2025年中考数学一轮复习34个必考重难点小微专题精练：专题31 中考数学中位线问题（原卷版+解析版）

2025年中考数学一轮复习34个必考重难点小微专题精练（全国通用） 专题31 中考数学中位线问题 一、选择题 1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长 为(　　) A. B．3 C．6 D．9 2.如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　) A．80°　　　B．90° C．100° D．110° 3.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 （2021黑龙江鹤岗）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（　　） A．5.5 B．5 C．4 D．3 5. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、填空题 1．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM=　　． 2．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　． 3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是　 　． 4.如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是　 　cm． 5． 如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　　如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　 　． 7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 三、解答题 1. 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长。 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 3. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求的值； （3）若EA=EF=1，求圆O的半径． 5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长． 6.如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 7.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 8.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 9.如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F (1)求证：△ABE≌△DFE； (2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学轮一复习34个必考重难点小微专题精练（全国通用） 专题31 中考数学中位线问题 一、选择题 1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长 为(　　) A. B．3 C．6 D．9 【答案】见解析。 【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C. 方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用． 2.如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　) A．80°　　　B．90° C．100° D．110° 【答案】见解析。 【解析】∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是△EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A. 方法总结：中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题． 3.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴CD＝BC5，且O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE为△BCD的中位线， ∴OECB＝2.5 4．（2021黑龙江鹤岗）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（　　） A．5.5 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE＝CE，即点E为BC的中点，由于点O为AC的中点，所以OE为△ABC的中位线，可得OE∥AB，且OE＝AB；利用OE∥AB可得，进而得出；利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得；利用AO＝OC，可得，利用△ABC≌△FCB，可得，答案可得． 解：∵四边形ABFC是平行四边形，∴BE＝EC． ∵OA＝OC， ∴OE是△ABC的中位线．∴OE＝AB，OE∥AB． ∴． ∴．∴， ∵AO＝OC，∴， ∵四边形ABFC是平行四边形， ∴FC＝AB，FB＝AC． 在△ABC和△FCB中， ， ∴△ABC≌△FCB（SSS）． ∴S△ABC＝S△FCB＝＝24． ∴＝＝4． 5. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可． 设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x． ∵是的直径，垂直于弦于点， ∴ ∴OD是△ABC的中位线 ∴BC=2OD ∵ ∴，解得 ∴BC=2OD=2x=2 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键． 二、填空题 1．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM=　　． 【答案】 3 【解析】证明MN是△ABC的中位线，得出MN∥AB，且MN=AB，证出△CMN∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN与△CAB的面积比，继而可得出△CMN的面积与四边形ABNM的面积比．最后求出结论． ∵M，N分别是边AC，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AB，且MN=AB， ∴△CMN∽△CAB， ∴=（）2=， ∴=， ∴S四边形ABNM=3S△CMN=3×1=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键． 2．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　． 【答案】　 【解析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解． 【解答】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H． 则PH∥AB． ∵P是AE的中点， ∴PH是△AOE的中位线， ∴PH=OA=（3﹣1）=1． ∵直角△AOE中，∠OAE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2， 同理△PHE中，HE=PH=1． ∴HG=HE+EG=1+1=2． ∴在Rt△PHG中，PG===． 故答案是：． 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键． 3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是　 　． 【答案】6 【解析】根据题意求出AD、DE，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据三角形的面积公式计算即可． ∵D、E分别为AC、AB的中点， ∴AD=AC=4，DE=BC=3，DE∥BC， ∴∠ADE=∠C=90°， ∴△ADE的面积=×AD×DE=6． 【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4.如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是　 　cm． 【答案】8． 【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC． 如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点， ∴DE＝2FG＝4cm， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝8cm 5．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　　． 【答案】2 【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MNBC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝2． ∵M，N分别是AB和AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MNBC＝2，MN∥BC， ∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE， ∵点E是CN的中点， ∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2． 6．如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　 　． 【答案】8 【解析】先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长， 根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论． ∵点D是AB的中点，BF∥DE， ∴DE是△ABF的中位线． ∵BF=10， ∴DE=BF=5． ∵CE=CD， ∴CD=5，解得CD=4． ∵△ABC是直角三角形， ∴AB=2CD=8． 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 【答案】2 【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC． ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE． ∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中点，∴GF是△ABE的中位线，∴GF=AE， ∵AE=4，∴GF=2．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键． 三、解答题 1. 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长。 【答案】见解析。 【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB, ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE. 恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键． 3. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. 顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求的值； （3）若EA=EF=1，求圆O的半径． 【答案】见解析． 【解析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线； （2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论； （3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则=，求出r的值即可． 【解答】证明：（1）连接OD，如图1， ∵OB=OD， ∴△ODB是等腰三角形， ∠OBD=∠ODB①， 在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB②， 由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD， ∴DH是圆O的切线； （2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B， ∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C， ∴△EDC是等腰三角形， ∵DH⊥AC，且点A是EH中点， 设AE=x，EC=4x，则AC=3x， 连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD， ∵AB=AC， ∴D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，OD=AC=×3x=， ∵OD∥AC， ∴∠E=∠ODF， 在△AEF和△ODF中， ∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE， ∴△AEF∽△ODF， ∴， ∴==， ∴=； （3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r， ∵EF=EA， ∴∠EFA=∠EAF， ∵OD∥EC， ∴∠FOD=∠EAF， 则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD， ∴DF=OD=r， ∴DE=DF+EF=r+1， ∴BD=CD=DE=r+1， 在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB， ∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE， ∴BF=BD，△BDF是等腰三角形， ∴BF=BD=r+1， ∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1， 在△BFD和△EFA中， ∵， ∴△BFD∽△EFA， ∴， ∴=， 解得：r1=，r2=（舍）， 综上所述，⊙O的半径为． 【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题． 5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长． 【答案】见解析。 【解析】首先证明△AMD≌△AMC，得到DM＝MC，易得MN为△BCD的中位线，即可解决问题． ∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD与△AMC中， ∴△AMD≌△AMC(ASA)， ∴AD＝AC＝3， DM＝CM. 又∵BN＝CN， ∴MN为△BCD的中位线， ∴MN＝BD＝×(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点． 6.如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 【答案】见解析。 【解析】本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系． AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中， ∴△ABF≌△ECF(ASA)， ∴BF＝CF. ∵OA＝OC， ∴OF是△ABC的中位线， ∴AB∥OF，AB＝2OF. 方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线． 7.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 【答案】见解析。 【解析】∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM= 1/2AB，PN=1/2 DC，PM∥AB，PN∥DC， ∵AB=CD， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°， ∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°， ∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°． 8.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 【答案】见解析。 【解析】∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE=1/2 CD， ∴OE=1/2 BC， ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15， 即△DOE的周长为15． 9.如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F (1)求证：△ABE≌△DFE； (2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论． 【答案】见解析。 【解析】(1) 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF。 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 。∵E是AD的中点，∴ AE=DE。 ∴△ABE ≌△DFE（AAS）。 (2)四边形ABDF是平行四边形。证明如下： ∵△ABE ≌△DFE，∴AB=DF。 又AB∥CF．∴四边形ABDF是平行四边形。 　 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$