10．1　相交线 学案 2024-2025学年沪科版数学七年级下册

10．1　相交线 第2课时　垂直 知识梳理 1．在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相__ __，记作“AB__ __CD”，读作“AB__ __CD”，其中一条直线叫作另一条直线的__ __，它们的交点叫作__ __. 2．过一点__ __一条直线垂直于已知直线． 3．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，__ __最短． 4．直线外一点到这条直线的__ __的长度叫作点到直线的距离． 垂线的性质与点到直线的距离容易混淆，必须细微体会定义与性质的区别． 重难突破 重难点　与垂直相关的角度计算 【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O. (1)直接写出∠AOC的对顶角和邻补角； (2)若∠AOC∶∠COE＝3∶1，求∠COB的度数． 与垂直相关的角度的计算通常会借助于互余角、互补角之间的关系列式计算． 【对点训练】 1．如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°. (1)求∠COE的度数． (2)求∠EOF的度数． 2．如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD. (1)若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数； (2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由． 课堂10分钟 1．下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是(　　) 　 2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　　) A.55° B．45° C．35° D．30° 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为(　　) A．135° B．145° C．150° D．125° 4．如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是(　　) A.两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 5．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是__ __． 6．在图1中，已知∠1和∠1内一点P，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直． 　　 (1)按要求将图1补充完整，则∠1与∠P之间的数量关系是__ __． (2)若点P在∠1的外部，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．请分别在图2和图3中画出符合要求的图形，(1)中的结论还成立吗？请给出证明． (3)由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个 角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角__ __． (4)应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数分别是__ __． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．1　相交线 第1课时　对顶角 知识梳理 1．两边__互为反向延长线__的两个角叫作对顶角． 2．对顶角__相等__． 对顶角不是顶点相对的角，而是一种具有特殊位置关系的角． 重难突破 重难点　对顶角性质的应用 【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，射线ON在∠BOM的内部． (1)求∠AOD的度数； (2)若∠BOC＝4∠NOB，求∠MON的度数. 解：(1)因为OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°， 所以∠AOC＝∠COM＝∠AOM＝44°， 所以∠AOD＝180°－44°＝136°； (2)因为∠AOD＝136°，所以∠BOC＝136°. 因为∠BOC＝4∠NOB，所以∠NOB＝34°. 因为∠COM＝44°，所以∠MON＝∠BOC－∠NOB－∠COM＝136°－34°－44°＝58°. 对顶角的性质经常与邻补角等相互关联运用，对顶角的性质在中间起到桥梁的作用，沟通了已知和结论的联系． 【对点训练】 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝36°.求∠AOC的度数． 因为OE平分∠BOD， 所以∠BOD＝2∠BOE＝2×36°＝72°， 所以∠AOC＝∠BOD＝72°. 2．如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1＝30°，则∠EOD是多少度？ 因为∠1＋∠AOB＝180°，∠1＝30°， 所以∠AOB＝180°－30°＝150°. 因为OE平分∠AOB， 所以∠AOE＝∠BOE＝∠AOB＝×150°＝75°. 因为∠1＝∠2＝30°， 所以∠EOD＝∠2＋∠BOE＝30°＋75°＝105°. 课堂10分钟 1．下列工具中，有对顶角的是(　C　) 2．如图，下面的说法正确的是(　B　) A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成∠AOB或∠O D．射线OA和射线AO表示同一条射线 选项A，点P在直线m外，该选项错误；选项B，直线m和n相交于点O，该选项正确；选项C，∠1可以表示成∠AOB，该选项错误；选项D，射线OA和射线AO表示不同射线，该选项错误． 3．如图，在同一平面内有n条直线两两相交，当n＝2时邻补角的对数计为a1，当n＝3时邻补角的对数计为a2，当n＝4时邻补角的对数计为a3，…，以此类推，当n＝2 025时邻补角的对数计为a2 024.则＋＋＋…＋的值为(　C　) 　　 A． B． C． D． 当n＝2时邻补角的对数计为a1＝2＝1×2，当n＝3时邻补角的对数计为a2＝6＝2×3，当n＝4时邻补角的对数计为a3＝12＝3×4，…，当n＝2 025时邻补角的对数计为a2 024＝2 024×2 025，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝. 4．利用如图的工具可以测得∠1的大小是__30__°. 5．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 如图所示． 6．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE. (1)若∠BOD＝72°，求∠BOE. (2)若∠BOF＝2∠AOE＋15°，求∠COF. (1)由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°， 由OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，得∠AOE＝∠AOC×＝27°， 由邻补角，得∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－27°＝153°. (2)由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE＋30°. 由邻补角，得∠BOE＋∠AOE＝180°，即4∠AOE＋30°＋∠AOE＝180°， 解得∠AOE＝30°， 所以∠EOC＝50°，∠EOF＝∠BOF＝75°， 所以∠COF＝75°－50°＝25°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．1　相交线 第2课时　垂直 知识梳理 1．在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相__垂直__，记作“AB__⊥__CD”，读作“AB__垂直于__CD”，其中一条直线叫作另一条直线的__垂线__，它们的交点叫作__垂足__. 2．过一点__有且只有__一条直线垂直于已知直线． 3．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，__垂线段__最短． 4．直线外一点到这条直线的__垂线段__的长度叫作点到直线的距离． 垂线的性质与点到直线的距离容易混淆，必须细微体会定义与性质的区别． 重难突破 重难点　与垂直相关的角度计算 【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O. (1)直接写出∠AOC的对顶角和邻补角； (2)若∠AOC∶∠COE＝3∶1，求∠COB的度数． 解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD； (2)因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.因为∠AOC∶∠COE＝3∶1，所以∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝112.5°. 与垂直相关的角度的计算通常会借助于互余角、互补角之间的关系列式计算． 【对点训练】 1．如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°. (1)求∠COE的度数． (2)求∠EOF的度数． (1)因为∠BOD＝41°， 所以∠AOD＝180°－∠BOD＝139°. 因为OE平分∠AOD， 所以∠DOE＝∠AOE＝∠AOD＝69.5°，所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－69.5°＝110.5°. (2)因为OF⊥AB， 所以∠AOF＝90°. 因为∠AOE＝69.5°， 所以∠EOF＝90°－∠AOE＝90°－69.5°＝20.5°. 2．如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD. (1)若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数； (2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由． (1)因为∠FOD＝21°，∠AOE＝2∠FOD， 所以∠AOE＝42°， 所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－42°＝138°. 因为OC平分∠BOE， 所以∠COE＝∠BOE＝×138°＝69°， 所以∠AOD＝180°－∠AOE－∠COE＝180°－42°－69°＝180°－111°＝69°； (2)OE⊥OF，理由如下： 设∠FOD＝x，∠COE＝y，则∠AOE＝2x，∠BOE＝2y. 因为∠AOE＋∠BOE＝180°， 所以2x＋2y＝180°， 所以x＋y＝90°，即∠DOF＋∠COE＝90°. 因为∠EOF＋∠DOF＋∠COE＝180°， 所以∠EOF＝90°，所以OE⊥OF. 课堂10分钟 1．下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是(　A　) 　 2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　A　) A.55° B．45° C．35° D．30° 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为(　C　) A．135° B．145° C．150° D．125° 因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°，因为∠AOE＝60°，所以∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝150°，所以∠BOC＝∠AOD＝150°. 4．如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是(　B　) A.两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 5．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是__12__． 6．在图1中，已知∠1和∠1内一点P，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直． 　　 (1)按要求将图1补充完整，则∠1与∠P之间的数量关系是__互补__． (2)若点P在∠1的外部，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．请分别在图2和图3中画出符合要求的图形，(1)中的结论还成立吗？请给出证明． (3)由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个 角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角__相等或互补__． (4)应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数分别是__65°，115°__． (1)补充图形如图1， 图1 ∠1与∠P之间的数量关系是∠1＋∠P＝360°－90°－90°＝180°； 即∠1与∠P互补； (2)补充图形如图2，图3，(1)中的结论不成立，选图3证明如下. 　　　 如图3， 因为∠CON＝∠POM，∠ONC＝90°，∠OMP＝90°， 所以∠1＝∠P(等角的余角相等)， 所以∠1与∠P的关系为∠1＝∠P； (3)如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； (4)不妨设∠P＞∠1. 根据题意，得∠1＋∠P＝180°，∠P－∠1＝50°， 解得∠P＝115°，∠1＝65°， 那么这两个角的度数分别是65°，115°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．1　相交线 第1课时　对顶角 知识梳理 1．两边__ __的两个角叫作对顶角． 2．对顶角__ __． 对顶角不是顶点相对的角，而是一种具有特殊位置关系的角． 重难突破 重难点　对顶角性质的应用 【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，射线ON在∠BOM的内部． (1)求∠AOD的度数； (2)若∠BOC＝4∠NOB，求∠MON的度数. 对顶角的性质经常与邻补角等相互关联运用，对顶角的性质在中间起到桥梁的作用，沟通了已知和结论的联系． 【对点训练】 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝36°.求∠AOC的度数． 2．如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1＝30°，则∠EOD是多少度？ 课堂10分钟 1．下列工具中，有对顶角的是(　　) 2．如图，下面的说法正确的是(　　) A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成∠AOB或∠O D．射线OA和射线AO表示同一条射线 3．如图，在同一平面内有n条直线两两相交，当n＝2时邻补角的对数计为a1，当n＝3时邻补角的对数计为a2，当n＝4时邻补角的对数计为a3，…，以此类推，当n＝2 025时邻补角的对数计为a2 024.则＋＋＋…＋的值为(　　) 　　 A． B． C． D． 4．利用如图的工具可以测得∠1的大小是__ __°. 5．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 6．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE. (1)若∠BOD＝72°，求∠BOE. (2)若∠BOF＝2∠AOE＋15°，求∠COF. 学科网（北京）股份有限公司 $$