精品解析：甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

兰州一中2024-2025-2学期开学考试试题 高一数学 命题人：许彬审题人：孙建国 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 3. 已知，，（其中为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A. B. C. D. 5. 的值是( ) A. B. C. D. 6. 若函数的大致图像是 A. B. C. D. 7. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的周期为2，则． B. 若，则． C. “”是“”的充分不必要条件． D. 若，则角是第二象限角． 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，函数（且），若函数在区间上恰有8个零点，则实数可能的取值为（ ） A. 2 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________. 13. 已知是定义在上的奇函数，若，则______． 14. 已知，则_____；_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数为上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围. 17. 已知函数 （1）求函数的单调增区间； （2）将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域. 18. 茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 19. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2024-2025-2学期开学考试试题 高一数学 命题人：许彬审题人：孙建国 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【详解】解：由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 3. 已知，，（其中为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】因为，所以； 因为，； 因为，. ∴， 故选：D. 4. 函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用零点存在定理，计算求解即可 【详解】根据条件，，，，可得， ，所以，函数的零点所在的大致区间是 故选：B 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题 5. 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，即可求得结果. 【详解】 故选:B. 6. 若函数的大致图像是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案． 【详解】， 在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0， 只有符合， 故答案为 【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于基础题． 7. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可. 【详解】由，得， 即函数的单调递减区间为， 令，则函数其中一个的单调递减区间为： 函数在区间内单调递减， 则满足，得，所以的取值范围是. 故选：D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质逐一判断即可. 【详解】是偶函数，当时，，在区间上单调递减，满足题意； 是偶函数，且在区间上单调递减，满足题意； 是偶函数，当时，，在区间上单调递减，满足题意； 是偶函数，但在区间上不单调递减，不满足题意； 故选：ABC 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的周期为2，则． B. 若，则． C. “”是“”的充分不必要条件． D. 若，则角是第二象限角． 【答案】AC 【解析】 【分析】由正切函数的周期判断A选项，由指对运算判断B选项，由充分必要条件判断C选项，由象限角的的正负判断D选项. 【详解】A选项，∵正切函数的周期为，∴函数的周期，∴，A选项正确； B选项，，∴，B选项错误； C选项，当时，；当时，，∴“”是“”的充分不必要条件，C选项正确； D选项，，则属于二四象限，，则属于四象限，∴属于第四象限，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，函数（且），若函数在区间上恰有8个零点，则实数可能的取值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，用不等式解法求解即可. 【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点. 由可知，函数在上周期为；作出函数与函数在区间上的图像如下： 由图像可知，当时，图像有5个交点，故在上应有3个交点，则; 故，解得； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的奇函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质计算可求得的值. 【详解】因为，，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知，则_____；_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及弦化切求解即可. 【详解】由，解得， 所以 由，可得， 所以，解得， 所以， 故答案为：； 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集运算结果可得其包含关系，结合二次函数的性质，可得答案； （2）由集合交集的运算结果，将问题转化为不等式恒成立，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意，可得 令，根据根的分布可得 解得 【小问2详解】 由，可得， 即对恒成立， 即，，当且仅当时等号成立， 所以 16. 已知函数为上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性和题设条件求出的值，再由奇偶性求出时的函数解析式； （2）根据（1）求得的函数解析式，判断函数在上的单调性和对称性，得到与等价的不等式组解之即得. 【小问1详解】 因为函数为上的偶函数，且当时，， 因，即，解得， 所以当时，. 当时，则，，则. 故有. 【小问2详解】 由（1）已得： 可得在上单调递减，在上单调递增. 又，所以 由① 得：；由② 得：；由③ 得：. 故的取值范围是. 17. 已知函数 （1）求函数的单调增区间； （2）将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性列出不等式，解出即可； （2）首先求出，利用整体换元法得到，则得到其值域. 【小问1详解】 令， 由的单调性可知，当时， 即时此函数单调递增. 所以函数的单调增区间为. 【小问2详解】 由题可得：， 时，有，所以的值域为. 18. 茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】（1）选模型②，且 （2） （3）约为10℃ 【解析】 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温. 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. 【小问2详解】 令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. 【小问3详解】 由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 19. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）0和4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数不动点定义求解即可； （2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可； （3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可； 【小问1详解】 函数的不动点即为的实数根， 当时，问题转化为方程的实数根，解得或， 所以函数的不动点为0和4； 【小问2详解】 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，且， 设， 令，解得， 所以实数b的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，2为方程即的两根， 则，解得， 从而， 因为对任意，总存在，使得成立，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则，解得， 故m的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $