专项18 小学阶段各种几何图形公式推导-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——几何图形公式推导问题 10种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌本章讲义重点是梳理小学阶段各几何图形公式的推导过程，以供需要的学生和老师使用。 【长方形面积公式推导】 如图所示：用摆一摆，数一数的方法样推导出长方形面积公式： 用面积为1平方厘米的小正方形摆一个长方形，先数数每行摆了几个（长摆的小正方形的个数），一共摆了几行（宽摆的小正方形的个数），则小正方形的个数：长摆的个数×宽摆的个数=总个数。 因为每个小正方形的面积为1平方厘米，所以长方形的面积=小正方形的个数×1平方厘米=长×宽。 即：长方形面积=长×宽 因为正方形的的长与宽相等，所以正方形的面积=边长×边长 1.下图是由8个形状大小相同的小长方形构成的。已知AC为36厘米,BO为4厘米。问:小长方形的长和宽分别是多少厘米? 2.一块长方形的铁皮从角上裁去一个正方形,余下的面积是54平方厘米。原长方形的面积是多少平方厘米? 3.如图所示,7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分,图中空白部分的面积是多少平方厘米? 【平行四边形面积公式的推导】 将平行四边形的一角沿高剪开，然后向右平移，得到一个长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积；长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。 1.已知一个平行四边形的面积为36平方分米,它相邻的两条边对应的高分别为6分米和9分米。求这个平行四边形的周长是多少分米。 2.如图,平行四边形形ABCD中,CG=4厘米,BC=6厘米,阴影部分的面积比三角形EFG的面积大3平方厘米。求EG的长。 3.下图的平行四边形ABCD中,三角形ABP的面积为20平方厘米,三角形CDQ的面积为35平方厘米。求阴影部分的面积。 【三角形面积公式的推导】 运用转化思想，把两个相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，平行四边形的面积=底×高，且原来三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，即三角形的面积=底×高÷2。 得出：平行四边形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形面积=底×高÷2 字母表示公式：S△=ah÷2 1.直角三角形ABC中,AB=6厘米,BC=8厘米，AC=10厘米,D是BC上一点,BD=3厘米,求 DE的长。 2.△ABC中,AB是AD的3倍,AC是AE的5倍,那么ABC的面积是ADE面积的多少倍? 3.如图,点C在线段AE上,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,且F是BC的中点,G是DE的中点。若三角形ABC的面积为27,三角形AFG(阴影部分)的面积是多少? 【梯形面积公式推导】 运用转化思想，把两个相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，平行四边形的面积=底×高，且原来梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，即梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。 梯形面积=（上底+下底）×高÷2 字母表示公式：S梯形=（a+b）h÷2 1.在梯形ABCD中,OC=20A,OB=3OD,三角形AOD的面积是10平方厘米。求梯形ABCD 的面积。 2.如下图,在梯形ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点。已知△BCE的面积为6平方厘米,△ABF的面积为4平方厘米,则梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 3.如图,E、F分别是梯形ABCD 的下底BC和腰CD上的点,DF=FC,并且甲、乙、丙三个角形的面积相等。已知梯形ABCD的面积是32平方厘米,图中阴影部分的面积是多少? 【圆面积公式推导】 运用转化思想，把圆分割成若干等分，再拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径；因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=周长一半×半径，用字母表示为S圆=πr×r=πr2。 1.四边形OABC为直角梯形，求下图中阴影的面积(单位:厘米)。 2.求下图中阴影的面积(单位:厘米)。 【 3.如下图,阴影部分的面积为 40平方厘米,求环形面积。 【长方体表面积公式推导】 将长方体的侧面展开，发现长方体有6个面，都是长方形（可能有两个相对的面是正方形）。 前面和后面两个面的面积相等，等于长×高； 上面和下面两个面的面积相等，等于长×宽； 左面和右面两个面的面积相等，等于宽×高。 长方体的表面积等于6个面面积之和，因此得到长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+高×宽×2，或者长方体的表面积=（长×宽+长×高+高×宽）×2。 长方体：棱长和 = 4(a + b + h)，表面积 = 2(ab + ah + bh) 正方体：棱长和 = 12a，表面积 = 6a² 1.如下图,大正方体的棱长为2厘米,两个小正方体的棱长均为1厘米,那么,组合后整个立体图形的表面积为多少平方厘米? 2.一个长方体礼盒长30厘米,宽20厘米,高15厘米(如下图)。这个礼品盒除了底面外,都要贴上包装纸,贴包装纸的面积有多少平方厘米?捆扎礼盒时,结头处的绳长共3分米,捆扎用的绳子总长度是多少米? 3.立体图形中的每个面的中间,有一个截面边长为2厘米的正方形通孔。求这个立体图形的表面积。 【圆柱体表面积公式推导】 运用转化思想，把一个圆柱体的侧面沿高剪，再把侧面展开为一个长方形。其中长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高。 圆柱侧面积公式： 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 S表=S侧+2S底 S表=Ch+2πr2 S表=2πrh+2πr2 S表=2πr（h+r） S表=C（h+r） 1.如图1是一个圆柱,底面半径为6厘米,高为10厘米。将其沿虚线切开,圆柱体被平均分成三个相同的如图2所示的小立方体图形,那么其中一个小立方体图形的表面积是多少平方厘米？(π取3) 2.如图所示,把一个底面直径是6厘米的圆柱,沿底面直径切成若干等份,拼成一个近似的长方体,这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 2.圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少？ 3.如图,在一个棱长为40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间,各有一个直径为6厘米的圆孔孔深15厘米,则这个几何体的表面积是多少平方厘米?(π取3.14) 【长方体体积公式推导】 用摆一摆，数一数的方法样推导出长方体体积公式： 用1立方厘米的小正方体摆一个长方体，先数数一层有几个(长乘以宽)，然后数一共有几层(高)，再用一层的个数乘以层数，得到小正方体的总个数。 因为每个小正方体的体积为1立方厘米，所以长方体的体积为小正方体的个数×1立方厘米。 即：长方体的体积=长×宽×高 字母表示长方体体积公式：V=abh 如图所示： 1.明明做了一个长方体模型,表面积是160平方厘米,这个长方体恰好能够分割成两个完全一样的正方体。那么: (1)其中一个正方体的体积是多少? (2)原来这个长方体的体积是多少? 2.有一个棱长是12厘米的正方体木块,从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 3.有一长方体容器,从里面量长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝前竖起,里面的水深是多少厘米? 【圆柱体体积公式推导】 如图所示，通过切拼法，把圆柱体转化为进死的长方体，拼成的长方体的长等于圆柱的底面积周长的一半（用πr表示），长方体的宽等于圆柱底面的半径（用r表示），长方体的高等于圆柱的高（用h表示）。 因为：长方体体积=长×宽×高 所以：圆柱的体积=底面积×高 V=abh 1.一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶，如下图(接头处忽略不计),这个油桶的容积最大是多少升?(π≈3.14) 2.一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，他的表面积将增加6.28平方厘米；如果沿直径所在的平面截成两半，它的表面积将增加80平方厘米。求圆柱体的体积。 3.如图,一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水。请根据图中瓶子正放和倒放时的数据推知瓶子的容积。(π取3.14)（单位：cm） 【圆锥体体积公式推导】 用一个量杯，和一个与量杯等底等高的圆锥形杯子，把圆锥形杯子装满水，倒入圆柱形量杯中，到了三次，正好倒满。说明等底等高的圆柱体积是圆柱体积的，即V锥=V柱，V锥=Sh=πr2h 1.如图,在一个由圆锥和圆柱组成的高为8cm的玻璃容器中加人一些水,并盖上盖子,水面高6cm,圆锥和圆柱的高相同。当把这个玻璃容器倒过来时,水面有多高? 2.如图,一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水。先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中,铁块全部浸入水中,再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米。圆锥形铁块的高为多少厘米? 3.直角梯形ABCD。∠B=45°，AD=2厘米，CD=4厘米，如果以CD为轴旋转一周得到一个几何体，求几何体的体积。 满分：100分 时间：60分钟 1.如图,正方形中套着一个长方形,正方形边长是30厘米,长方形的四个角的顶点恰好分别把正方形四条边都分成两段,其中长的一段是短的2倍。问:四个三角形的面积之和是多少? 2.长方形ABCD中,AD=15厘米,AB=8厘米,四边形OEFG的面积是9平方厘米,则图中阴影部分面积为多少平方厘米? 3.如下图,BFDM和ADEN都是正方形,已知三角形CDE的面积是6平方厘米,求角形ABC的面积。 4.如下图所示两个相同的直角梯形一部分重叠在一起若梯形下底的长度为 20厘米,重叠后下底剩余部分的长度为5厘米,垂直腰剩余部分的长度为8厘米,则阴影部分的面积为多少平方厘米? 5. 有一块棱长分别是8分米,6分米,4分米的长方体木块,把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。这个圆锥体木块的体积是多少立方分米? 6.一个长、宽、高分别为19厘米、14厘米和10厘米的长方体,现在从它上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再以第二次剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体。剩下的体积是多少? 7. 如图所示,用铁皮做一根空心的管子,需要用铁皮多少平方厘米?(单位:cm) 8.如图所示,一个物体由三个圆柱体组成,它们的底面半径分别为1.5dm、3dm 和5dm,而高都是 2dm,则这个物体的表面积是多少平方分米? 9.如图1所示，求三角形绕 AC 轴旋转一周后形成的立体图形的体积。（单位：cm） 10.如图,在一个长方体蓄水槽里,把一段底面半径是5cm的圆钢全部浸入水中，水面就上升了9cm;把圆钢竖着拉出水面8cm后，水面就下降4cm。求圆钢的体积。(π=3.14) 【巩固提升】参考答案 1.下图是由8个形状大小相同的小长方形构成的。已知AC为36厘米,BO为4厘米。问:小长方形的长和宽分别是多少厘米? 【答案】20厘米,4厘米 【解析】AC的长度等于小长方形的长与4条宽的和，OB为长与4条宽的差。运用和差法求出小长方形的长和4条宽的和。 【详解】长：（36+4）÷2=20（厘米） 4条宽的和：（36-4）÷2=16（厘米） 宽：16÷4=4（厘米） 2.一块长方形的铁皮从角上裁去一个正方形,余下的面积是54平方厘米。原长方形的面积是多少平方厘米? 【答案】90平方厘米 【解析】运用割补法，把余下的面积转化为一个长方形，长方形的宽为正方形的边长，长为6+3=9（厘米）。先求出小正方形的边长（宽）：54÷（3+6）=6（厘米），在求出原来长方形面积为：54+6×6=90（平方厘米） 【详解】小正方形的边长：54÷（3+6）=6（厘米） 小正方形面积：6×6=36（平方厘米） 原来长方形面积：54+36=90（平方厘米） 3.如图所示,7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分,图中空白部分的面积是多少平方厘米? 【答案】32平方厘米 【解析】从左上角的5个小长方形得出：小长方形的长等于小长方形的4条宽的长度之和；24厘米的长度相当于小长方形的1条长加上2条宽的长度。 【详解】小长方形宽：24÷（4+2）=4（厘米） 空白部分面积：4×4×2=32（平方厘米） 1.已知一个平行四边形的面积为36平方分米,它相邻的两条边对应的高分别为6分米和9分米。求这个平行四边形的周长是多少分米。 【答案】20厘米 【解析】运用平行四边形的面积逆推公式：底=面积÷高，分别求出平行四边形的相邻的两条边的长度，再把这两边的长度相加后乘2求出周长即可. 【详解】周长：（36÷6+36÷9）×2=20（厘米） 2.如图,平行四边形形ABCD中,CG=4厘米,BC=6厘米,阴影部分的面积比三角形EFG的面积大3平方厘米。求EG的长。 【答案】3厘米 【解析】运用差不变的性质，把阴影部分和△EFG的面积各加上梯形BCGF的面积，把已知条件“阴影部分的面积比三角形EFG的面积大3平方厘米”转化为“平行四边形ABCD的面积比三角形EBC的面积大3平方厘米”。转化后先求出平行四边形ABCD的面积，再减去3平方厘米得出△EBC的面积，通过公式：三角形的高EC=△EBC的面积×2÷BC求出高的长度，最后用EC的长度减去GC即可求出EG的长度。 【详解】三角形EBC的高EC长度：（4×6-3）×2÷6=7（厘米） EG的长度：7-4=（厘米） 3.下图的平行四边形ABCD中,三角形ABP的面积为20平方厘米,三角形CDQ的面积为35平方厘米。求阴影部分的面积。 【答案】55平方厘米 【解析】连接EF，把阴影部分划分为2个三角形，根据蝴蝶模型可知：△ABP的面积等于△EFP的面积，△DQC的面积等于△EFQ的面积，所以阴影部分的面积为20+35=55（平方厘米） 【详解】20+35=55（平方厘米） 1.直角三角形ABC中,AB=6厘米,BC=8厘米，AC=10厘米,D是BC上一点,BD=3厘米,求 DE的长。 【答案】3厘米 【解析】要求出DE长度，比先求出△ADC的面积，运用面积逆推公式：DE=△ADC面积×2÷AC可得。△ADC的面积为大△ABC的面积-△ABD的面积。 【详解】△ABC的面积：6×8÷2=24（平方厘米） △ABD面积：3×6÷2=9（平方厘米） △ADC面积：24-9=15（平方厘米） DE长度：15×2÷10=3（厘米） 2.△ABC中,AB是AD的3倍,AC是AE的5倍,那么ABC的面积是ADE面积的多少倍? 【答案】15 【解析】构造等高模型是解题关键点。连接 CD，从图上可知△AED与△DEC为等高模型，面积之比为AE与EC长度之比；同理△ADC的面积与△DBC的面积之比为AD与DB的长度之比。分别求出△ADE和△ABC面积的份数即可。 【详解】S△ADE：S△DEC=AE:EC=1：（5-1）=1:4 S△ADC：S△BDC=AD:DB=1：（3-1）=1:2 所以S△ABC：S△ADE=[（1+4）×（1+2）]：1=15:1 3.如图,点C在线段AE上,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,且F是BC的中点,G是DE的中点。若三角形ABC的面积为27,三角形AFG(阴影部分)的面积是多少? 【答案】13.5 【解析】连接CG构造梯形AEGC，通过等底等高模型可知：△AFG面积等于△AFC面积，即△ABC面积的一半，27÷2=13.5 【详解】27÷2=13.5 1.在梯形ABCD中,OC=20A,OB=3OD,三角形AOD的面积是10平方厘米。求梯形ABCD 的面积。 【答案】90平方厘米 【解析】可以运用等高模型及比的知识点求解。把AC进行三等分，先求出△ABO的面积即可。在△ABD中，根据等高模型得出△ABO与△ADO的面积之比为OB:OD=2:1，求出△ABO的面积为10×2=20（平方厘米）。则梯形面积为：20×3+10×3=90（平方厘米） 【详解】如图所示，S△ABO：S△ADO=OB:OD=2:1， 则S△ABO=10×3=20（平方厘米） 梯形ABCD面积：20×3+10×3=90（平方厘米） 2.如下图,在梯形ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点。已知△BCE的面积为6平方厘米,△ABF的面积为4平方厘米,则梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 【答案】20平方厘米 【解析】 如图，连接AC和FC，因为E、F分别为AB、AD的中点，根据等底等高模型可知，S△BEC=S△AEC，S△AFC=S△DFC；所以S△AEC+S△AFC=S△BFC+S△DFC=梯形面积一半。 所以梯形面积为（4+6）×2=20（平方厘米） 【详解】（4+6）×2=20（平方厘米） 3.如图,E、F分别是梯形ABCD 的下底BC和腰CD上的点,DF=FC,并且甲、乙、丙三个角形的面积相等。已知梯形ABCD的面积是32平方厘米,图中阴影部分的面积是多少? 【答案】12.8平方厘米 【解析】因为DF=FC，且乙的面积等于丙的面积，所以丙和乙未等底等高的三角形，所以四边形AECD为平行四边形。则阴影部分面积=乙+丙的面积。阴影部分面积为32÷5×2=12.8（平方厘米） 1.四边形OABC为直角梯形，求下图中阴影的面积(单位:厘米)。 【答案】15.44平方厘米 【解析】阴影部分面积=梯形OABC面积-扇形OAC面积 【详解】（4+10）×4÷2-π×42÷4=28-12.56=15.44（平方厘米） 2.求下图中阴影的面积(单位:厘米)。 【答案】29.38平方厘米 【解析】图中由3个基本图形组成，分别为1大1小90°扇形和一个长方形。两个扇形面积之和出现了重叠部分面积，则则阴影部分面积为两个扇形的面积之和减去重叠部分面积和白色部分面积，即减去一个长方形的面积。 【详解】阴影部分面积=两个扇形的面积之和-长方形面积。 π×42÷2+π×62÷4-4×6 =17π-24 =29.38（平方厘米） 3.如下图,阴影部分的面积为 40平方厘米,求环形面积。 【答案】125.6平方厘米 【解析】因为阴影部分面积相当于两个长方形的面积之差；两个长方形的边长相当于大小圆的半径，所以有等式：R2-r2=40平方厘米。 【详解】因为R2-r2=40（平方厘米） 且圆环面积=π（R2-r2）=3.14×40=125.6（平方厘米） 1.如下图,大正方体的棱长为2厘米,两个小正方体的棱长均为1厘米,那么,组合后整个立体图形的表面积为多少平方厘米? 【答案】32平方厘米 【解析】因为三个正方体如图所示可知，图形的表面积为三个正方体的表面积之和减去粘贴的4个小正方形的面积。 12×6×2+22×6-11×4 =12+24-4 =32（平方厘米） 2.一个长方体礼盒长30厘米,宽20厘米,高15厘米(如下图)。这个礼品盒除了底面外,都要贴上包装纸,贴包装纸的面积有多少平方厘米?捆扎礼盒时,结头处的绳长共3分米,捆扎用的绳子总长度是多少米? 【答案】160厘米 【解析】绳子的总长度为2长+2宽+4高+结长 【详解】（30+20）×2+15×4 =100+60 =160（厘米） 3.立体图形中的每个面的中间,有一个截面边长为2厘米的正方形通孔。求这个立体图形的表面积。 【答案】288平方厘米 【解析】本题考查挖掉后的表面积。其中减少部分的面为6个小正方形，增加部分为4×6=24个小正方形面积。 【详解】62×6+22×4×6-22×6 =216+96-24 =288（平方厘米） 1.如图1是一个圆柱,底面半径为6厘米,高为10厘米。将其沿虚线切开,圆柱体被平均分成三个相同的如图2所示的小立方体图形,那么其中一个小立方体图形的表面积是多少平方厘米？(π取3) 【答案】320.96平方厘米 【解析】一个小立方体的表面积由五部分组成，由2个长方形，2个120°的扇形，和圆柱体侧面积的组成。 【详解】 6×10×2+3.14×62××2+3.14×6×2×10÷3 =120+3.14×24+3.14×40 =320.96（平方厘米） 2.如图所示,把一个底面直径是6厘米的圆柱,沿底面直径切成若干等份,拼成一个近似的长方体,这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【解析】题是通过剪拼法，把圆柱体转化为长方体，利用长方体的体积公式推导圆柱体的体积公式。转化后的长方体体积不变，表面积增加了左右2个侧面积。 圆柱体高=60÷2÷6=5（厘米） 圆柱体体积=3.14×（6÷2）2×5=141.3（立方厘米） 2.圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少？ 【解析】此题关键是要先求出圆柱体的高，再利用圆柱体的体积公式进行计算即可。 圆柱体的高=侧面积÷底面周长=100÷（3.14×3×2）=（厘米） 圆柱体的体积=3.14×32×=150（立方厘米） 3.如图,在一个棱长为40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间,各有一个直径为6厘米的圆孔孔深15厘米,则这个几何体的表面积是多少平方厘米?(π取3.14) 【答案】6847.8平方厘米。 【解析】表面积增加了2个小圆柱体的侧面积；体积用正方体体积减去2个小圆柱体的体积。 表面积：40×40×6+3.14×6×15×2 =9600+565.2 =10165.2（平方厘米） 体积：40×40×40-3.14×（6÷2）2×15×2 =64000+847.8 =6847.8（立方厘米） 1.明明做了一个长方体模型,表面积是160平方厘米,这个长方体恰好能够分割成两个完全一样的正方体。那么: (1)其中一个正方体的体积是多少? (2)原来这个长方体的体积是多少? 【答案】64立方厘米，128立方厘米 【解析】因为一个长方体被分割为两个完全一样的正方体，所以其表面积为10个小正方形的面积组成。即每个小正方形面积为160÷10=16=4×4，则小正方形的边长为4厘米。则其中一个小正方体的体积为4×4×4=64（立方厘米）;原来长方体的体积为64×2=128（立方厘米） 【详解】160÷10=42 4×4×4=64（立方厘米） 64×2=128（立方厘米） 2.有一个棱长是12厘米的正方体木块,从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 【答案】1280立方厘米 【解析】木块现在体积为原来正方体的体积-3个长方体的体积+2个重叠小正方体的体积。 【详解】12×12×12-4×12×4×3+4×4×4×2 =1728-576+128 =1280（立方厘米） 3.有一长方体容器,从里面量长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝前竖起,里面的水深是多少厘米? 【答案】18厘米 【解析】体积不变，底面积变小，高就会上升 【详解】水高=水的体积÷水的底面积=30×20×6÷（20×10）=18（厘米） 1.一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶，如下图(接头处忽略不计),这个油桶的容积最大是多少升?(π≈3.14) 【答案】100.48升 【解析】本题关键是考虑侧面，是以侧面的长或宽为底面周长。通过分析，侧面的宽相当于直径的2倍，不能做圆柱的底面周长，所以只能以侧面的长做底面周长。16.56厘米相当于底面周长加上一条直径。 【详解】 r=16.56÷（3.14+1）÷2=2（分米） h=2×4=8（分米） 油桶容积最大为：3.14×22×8=100.48（立方分米）=100.48升 2.一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，他的表面积将增加6.28平方厘米；如果沿直径所在的平面截成两半，它的表面积将增加80平方厘米。求圆柱体的体积。 【答案】62.8立方厘米 【解析】截成两个圆柱体，表面积增加了2个圆；截成相等的两半，表面积增加了2个长方形。 底面半径平方=6.28÷2÷3.14=1=12 半径=1厘米 高=80÷2÷（1×2）=20（厘米） 圆柱体体积=6.28÷2×20=62.8（立方厘米） 3.如图,一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水。请根据图中瓶子正放和倒放时的数据推知瓶子的容积。(π取3.14)（单位：cm） 【答案】100.48立方厘米 【解析】倒置后无水部分为一个圆柱体，其高度为10-8=2（厘米） 因为左右无水部分的容积相等，所以可以把容器转化为你一个圆柱体，其高为6+2=8（厘米） 瓶子容积：3.14×（4÷2）2×8=100.48（立方厘米） 1.如图,在一个由圆锥和圆柱组成的高为8cm的玻璃容器中加人一些水,并盖上盖子,水面高6cm,圆锥和圆柱的高相同。当把这个玻璃容器倒过来时,水面有多高? 【答案】3厘米 【解析】等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 8÷2÷3+（8-6）=3（厘米） 2.如图,一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水。先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中,铁块全部浸入水中,再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米。圆锥形铁块的高为多少厘米? 【答案】15厘米 【解析】圆柱形容器水面下降部分形成的圆柱体积等于圆锥形铁块的体积。 【详解】 圆锥的体积: π×(10÷2)2×3.2=80π(立方厘米) 圆锥形铁块的底面积:π×(8÷2)2=16π(平方厘米) 圆锥形铁块的高:80π×3-16π=15(厘米) 答:圆锥形铁块的高为15 厘米 3.直角梯形ABCD。∠B=45°，AD=2厘米，CD=4厘米，如果以CD为轴旋转一周得到一个几何体，求几何体的体积。 【答案】69π立方厘米 【解析】旋转后的图形如下图1，得到一个圆台，圆台的体积为圆锥体积减去一个小圆锥体积（如图2） ×π×62×6-×π×22×2 =72π-π =69π（立方厘米） 满分：100分 时间：60分钟 【经典测试】参考答案 1.如图,正方形中套着一个长方形,正方形边长是30厘米,长方形的四个角的顶点恰好分别把正方形四条边都分成两段,其中长的一段是短的2倍。问:四个三角形的面积之和是多少? 【答案】500平方厘米 【解析】按如图划分，把原来大正方形分成了18个同样大小的直角三角形，四个三角形的面积之和为18-8=10个小直角三角形的面积。 【详解】大正方形面积=30×30=900（平方厘米） 三个三角形的面积之和为900÷18×10=500（平方厘米） 2.长方形ABCD中,AD=15厘米,AB=8厘米,四边形OEFG的面积是9平方厘米,则图中阴影部分面积为多少平方厘米? 【答案】69平方厘米 【解析】在梯形ABFD中，根据蝴蝶模型得到：S△ABE=S△DEF，所以把原来阴影部分面积转化为了多边形AOEFGCD的面积，即等于S△ADC+S四边形OEFG。 【详解】15×8÷2+9=69（平方厘米） 3.如下图,BFDM和ADEN都是正方形,已知三角形CDE的面积是6平方厘米,求角形ABC的面积。 【答案】6 【解析】连接BD和AE，构造梯形ABDE，在梯形ABDE中，根据蝴蝶模型得到：S△ABC=S△DFE=6平方厘米 4.如下图所示两个相同的直角梯形一部分重叠在一起若梯形下底的长度为 20厘米,重叠后下底剩余部分的长度为5厘米,垂直腰剩余部分的长度为8厘米,则阴影部分的面积为多少平方厘米? 【答案】140平方厘米 【解析】因为两个梯形完全一样，则阴影部分面积等于下面梯形的面积。 【详解】阴影部分面积：（20-5+20）×8÷2=140（平方厘米） 5. 有一块棱长分别是8分米,6分米,4分米的长方体木块,把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。这个圆锥体木块的体积是多少立方分米? 【答案】113.04立方分米 【解析】分三类讨论。 情况一：以8分米为圆锥高，则圆锥底面积为π×（4÷2）2=4π 情况二：以6分米为圆锥高，则圆锥底面积为π×（4÷2）2=4π 情况三：以4分米为圆锥高，则圆锥底面积为π×（6÷2）2=9π 体积最大的是情况三：9π×4=36π=113.04（立方分米） 6.一个长、宽、高分别为19厘米、14厘米和10厘米的长方体,现在从它上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再以第二次剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体。剩下的体积是多少? 【答案】1596立方厘米 【解析】第一次切下的正方体的棱长为10厘米，则余下的部分如图所示。 19-10=9（厘米）、14-10=4（厘米）、10厘米 第二次切下的正方体的路程为4厘米。 则剩下部分的体积：19×14×10-103-43 =2660-1000-64 =1660-64 =1596（立方厘米） 7. 如图所示,用铁皮做一根空心的管子,需要用铁皮多少平方厘米?(单位:cm) 【答案】125.6平方厘米 【解析】可以采用转化思想，再增加一个同样管子可以拼成一个规则的圆柱体，这个圆柱体的高为8+12=20（厘米），底面直径不变。 圆柱侧面积=底面周长×高=3.14×4×20=251.2（平方厘米） 所以这根钢管的材料面积为251.2÷2=125.6（平方厘米） 8. 如图所示,一个物体由三个圆柱体组成,它们的底面半径分别为1.5dm、3dm 和5dm,而高都是 2dm,则这个物体的表面积是多少平方分米? 【答案】216.66平方分米 【解析】考查组合体的表面积计算方法。可以采用三视图法，从上观察看到了一个大圆，相对的底面也是同样大的圆，侧面是三个圆柱的侧面积之和。 2个大圆面积+三个圆柱侧面积 π×52×2+2π×（1.5+3+5）×2=69π=216.66（平方分米） 9.如图1所示，求三角形绕 AC 轴旋转一周后形成的立体图形的体积。（单位：cm） 【答案】301.44立方厘米 【解析】考查平面图形绕轴旋转后得到的几何体的体积。以AC为轴，则AC为旋转后得到的圆锥体的高，BC为圆锥体的底面半径。 圆锥体积=×底面积×高=×π×62×8=301.44（立方厘米） 10. 如图,在一个长方体蓄水槽里,把一段底面半径是5cm的圆钢全部浸入水中，水面就上升了9cm;把圆钢竖着拉出水面8cm后，水面就下降4cm。求圆钢的体积。(π=3.14) 【答案】1413立方厘米 【解析】要求出圆钢体积，必须先求出长方体的底面积。关键是抓住圆柱体露出8厘米，水面就下降4厘米；表示8厘米圆柱体积等于高度4厘米水的体积。先求出8厘米圆柱体积，再除以4厘米，即得出长方体的底面积。再用水的底面积乘以9厘米，即得出圆柱体体积。 【详解】 π×52×8÷4×9=1413（立方厘米） 18 学科网（北京）股份有限公司 $$