精品解析：福建省龙岩市上杭县某校2024-2025学年高二下学期3月质量检查数学试题

2024～2025学年第二学期3月份质量检查 高二年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 审核：高二数学备课组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ 　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均变化率的意义，直接计算作答. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：C 2. 函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可 【详解】因为， 所以， 故选：D. 3. 若，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】根据导数的公式即可得到结论． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 详解】函数，求导得：，则，而， 因此，即， 所以的图象在处的切线方程为：. 故选：A 5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，所以， 由已知得 ，解得， 所以，所以， 由，解得，所以函数的单调递增区间是. 故选：C． 6. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上,单调递减； 在区间上,单调递增. 所以不是的极值点，是的极大值点. 所以ACD选项错误，B选项正确. 故选：B 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果. 【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以， 由题可知恒成立，即.令， 则，所以在上单调递增，由， 可得，即，所以，所以， 当时，，不符合题意，故的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围. 【详解】因为的几何意义为： 表示点与点连线的斜率， 因为实数，在区间，故在区间内， 不等式恒成立， 所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在内恒成立， 由函数的定义域， 所以在内恒成立， 即在内恒成立， 由于二次函数在上是单调增函数， 故时，在上取最大值为15， 故实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为; （3）若恒成立，可转化为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可作曲线的三条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】对于A，由题知，定义域为，则， 当时，令，得或， 令，得或， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以为极大值点，为极小值点，故A正确； 对于B，当时，当时，；当时，， 且， ， 因为，所以，， 所以，， 所以有三个零点，B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立， 因为， ， 所以，其值不恒为0，C错误； 对于D，设过点的直线与相切的切点为， 则，且切线斜率为， 故切线的方程为，即， 因为切线过，则， 整理得，即， 构造函数与， 对于函数，， 令，得或2， 令，得或，即该函数在和上单调递增， 令，得，即该函数在上单调递减， 时，函数有极小值；时，函数有极大值， 当时，；当时，， 作出函数与的图象，如图，  因为，所以， 所以函数与图象有三个交点， 即方程有三个解， 即过点可作曲线的三条切线，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，然后讨论的单调性，即可判断A，B，C选项；对于D选项，使用基本不等式并结合的最小值即可验证. 【详解】设，则，所以恒为常数. 又由于，故. 所以，即. 对于A，由于，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误； 对于B，前面已经证明在上递增，故B正确； 对于C，前面已经证明，所以，故C正确； 对于D，若，，则， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造合适的新函数，从而求出已知函数的表达式. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可. 【详解】因， 由可得， 故. 故答案为：6. 13. 过点作曲线的切线的斜率为______． 【答案】2 【解析】 分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 14. 若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，同构结合的单调性分析可得，换元令，可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果. 【详解】因为，且， 可得，整理可得， 构建 又因为在内单调递增，可得在内单调递增， 可得，且，整理可得， 令，可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，则内单调递减，则， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 ，则 【小问5详解】 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）极大值是，极小值是 （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可； （2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，求出函数的最值即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， x 1 3 + 0 - 0 + 单调递增 极大值2 单调递减 极小值 单调递增 故的极大值是，极小值是； 【小问2详解】 由（1）知： x 1 2 + 0 - 单调递增 极大值2 单调递减 即函数在区间,上的最大值为2，最小值为. 17. 设函数． （1）求该函数的单调区间； （2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）； （2）m＞2e2． 【解析】 【分析】（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案； （2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2）， 令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2， 令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0， ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）； （2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立， ∴m＞f（x）max， 由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2）， 令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0， ∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2， ∴f（x）max＝2e2， ∴m＞2e2， ∴实数m的取值范围为m＞2e2． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数在闭区间上的最值，,考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题采用了直接求最值的方法，属于中档题． 18 已知函数. （1）当时，求经过点且与曲线相切的切线方程； （2）若存在实数，使得，则称为函数的不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，，利用导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到方程，求出，从而求出切线方程； （2）依题意方程有个不同实数根，令，则函数有个零点，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，结合函数的单调性，得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 当时，，则， 设切点为，，所以切线斜率， 解得，即， 所以切线方程为，即为所求切线方程. 【小问2详解】 由题意得，方程有个不同实数根， 令，则函数有3个零点， ， 当时，，在R上单调递增，所以只有1个零点，不符合题意： 当时，令，得， 则，随着的变化情况如下表， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由函数有3个零点，根据上表可得， 解得， 综上可得，的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点、，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问2详解】 当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. 【小问3详解】 ， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第二学期3月份质量检查 高二年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 审核：高二数学备课组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 函数在区间上平均变化率为（ 　） A. B. C. 2 D. 2. 函数，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若，则等于（ ） A B. 3 C. D. 6 4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 7. 已知函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可作曲线的三条切线 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则_______． 13. 过点作曲线的切线的斜率为______． 14. 若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） （5）． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）求在区间上的最大值与最小值. 17. 设函数． （1）求该函数的单调区间； （2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求经过点且与曲线相切的切线方程； （2）若存在实数，使得，则称为函数不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$