精品解析：重庆育才中学教育集团2025年九年级下学期第一次自主作业数学试题(模拟二)

重庆育才中学教育集团2025届初三（下）第一次自主作业 数学试题（模拟二） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 5. 下列运用等式性质变形错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 7. 如图，用同样大小棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第9个图中的棋子数是（ ） A 27 B. 30 C. 35 D. 38 8. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对，，，进行“运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（       ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是______． 13. 如图，在中，将绕点旋转至，连接并延长至点，使得，连接，若，，，则_________． 14. 如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 15. 如图，为的直径，弦于点，点在圆上，且，，，交于点，则弦的长为 ____________________，的长为 ____________________． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息． 七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100； 八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93 七、八年级抽取的学生的测试评分统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 93 41.7 八年级 92 87 50.2 （1）根据以上信息，可以求出：______，______； （2）根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？ 19. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． （1）作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 20. 某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？ （2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 21. 如图1，在中，，，，，若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图像，并写出函数的一条性质； （3）若函数如图2，结合函数图像，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 22. 告别传统课堂，迎接户外探索．某幼儿园为了让孩子们在探索、发现中学习，每两周举行一次户外研学活动．本周孩子们去了彩云湖湿地公园，先从幼儿园处沿北偏东方向步行米至公交站处，乘公交车沿正东方向行走米到达彩云湖湿地公园正大门处，孩子们有序下车，从处沿南偏东方向徒步米至景点处．东大门位于景点的正南方向上，也位于幼儿园的正东方向上．（参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到米） （2）午餐时间，食堂李师傅需要将准备好的午餐运送到景点处，孩子们吃完午餐返回幼儿园午休．已知李师傅从幼儿园出发，有两条线路可供选择，线路①：先驾车从至正大门，再从步行至；线路②：先驾车从至东大门，再从步行至．已知李师傅驾车速度是米/分钟，步行速度是米/分钟，上下车时间不计．请问李师傅选择哪条线路能更快将午餐送达？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 24. 如图，在中，，为的角平分线． （1）如图1，若，求出的度数； （2）如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团2025届初三（下）第一次自主作业 数学试题（模拟二） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 3. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】解：设投影的面积为cm，，cm， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方． 4. 正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形与正方形的性质，熟练掌握性质能对其进行分析是解题的关键．根据正方形和矩形的性质，即可求解． 【详解】解：A、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故A符合题意； B、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故B不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意； D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意； 故选：A． 5. 下列运用等式的性质变形错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，当时，根据等式的性质，有；当时，与2可以不相等；故错误，符合题意； 、若，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、若，因为，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、若，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 故选：． 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故选：B. 7. 如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第9个图中的棋子数是（ ） A. 27 B. 30 C. 35 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，观察题图，发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多，第个图中棋子的枚数为，即可判断第个图中的棋子数．结合图形得出规律是解题的关键． 【详解】解：观察题图， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， …… 发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多， ∴第个图中的棋子数为：， ∴第个图中的棋子数是：． 故选：B． 8. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图连接，，，，．证明，推出，推出点在菱形对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图连接，，，，． 四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， 点在菱形的对角线上， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 9. 如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对，，，进行“运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． ①根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①由题意，，可得或，故①错误； ②由题意， ∴，故②错误； ③对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ，，的“运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种， 故③错误； ∴①②③都错误，正确的没有． 故选：A． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂，掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键． 12. 十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得随机选取两名同学的所有可能的结果，再找出选中一男一女的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学的所有等可能的结果共有12种，其中，选中一男一女的结果共有8种， 则选中一男一女的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 13. 如图，在中，将绕点旋转至，连接并延长至点，使得，连接，若，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，由中点定义得，由平行线性质得，利用旋转性质得，从而进而证明（），即可得解。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点旋转至， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴， 故答案为： 14. 如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解两个不等式，再根据不等式组有解且至多有4个整数解得到，再解分式方程确定的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于的不等式组至多有4个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，为的直径，弦于点，点在圆上，且，，，交于点，则弦的长为 ____________________，的长为 ____________________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，将相似和圆知识联系起来．连接，，先求出，连接并延长交于点，证明，可得，可求出和的长，求出和长，证明，可得，可求出长，得到，利用勾股定理求出，证明，得到，即可求出． 【详解】解：连接，，，连接并延长交于点， 弦于点，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得；， 故答案为：，． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【答案】 ①. 7807 ②. 9507 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、单项式乘以多项式及分式混合运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得答案； （2）括号内先通分计算分式减法，再利用分式除法法则计算即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息． 七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100； 八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93 七、八年级抽取的学生的测试评分统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 93 41.7 八年级 92 87 50.2 （1）根据以上信息，可以求出：______，______； （2）根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？ 【答案】（1）100；91 （2）七，七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好 （3）共有1308人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据中位数和众数的概念求出、； （2）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答； （3）用样本估计总体，得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级测试评分为100的出现次数2，出现次数最多， ∴； 八年级饮食营养质量评分位于第8位的是91， ∴； 故答案为：100；91； 小问2详解】 七年级的学生的测试评分较好，理由如下： 七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好； 【小问3详解】 两个年级学生评分为优秀的学生共有人． 19. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． （1）作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 【答案】（1）图见解析 （2）①；②；③；④；⑤互相垂直 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）根据画角平分线的方法即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； ． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 平行四边形的任意一组邻角的平分线：相互垂直， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即平行四边形的任意一组邻角的平分线相互垂直． 故答案为：①；②；③；④；⑤互相垂直． 20. 某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？ （2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【答案】（1）甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米 （2）共需修建费用149000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米，列式代入数值进行计算，注意验根； （2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米 依题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解 ∴（米） ∴甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米； 【小问2详解】 解：设甲施工队单独修建天， 依题意，得 解得 ∴甲施工队单独修建5天 则（元） ∴共需修建费用149000元． 21. 如图1，在中，，，，，若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图像，并写出函数的一条性质； （3）若函数如图2，结合函数图像，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）见详解，当时，随着x的增大而增大；当时，随着的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当点在线段上时，可有，由三角形面积公式可得，此阶段；当点在线段上时，过点作于点，则有，证明，由相似三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，此阶段．即可获得答案； （2）结合（1）所得关于的函数关系式，画出函数图像；结合图像，写出函数的一条性质即可； （3）当时，联立函数解析式与函数解析式，可求得点的横坐标为1.0；当时，联立函数解析式与函数解析式，可解得点的横坐标为7.8．结合图像即可求得当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， 当点在线段上时，如下图， 此时， ∴， 此阶段； 当点线段上时，如下图，过点作于点， 则有， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 此阶段． 综上所述，； 【小问2详解】 结合（1）所得关于的函数关系式，画出函数图像如下图所示， 结合图像，可知随着x的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 当时，联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， 解得或（舍去）， 即点的横坐标为1.0， 当时，联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， 解得或（舍去）， 即点的横坐标为7.8， 结合图像可知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、一次函数应用、绘制一次函数图像、反比例函数与一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 22. 告别传统课堂，迎接户外探索．某幼儿园为了让孩子们在探索、发现中学习，每两周举行一次户外研学活动．本周孩子们去了彩云湖湿地公园，先从幼儿园处沿北偏东方向步行米至公交站处，乘公交车沿正东方向行走米到达彩云湖湿地公园正大门处，孩子们有序下车，从处沿南偏东方向徒步米至景点处．东大门位于景点的正南方向上，也位于幼儿园的正东方向上．（参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到米） （2）午餐时间，食堂李师傅需要将准备好的午餐运送到景点处，孩子们吃完午餐返回幼儿园午休．已知李师傅从幼儿园出发，有两条线路可供选择，线路①：先驾车从至正大门，再从步行至；线路②：先驾车从至东大门，再从步行至．已知李师傅驾车速度是米/分钟，步行速度是米/分钟，上下车时间不计．请问李师傅选择哪条线路能更快将午餐送达？ 【答案】（1）的长度为米 （2）李师傅选择线路②能更快将午餐送达 【解析】 【分析】本题主要考查方位角与解直角三角形的综合，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． （1）根据含角，角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据行程问题，分别算出线路所用时间，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下，过点作，过点作于点，延长至点，过点作于点，，过点作于点， ∴点共线，点共线，，，，，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴的长度为米； 【小问2详解】 解：已知，，，，驾车速度是米/分钟，步行速度是米/分钟， ∴线路①：的时间为：（分钟）， 线路②：的时间为：（分钟）， ∴李师傅选择线路②能更快将午餐送达． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）点N的坐标有或 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点P作y轴的平行线交于点E，证明得，设，则，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，由二次函数的图象的平移得，由经过点得 ，过点作轴交于，过点作直线交轴于，由勾股定理逆定理得是直角三角形，可得， ①当在射线的下方时，联立直线的解析式及的解析式，即可求解；②当在射线的上方时，由等腰三角形的性质得，由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，从而求出，的长，可求出直线的解析式，联立直线的解析式及及的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：令得， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则， ∴， ， ，， ，， ， 如图过点P作y轴的平行线交于点E， ∵， ∴， ， ， ∴ 设， 则， ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为， 作点B关于对称轴的对称点， ∴， ∴当P，Q，共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， 且， 设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位， 则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位， ， 新抛物线经过点B， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ， 如图， 过点作轴交于，过点作直线交轴于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ①当在射线的下方时，如图， 当轴时， ， ， ， 联立， 解得：，， ， ， 解得：，， ； ②当在射线的上方时，如图， 直线交轴于， 由①得， ， 设直线解析式为，则有 ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是此方程的根； ， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题中的线段最值及角度问题，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能找出求线段和最小值的条件，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 24. 如图，在中，，为的角平分线． （1）如图1，若，求出的度数； （2）如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 【答案】（1） （2）；见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，证明，得出，由已知得出，进而得出，即可求解； （2）连接交于点，证明，然后证明，得出，等量代换得出，证明，得出，即可得出； （3）勾股定理得出，最大时即取得最小值时，当时，最小，如图所示，设与交于点，依题意，，且，则，，当最大时，即与重合时，取得最大值，此时，进而根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，在上截取， ∵为的角平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵将线段绕点顺时针旋转得线段，， ∴，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵最大时即取得最小值时， 当时，最小，如图所示，设与交于点， 依题意，，且， 则，， ∴的面积最大时，为边上的高取得最大值， ∴当最大时，即与重合时，取的最大值， 此时， ∴的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 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