精品解析： 重庆市永川区2024-2025学年九年级上学期期末质量监测数学试题

2025级2024年秋期期末检测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列事件属于必然事件是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、三角形的外心到三边的距离相等是随机事件，此选项不符合题意； 、抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，此选项不符合题意； 、直径所对圆周角是直角是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 3. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴长可以是． 故选：D． 4. 据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年年利润的平均增长率为，由题意得，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该公司这两年年利润的平均增长率为， 由题意得：， 故选：A． 5. 如图，某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植千棵树苗时，成活的数量约是（ ） A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，利用样本的频率估计总体，频率估计概率，根据图形可以发现，在附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知，移植千棵树苗时成活的频率为， ∴这种树苗移植成活的概率为， ∴成活的数量约是（棵）， 故选：． 6. 如图，点，，均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，由等腰三角形得，所以，再根据圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 7. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 把抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到新抛物线 C. 抛物线与轴交于点 D. 抛物线与轴有1个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移问题，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键： 根据开口方向和对称轴即可判断A选项；先将原抛物线配方，再进行“左加右减，上加下减”平移求解，即可判断B；令，即可求出与轴交点坐标，即可判断C；令，则计算一元二次方程的根的判别式的符号即可判断D． 【详解】解：A、∵，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； B、，则向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到新抛物线为，即，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，因此抛物线与轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当，则，，抛物线与轴有2个交点，故本选项错误，符合题意， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 9. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 【详解】解：连接如图： 是正方形， ，， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 10. 已知（是各项的系数，是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法：①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，则符合条件的的整数值有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，根据新定义运算即可判断①；根据题意得出，解方程即可判断②；根据题意得出，得到，结合题意得出或或或，求解即可，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：①已知，则它的伴随多项式，故①正确； ②已知，则它的伴随多项式， ∴， 解得：或，故②错误； ③二次多项式，则它的伴随多项式是， ∴， 解得：， ∵关于x的方程有正整数解， ∴或或或， 解得：或或或，即a的整数值有4个，故③正确； 故选：C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上） 11. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，如图所示，将4种生活现象写在4张看上去无差别的卡片上，从中随机抽取一张卡片，抽中物理变化的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 用物理变化的张数除以总张数即可． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片共有4种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果， 冰化成水和衣服晾干属于物理变化， 所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为． 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 13. 若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标．先根据原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质得出，，通过得到，利用等边对等角可出，进而得出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之和是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数和一元二次方程解的个数的关系、一元二次方程根的判别式以及分式方程的解，掌握以上知识点是解答本题的关键． 由二次函数与轴有两个不同交点得，进而可得的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合非负整数可得答案． 【详解】解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 即， 解关于的分式方程，可得且， 解为非负整数， ，，为3的倍数， 解得：， 或1或7， 满足条件的所有值的和为：， 故答案为：6． 17. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点．点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，则的半径为________，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积，利用垂径定理得到，连接，利用勾股定理列方程，可求得半径，再利用等边三角形的性质得到的值，阴影部分的面积为，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ，, 如图，连接， ， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得，即半径为， 为等边三角形， , , , , 阴影部分的面积为， 故答案为：；． 18. 任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为________；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有________个． 【答案】 ①. 111 ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．第一空根据“双倍快乐数”的定义解答即可；第二空根据一元二次方程根的判别式得出，，之间的关系，再结合“双倍快乐数”的定义以及能被6整除这一条件来确定满足条件的的个数即可． 【详解】解：∵三位数，满足各个数位上的数字都不为零， ∴十位上数最小只能为1， ∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的的“双倍快乐数”， ∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111； ∵是一个“双倍快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴,即， ∴， ∵,若能被6整除， ∴设， ， 能被6整除，即能被6整除， 能被整除， 既能被2整除又能被3整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， ∴满足条件的有3个， 故答案为：111；3． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题 都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 则， ∴， 解得：． 20. 如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴ ①  ， ∵， ∴ ② ， ∵平分， ∴ ③ ， ∴， 又∵ ④ （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 【答案】作图见解析，，，，． 【解析】 【分析】先作出作出的角平分线，然后通过圆周角定理得，又，则，再由圆周角定理得，再利用弧、弦、圆心角的关系即可求解． 【详解】解：作图如图， 证明：∵四边形为内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 在诺贝尔获奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．某中学从全校随机抽取了部分学生，调查他们对这六位华人科学家的了解程度．调查结果分为四档，A档：非常了解（能详细介绍至少三位科学家的成就）；B档：比较了解（能介绍一到两位科学家的主要成就）；C档：基本了解（仅知道科学家名字）；D档：不太了解（几乎不了解这些科学家）．根据调查情况，绘制了如图所示的扇形统计图和统计表（均不完整）：根据以上信息解答下列问题： 调查结果 人数 频率 A档 20 B档 76 C档 0.45 D档 14 （1）填空：________，________，C档圆心角的度数为________； （2）已知全校共1500名学生，请你估计全校学生在B档的人数； （3）在A档的20名学生中，有4名学生来自初二年级，这4名学生由3名男生和1名女生构成，学校打算从这4名学生中随机抽取2名参加下一轮的深度科普学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）；； （2）570 （3）恰好抽到1名男生与1名女生的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A档的人数和占比求得抽取的人数，再根据题意可求得和的值，用乘的值，可求得C档圆心角的度数； （2）样本估计总体，即可求解； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的人数为人， 则， 人， C档圆心角的度数为， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：估计全校学生在B档的人数人； 【小问3详解】 解：设3名男生分别用A、B、C表示，1名女生用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种， ∴恰好抽到1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．也考查了条形统计图和扇形统计图． 22. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，证明，得出，即可得出直线与相切； （）由（）得：，则，所以，故有，，设，则，，再根据勾股定理求出的值，然后代入求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：由（）得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. “魅力山城，多彩重庆”全市户外运动旅游产品宣传推广活动在重庆仙女山景区启动，现场发布了徒步、滑草、露营、漂流等重庆市户外运动产品主题旅游线路．某民宿有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，民宿还需要对每个房间支出每天元的维护费用，设每间客房的定价提高了元（是的倍数）． （1）填表（无需化简）： 入住的房间数量（间） 房间价格（元） 总维护费用（元） 提价前 提价后 （2）若该民宿希望每天纯收入为元，且能让利于民吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） （3）求该民宿每天纯收入的最大值以及此时每间客房的定价． 【答案】（1），，； （2）每间客房的定价应为元； （3）该民宿每天纯收入的最大值为元，此时每间客房的定价为元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由题意得，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：每间客房的定价提高了元时，房间价格为元，入住的房间数量为间，总维护费用为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵能让利于民吸引更多的游客， ∴， ∴定价为， 答：每间客房的定价应为元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 当时，有最大值元，此时每间客房的定价为（元）， 答：该民宿每天纯收入的最大值为元，此时每间客房的定价为元． 24. 如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出时的取值范围． 【答案】（1），； （2）画图见解析，当时随的增大而增大（答案为不唯一）； （3）当时，． 【解析】 【分析】（）根据题意当时，，当时，，当时，， （）根据画函数图象的方法即可求解； （）通过函数图象即可求解； 本题考查了函数图象的性质，画函数图象，矩形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 当时，，当时，， 当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：列表： 描点： 连线： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）； 【小问3详解】 解：根据图象可知：当时，． 25. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为4，此时 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用抛物线经过的点以及对称轴的信息，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点P的坐标，进而表示出与的长度，得到关于点P横坐标的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （3）分点Q在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时． 【小问3详解】 解：①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得， ∵， ∴ ∵， 同上可求直线得解析式， 联立，解得：或， ∴； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则点E与点Q重合， ∴， 综上所述：或． 26. 在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，是的中点，连接并延长至点，使得，连接、，求证：； （3）如图3，若，，的度数不固定，请直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）作交的延长线于点，连接，易得，再证明四边形是平行四边形可得，，然后证明可得，最后等量代换即可解答； （3）如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，证明可得，推出点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点，当点D在线段上时，取最小值，据此求解即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点， ∴当点D在线段上时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级2024年秋期期末检测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 3. 平面内，半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 4. 据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植千棵树苗时，成活的数量约是（ ） A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵 6. 如图，点，，均上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法不正确是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 把抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到新抛物线 C. 抛物线与轴交于点 D. 抛物线与轴有1个交点 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知（是各项的系数，是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法：①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，则符合条件的的整数值有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上） 11. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，如图所示，将4种生活现象写在4张看上去无差别的卡片上，从中随机抽取一张卡片，抽中物理变化的概率是________． 12. 关于x一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 13. 若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为______． 14. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为________． 16. 若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之和是________． 17. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点．点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，则的半径为________，图中阴影部分的面积为________． 18. 任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为________；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有________个． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题 都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴ ①  ， ∵， ∴ ② ， ∵平分， ∴ ③ ， ∴， 又∵ ④ （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 21. 在诺贝尔获奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．某中学从全校随机抽取了部分学生，调查他们对这六位华人科学家的了解程度．调查结果分为四档，A档：非常了解（能详细介绍至少三位科学家的成就）；B档：比较了解（能介绍一到两位科学家的主要成就）；C档：基本了解（仅知道科学家名字）；D档：不太了解（几乎不了解这些科学家）．根据调查情况，绘制了如图所示的扇形统计图和统计表（均不完整）：根据以上信息解答下列问题： 调查结果 人数 频率 A档 20 B档 76 C档 0.45 D档 14 （1）填空：________，________，C档圆心角的度数为________； （2）已知全校共1500名学生，请你估计全校学生在B档的人数； （3）在A档的20名学生中，有4名学生来自初二年级，这4名学生由3名男生和1名女生构成，学校打算从这4名学生中随机抽取2名参加下一轮的深度科普学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 22. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 23. “魅力山城，多彩重庆”全市户外运动旅游产品宣传推广活动在重庆仙女山景区启动，现场发布了徒步、滑草、露营、漂流等重庆市户外运动产品主题旅游线路．某民宿有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，民宿还需要对每个房间支出每天元的维护费用，设每间客房的定价提高了元（是的倍数）． （1）填表（无需化简）： 入住的房间数量（间） 房间价格（元） 总维护费用（元） 提价前 提价后 （2）若该民宿希望每天纯收入为元，且能让利于民吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） （3）求该民宿每天纯收入的最大值以及此时每间客房的定价． 24. 如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出时的取值范围． 25. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，是的中点，连接并延长至点，使得，连接、，求证：； （3）如图3，若，，的度数不固定，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $