精品解析：精品解析：（北京专用）2025年中考数学模拟卷(3)

（北京专用）2025年中考数学模拟卷3 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上．选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．） 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，，平分，，的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8. 如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分．） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 10. 分解因式：________． 11. 分式方程的解是______． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数图象经过点和点，则的值为______________． 13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗个数 5 8 16 14 7 根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵． 14. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____． 15. 如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为______． 16. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目演员人数和彩排时长（单位：）如表： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为______；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18 解不等式组：． 19. 已知：，求的值． 20. 如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，平分，求的长． 21. 为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． （1）应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ （2）若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 22. 一次函数的图像与轴交于点，且经过点． （1）当时，求一次函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息． a．七、八年级学生平均每天阅读时间统计图： b．九年级学生平均每天阅读时间： 21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50 c．七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数： 年级 七 八 九 平均数 26.4 35.2 36.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ； （2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数； （3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，则之间的大小关系为 ． 24. 如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 26. 已知抛物线． （1）求此抛物线的顶点的坐标； （2）若抛物线经过点，求的取值范围． 27. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． （1）如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； （2）如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； （3）已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京专用）2025年中考数学模拟卷3 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上．选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．） 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 如图，，平分，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据“两直线平行，同位角相等”得，根据角平分线定义得，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴和算术平方根．由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， A、，，故本选项不符合题意； B、，，，，故本选项不符合题意； C、，，，，，故本选项不符合题意； D、，，，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0． 5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“龘”有2张卡片，代入公式，即可作答． 【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率 故选：B 6. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶ ． 故选∶A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 8. 如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：将菱形ABCD向右平移至点B与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；故①符合题意； 将菱形ABCD向右平移至点C与点F重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱形AEFG；故②符合题意； 将菱形ABCD以点A为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG； 设直线BD、GE相交于点O，将菱形ABCD以点O为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG； 但旋转中心只有点A和点O两个个，故③不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分．） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 11. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， ∴，解得：， 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗个数 5 8 16 14 7 根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在范围内所占比，即可解题． 【详解】解：由题知，（万棵）， 故答案为：． 14. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题； 【详解】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形． ∵∠POB＝∠PAB＝90°， ∴P、O、B、A四点共圆， ∴∠AOB＝∠APB， ∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k， 在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32， 解得k＝（负根已经舍弃）， ∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝， ∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°， ∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°， ∴△AMB∽△PNA， ∴＝， ∴＝， ∴BM＝， ∴OB＝OM﹣BM＝1． 故答案为1 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题． 15. 如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 16. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为______；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．节目D的演员的候场时间为；先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：节目D的演员的候场时间为， 由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：，． 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：． 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以这个不等式的解集为． 19. 已知：，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值问题，先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外的，最后把的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，平分，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证； （2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，由已知进而即可求得． 【小问1详解】 证明：平行四边形， ，， 又， ， 即， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， 在中， ，，， ， ， ， ． 21. 迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． （1）应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ （2）若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【答案】（1）分配5名工人生产A盲盒，12名工人生产B盲盒． （2）280元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设有x名工人生A盲盒，则有名工人生产B盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，每天生产的A盲盒和B盲盒配套，列出方程，解方程即可； （2）设每套礼盒的标价为y元，根据每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设有x名工人生A盲盒，则有名工人生产B盲盒，根据题意得： ， 解得， 因此，应分配5名工人生产A盲盒，12名工人生产B盲盒． 【小问2详解】 解：设每套礼盒的标价为y元，根据题意得： ， 解得， 因此每套礼盒的标价为280元． 22. 一次函数的图像与轴交于点，且经过点． （1）当时，求一次函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）y=x+，点A的坐标为(-4，0) （2） 【解析】 【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可； （2）根据图像得到不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵m=2， ∴将点C(2，2)代入y=kx+4k， 解得k=； ∴一次函数表达式为y=x+， 当y=0时，x+=0， 解得x=-4 ∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A， ∴点A的坐标为(-4，0)． 【小问2详解】 解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点， ∵当时，，对于x每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值， ∴，， 解得k≤−． ∴k≤−． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键． 23. 某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息． a．七、八年级学生平均每天阅读时间统计图： b．九年级学生平均每天阅读时间： 21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50 c．七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数： 年级 七 八 九 平均数 26.4 35.2 36.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ； （2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数； （3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，则之间的大小关系为 ． 【答案】（1）37 （2）32.8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小，结合统计图与数据进行判断即可． 【小问1详解】 解：由中位数是第8位上的数可知，中位数为37， 故答案为：37； 【小问2详解】 解：由题意知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为， ∴三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为32.8； 【小问3详解】 解：由方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小， 观察七、八年级的统计图以及九年级的数据可知，九年级的数据波动最大、八年级的数据波动最小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，方差等知识．解题的关键在于从题干中获取正确的信息． 24. 如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，综合运用这些知识是关键． （1）连接，由为切线及，结合垂径定理可得平分，则可得，再由及可得，则可得，问题得证； （2）由勾股定理分别求得及圆半径，证明，由相似的性质即可求得的长． 【小问1详解】 解：相切；理由如下： 连接， ∵为切线， ∴ ∵， ∴，即垂直平分， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：； 设圆半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题 （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）画出图象，结合图象可知当时，两直线相交于点，当时，两直线平行，故可得出结论 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把和代入得， 一次函数的解析式为 【小问2详解】 解：如图， 当时，两直线相交于点， 当时，两直线平行， 所以，m的取值范围为 26. 已知抛物线． （1）求此抛物线的顶点的坐标； （2）若抛物线经过点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系： （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，分类讨论或，结合图象求解． 【小问1详解】 解： ， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 令， 解得， ∴， ∵， ∴或， 分类讨论： （a）如图，当时， ， 当时，取最小值为， 所以； （b）如图，当时， ， 将代入得， 所以， 综上所述，或． 27. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； 【小问2详解】 ； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． （1）如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； （2）如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； （3）已知点、是在以为圆心，半径为圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）作图见解析，“反射线段”为弦时，坐标为；“反射线段”为弦时，坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）在圆中找出对应的弦，其中大于圆的直径，根据“反射线段”的定义即可判断； （2）由“反射线段”的定义，画出的反射弦，找出对应点的垂直平分线即为直线，数形结合求出直线与轴的交点的坐标即可得到答案； （3）根据（2）的方法找到所在的圆心，当点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：如图， 是关于直线的对称的弦， 是的以直线为对称轴的“反射线段”， 是关于直线的对称的弦， 线段是的以直线为对称轴的“反射线段”， ，的直径，， 线段不是的以直线为对称轴的“反射线段”， 故答案为：、； 【小问2详解】 解：由“反射线段”定义，作出图形，如图所示： 当关于直线的对称弦是时，直线过的中点，即直线：，则直线与轴交点； 当关于直线的对称弦是时，，设，则由中垂线性质可知， ，解得，则直线与轴交点； 【小问3详解】 解：以为斜边构造等腰直角三角形，以为圆心、为半径作圆，设与x轴的交点为L，如图所示： 设，则， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当点在圆上运动一周时，取的中点，的中点，如图所示： 是的中位线， ，，即的中点，在以为圆心，半径为的圆上运动， 若是的以直线为对称轴的反射线段，则为的切线， 设与轴交于点，， ，， ， 反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 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