河南省信阳高级中学2025届高三第五次轮考数学试题

2025届高三轮考（五）数学参考答案 一.CACDC,CBD; 二.BCD;BC;ACD 三筑121,40-司 2 15.【答案】(1)C= 539 (2) 3 22 (1)因为a(2-cosC)=c(2cosB+cos4),由正弦定理可得 sin4(2-cosC)=sinC(2cosB+cos4), 由A+B+C=π，则sinM=sin(B+C),sinB=sin(A+C), 2sin4=2sinCcosB+sinCcos4+sinAcosC=2sinCcosB +sinB, 整理得2 sinBcosC=sinB, 且BeQ,,m0,故cosC=号又：Ce(Q,故C=骨 在0c,由定0-+子号-口-写+ 4 5 2v3sinA 2V5 又siA 2π 81n √3cosA+sin4 3 1+3, tan 0<A< 因为△4BC为锐角三角形，所以 0< 所以3 BD<39 故BD的取值范围为 √539 2 22 16.【答案】(1)在区间 0 上单调递减， 2,+0上单调递增 (2)1 解：(1)当a=-2时，f(x)=(x+2)(x+1)-2x=x2+3x+2-2hx,x>0, 则f(x)=2x+3-2-2r+3x-2_(2x-10x+2) 当0<x<时f<0:当x>号时，f)>0 故f)在区同0，上单调适减（行+上单调增。 @g)=r-(a+2x+1-a+adr,g)-s-2x-a2x>0), 因为a>0,令g(x)=0,则x=1或g 当0<a<2时， 由gd)-任-12x-@0,可得0<x<号或x>1, 2 由gx)--2x-a<0,可得：g<<1 所以8()在0》上单调造端。 2 上单调递减，(（L,+0)上单调递增， 当x→+∞时，g(x)→+0，x→0，g(x)→-o, 又g(1)=-2a<0,因g(x)只有1个零点，需使g =-4-2a+admg+1<0. 4 2 令Ma)=-千-2a+ag+1,求号得：Na)=号1+h 4 又0<a<2,0<号<1，易得a)=号1+hn号<0 2 可知(ad=- -2a+dhg+1在0,2)上单调递减： 4 又a→0时.a)→1,40=-h2<0 即存在ae0小，使得a)卢8侣 =0, 因h(a)<0,4<a<2,又因aeN,故am=1. 17.()证明见解析2249 83 【详解】(1)由于AB=AC,AH⊥平面ABC,故RtAAHC=RtAHB,因此CH=BH, 故H在BC的垂直平分线上， 由于AB=AC=BC=6,M是BC的中点，故H∈AM (2)由于BB/∥平面AAC, 故点B到平面AAC的距离与B到平面AAC的距离相等， 故we=形e=e吉9e4H传66号4H=185解得Ah=26. 因此AH=VAM-A,H=6-(26)=25, 因此H是三角形ABC的重心， 如图：连接CH,过H作CH的垂线，垂线所在的直线作为y轴， CH所在的直线作为x轴，以AH所在直线为z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 故 Hoao46.-3o叭a.a0c(25.ao叭4oa25j50 BB,=A4=（5,3,26),则B(0.6,26),AB=（-5,9,2N6).AB=(0,6,0). 设平面AB8,的法向量为m=(化，八，=)， 则 m=-+y+2医=0，取=25，则m=(5.0 AB.m=6y=0 孤-(592.-[9v6 设平面AEB,的法向量为i=(x:,二。)， ABi=5x+9%+26=0 则 8=5.7 2526-26:=0' 45v5 故cos元，i= i元 2 5V249 网同 3xV249 83 √迈 由于二面角B-AB-B的平面角为锐角，故余弦值为54型 83 18.(1)圆M的方程为(x-4)+(y-2)=16,抛物线N的方程为x2=8y (2)存在元=1，使得DA.FC-DEFE,理由见解析3)(-4,10) 【详解】(1)圆M:(x-2a)+(y-a)=16(a≠0)的圆心M(2a,a), 因为圆心M在抛物线N上，所以4a2=2pxa(p>0),即2a=p, 因为圆M与抛物线N的准线相切，所以号+a=4, 解得p=4,a=2,所以圆M的方程为(x-4)+(y-2)=16, 3 抛物线N的方程为x2=8: (2)存在常数1，使得DAFC=D正.匠，理由如下， 设4B.C6.- 则在点A处的垒切线方程为y男疗《一-》，即。 4 在点台处的坠切线方程为y-头《-小，即y知。 1 1 由 ,解得 1 1 2,所以D3,受 =4w- 28 4 8 8 同理可得2 告- m-(作g“丽 所以 D4元=-x+5=当=五×5-+（出-(5- 2 2 8 8 2 2 8 8 DiF匠=二×当+5适×5适， 2 2 8 8 =5二×5二+5sx,可得DA,C=D丽丽， 2 2 8 8 所以存在元=1，使得DA.FC=DEFE: (3)因为Rt△CPQ、RtACRT是抛物线的两个内接三角形， 所以直线CP,CO,CR,CT的斜率存在且不为0， 当点C的横坐标为4时，代入4=8y得y=2,所以C(4,2), 设P(,),(sgyg,R(y),T(G,y,),由C为直角顶点， 设。=，则知=子 则直线CP的方程为y-2=k(x-4),与x2=8y联立得 x2-8k+32k-16=0,则xp+4=8k,x,=8k-4, 4 k化-到+2-k+2,可得P6-48-+2列同理可得Q(是4习 8-8+2-8+82 所以直线P的方程为y-(8欧2-8歇+2)= &k-8k+4) 8k-4+ 2+4 整理得y=-名小6+4+10，即-名中+4到+10-y=0. 设=,则。= 则直线CR的方程为y-2=h(x-4),与x2=8y联立得 x2-8x+32h-16=0,则x+4=8,x=8h-4, ya=h(x-4)+2=8-8+2,可得R(81-4,8h-8+2),同理可得T h 所以直线RT的方程为 8M12-81+2- (88+2 y-(82-8h1+2)= h 8h-4+8+4 6-8+4),整理得y= h a-水+410-=0 由 （x=-4 -若+410-0得=0·所以0的交点华标为(410， 19R-号0=号：a8x)- 9:(3)证明见解析 【详解】(1)，2分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率， 由题可知：乃= (2)记重复n次t操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为R,易得R= C:C:4 由题易得X2的所有可能得取值为3,2,1,0， 且P(X=3)=B=R0+g P(X,=2)=2=R1+2 e888 Px=-=Ro+ae(侵+号}费 Px=0=月0+g0-得)奇 所以X2的分布列为： X 3 0 48 41 32 4 81 8 81 数学期望为B(X,)=3x4+2x41+1x32+0x4_126-14 81 819 (3)记重复n次t操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为R。, 由题，可得E(X)=3P+22,+R, 而P1=P0+0 00 O=L1+0 号引后引++ 几-R0Q侣引G引0-只-2-1 R, 于是，3+20+R+2现+2+1-2-2-=+2+1， 9 9 电即x一xr1BK小片)引 3 因比巴工)一引是等比数列、公比为 首现为8X)号识+20+风号含6 所以x)得)”低上片周+号 t网0)月 名成9弦六北) =2n1+1>2”-16m-1neN 3993>39=9 6第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 2025 届高三轮考（五） 数 学 试 题 一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合  1 2 3A    ， ， ， { | }B x y x A y A   ， ，则 A B  （ ） A. 2 B. 3 C. 2 3 ， D. 1 2 3  ， ， 2.若复数 z 满足 1 i 1 2iz z     ，则 z （ ） A. 1 1 i 2 2   B. 1 1 i 2 2   C. 1 i  D. 1 i  3.已知平面向量 , ,a b c    为两两不共线的单位向量，则“   0a b c     ”是“ a b 与 c共线”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 (0, π)  ，若 π 3sin 6 3       ，则 πsin 2 6       （ ） A. 2 3 B. 1 3  C. 1 3  D. 1 3 5.将函数   1f x x x a ＝ 的图像向左平移 2个单位长度，所得函数在  2, 单调递增，则 a的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 2AB AC  ， 2π 3 BAC  ，C点到直线 1 1AB 的 距离为 7 ，则三棱柱 1 1 1ABC ABC 的外接球表面积为（ ） A.12π B.16π C.20π D. 24π 7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆， 这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆 2 2 : 1 3 x yC m   的焦点在 x轴上， ,A B为椭圆上任意两 第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 点，动点 P在直线 2 6 0x y   上.若 APB 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭 圆C的离心率的取值范围为（ ） A. 30, 3        B. 60, 3        C. 3 ,1 3        D. 6 ,1 3        8.已知∆ABCV 的三条边上的高分别为 , ,a b ch h h ，若 3, 4a bh h  ，则 ch 的取值范围为（ ） A.  1,7 B. 12 ,77       C.  1,12 D. 12 ,127       二、多选题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.下列说法正确的是（ ） A.某射击运动员在一次训练中 10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9， 9，7，5，这组数据的第 70百分位数为 8 B.对于随机事件A与 B，若 ( ) 0.3P B  ， ( ) 0.7P B A ∣ ，则事件A与 B独立 C.若随机变量 ~ (6, )X B p ， ( ) 4.8E X  ，若  P X k 最大，则  1 24D kX   D.设随机变量 服从正态分布  0,1N ，若 ( 1)P p   ，则 1( 1 0) 2 P p     10.在直棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD为正方形， 13 3CD CC  ，P为线段 1BC 上动点， E， F 分别为 1 1AD 和 BC的中点，则下列说法正确的是（ ） A.若 1 10 3 CP CB          ，则经过 P， E， F 三点的直棱柱的截面为四边形 B.直线 1BC与 1 1AC 所成角的余弦值为 6 4 C.三棱锥 1 1P ADC 的体积为定值 D. 1A P BP 的最小值为 34 11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也 具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “  ”，是许多艺术家设计作品的主 要几何元素. 已知在平面直角坐标系中，    1 22,0 , 2,0F F ，满足 1 2 4PF PF  的动点 P 的轨迹为曲线 C 则下列结论正确的是（ ） A.曲线 C 既是中心对称又是轴对称图形 B.曲线 C 上满足 1 2PF PF 的点 P 有 2 个 C. 2 2OP  D.曲线 C 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题: 本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.  40 4 4 3 3 2 210 4 ,2-1 aaxaxaxaxaax 则）（ __________. 13.若直线 2y x 为曲线 eax by  的一条切线，则ab的最大值为__________. 14.已知 n 为正整数，有穷数列  2 1kka k n   中所有可能的乘积  1i ja a i j n   的和记为 nT . 例如，当 3n  时， 2 2 23 1 1 2 1 3 2 2 3 3 140T a a a a a a a a a       . 数列 2n nT       的前 n 项和为 . 四、解答题: 本题共 5 小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13分） 在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，    2 cos 2cos cosa C c B A   ， 3b  ． （1）求C； （2）记D为 AC的中点，求 BD的取值范围． 16.（本小题满分 15分） 已知函数     1 lnf x x a x a x    ． （1）当 2a   时，讨论  f x 的单调性； （2）记函数     3 1g x f x x   ，已知  g x 只有 1个零点，求正整数 a的最小值． 17.（本小题满分 15分） 如图， 1AH 是斜三棱柱 1 1 1ABC A BC 的高， 1 6AB AC BC AA    ， 1 1A B AC ， 点 E，M 在线段 BC上，其中M 是 BC的中点， 1 6 BE BC . （1）证明：H AM ； （ 2）若三棱锥 1 1B A AC 的体积为 18 2 ，求二面角 1B AB E  的余弦值. 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题满分 17分） 已知圆      2 22 16 0M x a y a a    ： 的圆心M 在抛物线  2 2 0N x py p ： 上，且圆M 与抛物线 N 的准线相切.如图，过抛物线 N 上的三个不同点 A B C， ， （ B 在 A C， 之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D E F， ， . （1）求圆M 和抛物线 N 的方程； （2）是否存在常数，使得DA FC DE FE       ？若存在，求出的值；若不存在， 请说明理由； （3）当点C的横坐标为 4 时，以C为直角顶点，作抛物线的两个内接 Rt CPQ 及 Rt CRT ，求线段 PQ RT， 的交点坐标. 19.（本小题满分 17分） 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天 气预测等方面都有着极其广泛的应用 .其数学定义为：假设我们的序列状态是 2 1 1t t t tX X X X  ， ， ， ， ，，那么 1tX  时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 tX ， 即    1 2 1 1t t t t t tP X X X X P X X   ∣ ， ， ， ∣ . 已知甲盒子中装有 2 个黄球和 1 个黑球，乙盒子中装有 1个黄球和 2 个黑球（6个球的 大小形状完全相同）.记操作 ：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子 中.在重复 n次 操作后，记甲盒子中黄球个数为 nX ，恰有 3个黄球的概率为 nP ，恰有 2个黄球的概率为 nQ ，并记 nX 的数学期望为  nE X . （1）求 1 1P Q， ； （2）求  2E X ； （3）证明：     * 1 1 6 1 9 n k k n n E X    N .