专题05 整式的运算-2025年中考数学大一轮复习(全国适用)

专题05 整式的运算 知识点1．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 知识点2．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点3．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 知识点4．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点5．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点6．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点7．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点8．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点9．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 知识点10．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点11．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点12．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点13．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点14．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点15．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点16．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点17．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型一、同类项的判断 1．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 技巧总结： 判断同类项时，先确认各项所含字母完全相同，再逐一核对相同字母的指数是否一致（如 与是同类项，但与不是）；常数项（如7，－2）均为同类项；注意系数不影响是否为同类项，但合并时需计算系数之和。 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 3．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 技巧总结： 根据同类项定义，同类项的相同字母指数必须相等。若已知两个同类项（如和），则建立方程；若含代数式（如），将代数式代入后解方程组，最后验证所得值是否使原式为同类项并符合实际意义。 题型三、合并同类项 4．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2024·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；     B. ，该选项正确，符合题意；         C. ，该选项错误，不符合题意；                                D. ，该选项错误，不符合题意．     故选：B． 7．（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 技巧总结: 合并同类项时，先确认各项字母及指数完全相同，再将系数相加注意符号)，字母部分保持不变，合并后检查是否还有同类项未合并，最终结果按字母顺序排列更清晰。 题型四、去括号 8．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 技巧总结： 去括号时，先根据括号前的符号确定项的符号变化（正号不变，负号全变），再运用分配律逐项展开，注意运算顺序（先乘除后加减），最后合并同类项。 题型五、添括号 9．（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为． 技巧总结： 添括号时，若括号前为“+”号，括号内符号不变；若为“-”号，括号内各项均变号；根据运算优先级或合并需求合理添加括号（如改变运算顺序或分组），最后通过逆向展开验证结果与原式等价。 题型六、整式的加减运算 10．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 11．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 技巧总结： 整式加减先去括号（注意符号变化），再合并同类项（系数相加、字母部分不变），最后按字母顺序整理结果并检查符号与运算准确性。 题型七、整式的加减中的化简求值 12．（2023·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算． 13．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案． 【详解】原式 ． 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键． 14．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可． 【详解】 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键． 技巧总结： 先对整式进行化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算；若代数式较简单可直接代入后计算，注意运算顺序与符号处理，最后通过逆运算或代入原式验证结果的正确性。 题型八、整式加减的应用 15．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 【答案】D 【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 16．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 3456 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 17．（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 【答案】39 【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案． 【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得： 16 7 4 ∴， 故答案为：39 【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键． 技巧总结： 仔细审题，将实际问题中的数量关系转化为整式表达式（如路程、费用等），明确运算顺序后去括号合并同类项，计算结果后代入验证是否符合实际意义（如非负性、单位合理性）。 题型九、同底数幂相乘 18．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 19．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； ，故B选项符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：B． 20．（2024·四川雅安·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 21．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 技巧总结： 同底数幂相乘时，底数保持不变，指数相加（即），注意底数为负数时符号随指数奇偶性变化，运算后验证是否符合法则。 题型十、同底数幂乘法的逆用 22．（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（    ） A．y B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键． 23．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）    A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】A 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ∴，， ∴，，     ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 技巧总结： 逆用同底数幂乘法法则时，将指数相加转化为幂的乘法（如）或幂的除法（如），用于化简复杂表达式或分解已知幂的形式；注意底数相同且非零，运算后验证是否符合原式结构及数值合理性。 题型十一、幂的乘方运算 24．（2024·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：AB、和不是同类项，不能合并，故AB错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 25．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 26．（2024·吉林长春·中考真题）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B；根据积的乘方运算法则计算并判断C；根据幂的乘方运算法则计算并判断D． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 27．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 技巧总结： 幂的乘方运算中，底数保持不变，指数相乘（即），注意底数为负数时符号由指数的奇偶性决定，运算后通过代入原式验证结果的正确性。 题型十二、幂的乘方的逆用 28．（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键． 技巧总结： 逆用幂的乘方法则时，将指数分解为两个数的乘积（如），用于化简高次幂或分解复杂表达式；注意底数非零且符号受指数奇偶性影响（如负底数需确保分解后指数乘积的奇偶性与原式一致），最后通过代入原式验证等价性。 题型十三、积的乘方运算 29．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 30．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 31．（2024·四川广元·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 32．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，此选项不符合题意； B、，故选项B计算错误，此选项不符合题意； C、，此选项计算正确，符合题意； D、 ，故选项D计算错误，此选项不符合题意； 故选：C． 技巧总结： 积的乘方运算中，将各因数分别乘方后相乘（即），注意符号（如负号需参与乘方）及系数运算若为多项式乘积可逐项展开，最后验证是否符合运算法则。 题型十四、积的乘方的逆用 33．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 技巧总结： 逆用积的乘方法则时，将乘积形式的幂（如分解为各因数分别乘方的积 ，或将同指数的乘积（如）合并为积的乘方，注意符号处理（负号参与乘方）及底数非零，最后通过代入具体数值验证等价性。 题型十五、同底数幂的除法运算 34．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 35．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方．根据同底数幂的除法法则，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方的运算法则，可得答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 36．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 37．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 技巧总结： 同底数幂相除时，底数不变，指数相减（即）；若，结果为或写成负指数形式；注意底数，运算后验证符号（如负底数需判断指数奇偶性）及结果合理性。 题型十六、计算单项式乘单项式 38．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 39．（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 40．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 技巧总结： 单项式相乘时，系数相乘，同底数幂指数相加（如）；不同字母保留原样（如 ． ，注意符号处理（负号参与乘法运算），最后检查运算结果是否符合单项式定义。 题型十七、计算单项式乘多项式及求值 41．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 42．（2023·湖北恩施·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．先计算单项式乘以多项式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 43．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 技巧总结： 单项式乘多项式时，用分配律逐项相乘（如），注意符号（尤其多项式含负号时），合并同类项后化简；代入数值时按运算顺序计算，优先处理括号内内容，最后验证每一步骤的正确性。 题型十八、单项式乘多项式的应用 44．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D． 45．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故选：B 【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 技巧总结： 将实际问题中的数量关系转化为单项式乘多项式模型（如工程总量=效率×时间），明确运算顺序后展开乘法（逐项相乘并合并同类项），计算结果后代入实际背景验证合理性（如非负性、单位匹配）。 题型十九、整式乘法混合运算 46．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 47．（2023·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； 【分析】（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可； （2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 技巧总结： 整式乘法混合运算先理清运算顺序（括号→乘方→乘除→加减），按法则展开（单项式乘单项式用系数相乘、同底数幂相加，单项式乘多项式用分配律逐项展开），合并同类项后化简，注意符号处理与运算顺序，最后代入数值验证结果合理性。 题型二十、计算单项式除以单项式 48．（2024·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 49．（2023·湖北黄石·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，解题的关键是熟练这些法则． 50．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 技巧总结： 单项式相除时，系数相除，同底数幂指数相减（如）；注意符号处理（负号保留至最终结果），若有未出现的字母则保留在分母（如），最后检查分母是否为最简且无字母。 题型二一、运用平方差公式进行运算 51．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 52．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可； 【详解】解： ， 当时， 原式； 53．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案． 【详解】原式 ， ， 原式． 技巧总结： 运用平方差公式时，先观察是否符合＂两数和乘以两数差＂的结构，确定 和（如多项式中的项或单项式），展开时注意符号（中间项抵消，仅保留平方差），若为分解式则反向拆分；若系数或指数含变量，需正确平方并简化，最后通过逆向展开验证等价性。 题型二二、运用完全平方公式进行运算 54．（2024·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 55．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 56．（2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 技巧总结： 运用完全平方公式时，先识别＂首项＂＂末项＂及中间＂两倍乘积项＂的结构（如），注意符号（中间项为＂+ ＂或＂＂对应展开式中的正负号），若为分解式则反向拆分（如），最后通过展开验证结果是否与原式一致。 题型二三、通过对完全平方公式变形求值 57．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 58．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 技巧总结： 观察所求代数式或已知条件的结构，将其转化为完全平方形式（如或 等），通过引入中间量（如设 或重组项建立方程，结合已知数值代入求解，最后验证结果是否符合原式逻辑及实际意义。 题型二四、完全平方公式在几何图形中的应用 59．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 60．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 技巧总结： 将几何图形的边长，周长或面积关系转化为代数表达式，利用完全平方公式简化计算（如 表示拼接图形的总面积），注意隐含条件（如边长非负），最后通过画图辅助理解或代入具体数值验证结果的合理性。 题型二五、整式的混合运算 61．（2024·内蒙古包头·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1），7；（2） 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是： （1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可； （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） 去分母，得， 解得， 把代入， ∴是原方程的解． 62．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 63．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理； 【详解】解：原式         . 【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键． 技巧总结： 明确运算顺序（先乘方后乘除，最后加减），合理运用分配律，结合律简化计算（如 ），注意符号变化（尤其括号前负号），逐项展开并合并同类项，最后通过逆向代入或分步验算确保结果正确。 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式的运算 知识点1．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 知识点2．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点3．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 知识点4．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点5．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点6．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点7．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点8．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点9．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 知识点10．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点11．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点12．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点13．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点14．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点15．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点16．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点17．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型一、同类项的判断 1．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 技巧总结： 判断同类项时，先确认各项所含字母完全相同，再逐一核对相同字母的指数是否一致（如 与是同类项，但与不是）；常数项（如7，－2）均为同类项；注意系数不影响是否为同类项，但合并时需计算系数之和。 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 3．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 技巧总结： 根据同类项定义，同类项的相同字母指数必须相等。若已知两个同类项（如和），则建立方程；若含代数式（如），将代数式代入后解方程组，最后验证所得值是否使原式为同类项并符合实际意义。 题型三、合并同类项 4．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 技巧总结: 合并同类项时，先确认各项字母及指数完全相同，再将系数相加注意符号)，字母部分保持不变，合并后检查是否还有同类项未合并，最终结果按字母顺序排列更清晰。 题型四、去括号 8．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 技巧总结： 去括号时，先根据括号前的符号确定项的符号变化（正号不变，负号全变），再运用分配律逐项展开，注意运算顺序（先乘除后加减），最后合并同类项。 题型五、添括号 9．（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 技巧总结： 添括号时，若括号前为“+”号，括号内符号不变；若为“-”号，括号内各项均变号；根据运算优先级或合并需求合理添加括号（如改变运算顺序或分组），最后通过逆向展开验证结果与原式等价。 题型六、整式的加减运算 10．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 11．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 技巧总结： 整式加减先去括号（注意符号变化），再合并同类项（系数相加、字母部分不变），最后按字母顺序整理结果并检查符号与运算准确性。 题型七、整式的加减中的化简求值 12．（2023·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 ． 13．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14． （2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 技巧总结： 先对整式进行化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算；若代数式较简单可直接代入后计算，注意运算顺序与符号处理，最后通过逆运算或代入原式验证结果的正确性。 题型八、整式加减的应用 15．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 16．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 17．（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 16 7 4 技巧总结： 仔细审题，将实际问题中的数量关系转化为整式表达式（如路程、费用等），明确运算顺序后去括号合并同类项，计算结果后代入验证是否符合实际意义（如非负性、单位合理性）。 题型九、同底数幂相乘 18．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·四川雅安·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 技巧总结： 同底数幂相乘时，底数保持不变，指数相加（即），注意底数为负数时符号随指数奇偶性变化，运算后验证是否符合法则。 题型十、同底数幂乘法的逆用 22．（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（    ） A．y B． C． D． 23．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）    A．128 B．64 C．32 D．16 技巧总结： 逆用同底数幂乘法法则时，将指数相加转化为幂的乘法（如）或幂的除法（如），用于化简复杂表达式或分解已知幂的形式；注意底数相同且非零，运算后验证是否符合原式结构及数值合理性。 题型十一、幂的乘方运算 24．（2024·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·吉林长春·中考真题）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 技巧总结： 幂的乘方运算中，底数保持不变，指数相乘（即），注意底数为负数时符号由指数的奇偶性决定，运算后通过代入原式验证结果的正确性。 题型十二、幂的乘方的逆用 28．（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是(    ) A． B． C． D． 技巧总结： 逆用幂的乘方法则时，将指数分解为两个数的乘积（如），用于化简高次幂或分解复杂表达式；注意底数非零且符号受指数奇偶性影响（如负底数需确保分解后指数乘积的奇偶性与原式一致），最后通过代入原式验证等价性。 题型十三、积的乘方运算 29．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·四川广元·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 技巧总结： 积的乘方运算中，将各因数分别乘方后相乘（即），注意符号（如负号需参与乘方）及系数运算若为多项式乘积可逐项展开，最后验证是否符合运算法则。 题型十四、积的乘方的逆用 33．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 技巧总结： 逆用积的乘方法则时，将乘积形式的幂（如分解为各因数分别乘方的积 ，或将同指数的乘积（如）合并为积的乘方，注意符号处理（负号参与乘方）及底数非零，最后通过代入具体数值验证等价性。 题型十五、同底数幂的除法运算 34．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 36．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 技巧总结： 同底数幂相除时，底数不变，指数相减（即）；若，结果为或写成负指数形式；注意底数，运算后验证符号（如负底数需判断指数奇偶性）及结果合理性。 题型十六、计算单项式乘单项式 38．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 39．（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 技巧总结： 单项式相乘时，系数相乘，同底数幂指数相加（如）；不同字母保留原样（如 ． ，注意符号处理（负号参与乘法运算），最后检查运算结果是否符合单项式定义。 题型十七、计算单项式乘多项式及求值 41．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（2023·湖北恩施·中考真题）因式分解： ． 43．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 技巧总结： 单项式乘多项式时，用分配律逐项相乘（如），注意符号（尤其多项式含负号时），合并同类项后化简；代入数值时按运算顺序计算，优先处理括号内内容，最后验证每一步骤的正确性。 题型十八、单项式乘多项式的应用 44．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 45．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：（    ） A．2 B． C． D． 技巧总结： 将实际问题中的数量关系转化为单项式乘多项式模型（如工程总量=效率×时间），明确运算顺序后展开乘法（逐项相乘并合并同类项），计算结果后代入实际背景验证合理性（如非负性、单位匹配）。 题型十九、整式乘法混合运算 46．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 47．（2023·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 技巧总结： 整式乘法混合运算先理清运算顺序（括号→乘方→乘除→加减），按法则展开（单项式乘单项式用系数相乘、同底数幂相加，单项式乘多项式用分配律逐项展开），合并同类项后化简，注意符号处理与运算顺序，最后代入数值验证结果合理性。 题型二十、计算单项式除以单项式 48．（2024·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2023·湖北黄石·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 技巧总结： 单项式相除时，系数相除，同底数幂指数相减（如）；注意符号处理（负号保留至最终结果），若有未出现的字母则保留在分母（如），最后检查分母是否为最简且无字母。 题型二一、运用平方差公式进行运算 51． （2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 52． （2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 53． （2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足． 技巧总结： 运用平方差公式时，先观察是否符合＂两数和乘以两数差＂的结构，确定 和（如多项式中的项或单项式），展开时注意符号（中间项抵消，仅保留平方差），若为分解式则反向拆分；若系数或指数含变量，需正确平方并简化，最后通过逆向展开验证等价性。 题型二二、运用完全平方公式进行运算 54．（2024·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 55．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 技巧总结： 运用完全平方公式时，先识别＂首项＂＂末项＂及中间＂两倍乘积项＂的结构（如），注意符号（中间项为＂+ ＂或＂＂对应展开式中的正负号），若为分解式则反向拆分（如），最后通过展开验证结果是否与原式一致。 题型二三、通过对完全平方公式变形求值 57．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 58．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 技巧总结： 观察所求代数式或已知条件的结构，将其转化为完全平方形式（如或 等），通过引入中间量（如设 或重组项建立方程，结合已知数值代入求解，最后验证结果是否符合原式逻辑及实际意义。 题型二四、完全平方公式在几何图形中的应用 59．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 60．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 技巧总结： 将几何图形的边长，周长或面积关系转化为代数表达式，利用完全平方公式简化计算（如 表示拼接图形的总面积），注意隐含条件（如边长非负），最后通过画图辅助理解或代入具体数值验证结果的合理性。 题型二五、整式的混合运算 61．（2024·内蒙古包头·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 62． （2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 63． （2023·青海西宁·中考真题）计算：． 技巧总结： 明确运算顺序（先乘方后乘除，最后加减），合理运用分配律，结合律简化计算（如 ），注意符号变化（尤其括号前负号），逐项展开并合并同类项，最后通过逆向代入或分步验算确保结果正确。 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$