本空间法 条件概率公式法 条件概率的计算方法： 合作探究：𝑃(𝐵|𝐴)能否用𝑃(𝐴𝐵)与𝑃(𝐴)表示出来呢？ 基于原样本空间计算 学习活动 学习目标 学习总结 观察下图，说说 与 之间有什么区别与联系？ 问题： 1.根据古典概型，P(B)如何求？P(A∩B)呢？ 2.在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率是多少？ (1) (2) 条件概率公式法 例1 把一枚硬币任意掷两次，事件𝐴={第一次出现正面}，事件𝐵={第二次出现正面}，则 . 解析 由题意知 方法一： 方法二： 缩小样本空间法 例2 已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率为0.8，超过20岁的概率为0.2，那么该地区内一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率为多少？ 解 设事件𝐴：狗的寿命超过15岁，事件𝐵：狗的寿命超过20岁， 则所求问题为 ,由已知得 又因为 ,所以 则 . 学习活动 学习目标 学习总结 条件概率计算公式： 条件概率的特点： (1)事件A在事件B发生的条件下的概率与没有这个条件的概率是不同的. (2)P(A|B)与P(B|A)意义不同，一般情况下也不相等. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，求春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，求春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 解：记A：甲地下雨，B：乙地下雨，则由已知可得 P(A)=20%，P(B)=18% ，P(B∩A)=12%. 需要求的是 P(A|B)， 因此 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：完成下列问题，归纳求条件概率的方法. 抛掷红、蓝两个骰子，设 A:蓝色骰子的点数为5或6； B:两骰子的点数之和大于7. 问题：(1)用数对(x，y)来表示抛掷结果，其中x表示红色骰子的点数，y表示蓝色骰子的点数，则样本空间可以如何表示？事件A与事件A∩B各有多少个样本点？ 学习活动 学习目标 学习总结 用数对(x，y)来表示抛掷结果，其中x表示红色骰子的点数，y表示蓝色骰子的点数，则样本空间可记为 Ω={(x，y)|x，y=1，2，3，4，5，6} 图中每一个点代表一个样本点.样本空间中，共包含36个样本点. A包含的样本点即图中绿色矩形框中的点，共12个； B包含的样本点即为图中红色三角框中的点，B∩A共包含9个样本点 样本空间可用右图直观表示， 学习活动 学习目标 学习总结 (2)由(1)，P(A)，P(B∩A)，P(B|A)等于多少？ 因此 由(1)可知： 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 用定义求条件概率的一般步骤： 1.设用字母表示相关事件； 2.求P(A)，P(A∩B)的值； 3.代入公式 求条件概率. 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是如果某个家庭中先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？ 解：设事件A：两个小孩中有女生；事件B：两个小孩中有男生. 所以 因此“已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩”的概率为 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 任务：完成下列证明，理解条件概率的性质. 假设A，B，C都是事件，且P(A)>0.根据条件概率的定义，条件概率是否满足下列性质？说明理由. (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)=1； (1) 又(A∩B)⊆A,∴0≤P(A∩B)≤P(A), ∴0≤P(B|A)≤1. (2) 学习活动 学习目标 学习总结 (3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A). (B∪C)∩A=(B∩A)∪(C∩A),若B,C互斥，则B∩A与C∩A互斥， 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率． 解：设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则B，C为互斥事件， 学习活动 学习目标 学习总结 故 故在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为 学习活动 学习总结 学习目标 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是条件概率？2.条件概率公式是什么？3.如何求条件概率？ 1.一个概念 2.两种方法 （1）条件概率公式法； （2）缩小样本空间法. 一般地，设𝐴、𝐵为两个随机事件，且 ,已知事件𝐴发生的条件下，事件𝐵发生的概率，称为条件概率，记作 3.思想方法 数学归纳法 $$