精品解析：上海市徐汇、杨浦、闵行、虹口、普陀、长宁、青浦七区 2024—2025学年上学期九年级期末学业质量监测 数学 模拟试卷(A卷)

徐汇、杨浦、闵行、虹口、普陀、长宁、青浦七区2024学年度第一学期初三期末学业质量监测数学学科 模拟试卷（A卷） 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 二次函数中m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 2. 已知在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦，勾股定理是解题关键．由题意知，，求出的值，然后由勾股定理求线段长即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ 解得，， 由勾股定理得，， 故选：C． 3. 已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据与的相似比为，即，再结合与的相似比为，所以，即，即可作答． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴， ∵与的相似比为， ∴， 即， ∵， ∴与的相似比为， 故选：B． 4. 已知非零向量、、互不相等，则下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若，则；②若，，则；③若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了向量平行的判定，向量的线性运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量的线性运算分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 若，，则，正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有3个， 故选：D． 5. 已知锐角A的正切值为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的知识，先根据锐角A的正切值为估算出锐角A的范围，然后逐项分析即可．由特殊角的三角函数值可判断C和D，设锐角A的对边为，邻边为2，根据正余弦的定义可判断A和B． 【详解】解：∵， ∴，故D正确，C错误； 设锐角A的对边为，邻边为2a，则斜边为， ∴，故A不正确； 故B不正确． 故选D． 6. 定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（ ）正确． A. 两个都 B. 仅原命题 C. 仅原命题的逆命题 D. 没有一个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，根据“内拐三角形”的定义分别画出图形，再判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：如图1情况，若、相似，的“内拐三角形”为、的“内拐三角形”为， 则，， ∴， 又∵， ∴； 如图3情况，也可同理得出此结论． 即：原命题为真命题． 逆命题：若两三角形的内拐三角形相似，则它们相似； 如图2，在直线上取一点，将沿翻折后与直线交于点， 此时、的内拐三角形都是，但、不相似， 因此逆命题为假命题． 综上所述，原命题为真命题，逆命题为假命题，即仅原命题正确． 故选：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知，那么____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据，设，代入求值即可． 【详解】解：∵， 设， ∴， 故答案为：13． 8. 已知点是线段的黄金分割点，，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 9. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的解析式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 10. 若抛物线过、两点，那么____________（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近，且在对称轴上，即顶点 ∴． 故答案为：． 11. 两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 12. 一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，根据题意写出一个只经过两个象限的抛物线表达式，即可求解． 【详解】解：只经过第一、二象限， 所以一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知O为坐标原点，若直线过第一象限，且与x轴夹角为，，那么直线的函数解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查直线的解析式，余切的定义，设点P的坐标为，过点P作轴于点B，根据余切的定义得到即可解题． 【详解】解：如图，设点P的坐标为，过点P作轴于点B， ∵直线过第一象限， ∴x，y同号， 又∵， ∴，即， 故答案为：． 14. 已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出，再由勾股定理得出的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，是边上的高， ∵菱形的周长为C， ∴， ∵的正切值为2， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， 菱形面积为， 故答案为：． 15. 如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键． 过点作于，根据面积求得，由和分别求出，即可求求解周长． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：9． 16. 如图，在梯形中，在平行四边形中，其顶点都在梯形的边上，连接交于点M．若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，设，则，四边形与等高，不妨设高为h，由得，解方程得，即，则，再由相似三角形的判定与性质可得，，进而得，再由可得答案． 【详解】解：设，则， 由平行四边形，得， 四边形与等高，不妨设高为h， ∵， ∴由梯形和三角形的面积公式，可得， 两边同时约去h，解得， 则， ∵在梯形中，在平行四边形中即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 17. 在中， ．将绕点C旋转，点A对应点为点，点落在中边上中线的延长线上．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由，设，由勾股定理求出的长，再证明，得到，最后算出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，如图： ∵，设， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， 与中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 由旋转得， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 【详解】解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【请将解题过程填入答题纸的相应位置】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的运算顺序和法则，是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． （1）用向量、分别表示向量、； （2）作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】（1）， （2）图见解析，， 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 21. 在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． （1）证明：； （2）若，，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）由矩形的性质得，再由垂直得，由角的等量代换推出，即可得出结论； （2）先证明得，进而得，再由平行得，，最后由可得答案． 【小问1详解】 证明：∵是矩形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【答案】树的高分别为和 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用及相似三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于M交于N，连结．先求得，再由，可得，求得，再用勾股定理得，得出．再由，可得，再列比例式求解即可， 【详解】解：作于M交于N，连结． 由题可知，． ． , ∴, ∵， ， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 即， ． ∴． ∴． 答：树的高分别为和． 23. 如图，在中，C为上一点，P为上一点，作平行四边形，边交于点F，满足，连接． （1）求证：． （2）连接交于点O，若，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得，结合，则，根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似解题； （2）先由平行四边形的性质得，证明，则有因为，因为， 证明，则， 所以，得四边形是梯形， 结合由（1）得， ， 所以，即，证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ，即 ， ； ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是梯形， ； 由（1）得， ， 则； 由（1）得， ， ， 则 ， 即 ， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，有抛物线M：过点和点，与y轴交于点C，顶点为P． （1）求M的表达式和P点的坐标； （2）沿着射线平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q． ①当平移的距离为时，若点和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点在抛物线N上． ②延长线段、，交点为点D．当时，求的值． 【答案】（1）抛物线，顶点坐标 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式，化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）①据抛物线表达式可知，由得抛物线对称轴为直线；设，得，得点，利用平移确定新抛物线的解析式为．代入计算验证即可． ②利用待定系数法，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义解答即可． 【小问1详解】 解：把点和点代入解析式得： ， 解得； 故抛物线M的表达式为． 配方，得， 故抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 ① 解：由抛物线表达式可知，由得抛物线对称轴为直线； 根据题意，设，得， 解得， 故点． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，设， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， 当时，， 故点在抛物线上． ② 解：连接，交射线于点E； 由点和点，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在的垂直平分线上即在抛物线的对称轴直线， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点式，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，正切函数的应用，熟练掌握待定系数法，平移，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 25. 如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． （1）若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； （2）如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； （3）连接，若和全等，求的长． 【答案】（1） （2）正方形的边长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据重心的性质，三线合一的性质，正方形的性质可得，可得在射线上，设，则，．则，证明，在中， ，即可求解； （2）延长交于，作于证明，，，设正方形边长为根据相似三角形的性质得出，根据，即可求解． （3）延长交于根据得出，进而求得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：在射线上，理由如下： ，为的重心， 在的中线上， ∴， 又∵四边形是正方形，则， 射线上， 为的重心， ， 四边形是正方形， ， 设，则，， ， ，，，，， ， ， 为等腰三角形的中线， ， 又， 可证得， 在中，， 解得； 【小问2详解】 延长交于，作于， 在与中， ，， ， ， 设，， 三角形为等边三角形， ，，， 则，，， ， ， ， ， 又， ， 设正方形边长为， 则，， ∴， ∴， ∴，化简得， 则， ∴，， ∴， 解得， 即正方形的边长为； 小问3详解】 延长交于， ， ，， 可得， ， 可得， 设，，， 则，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐汇、杨浦、闵行、虹口、普陀、长宁、青浦七区2024学年度第一学期初三期末学业质量监测数学学科 模拟试卷（A卷） 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 二次函数中m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 3. 已知，与相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量、、互不相等，则下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若，则；②若，，则；③若，则． A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知锐角A的正切值为，那么（ ） A B. C. D. 6. 定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（ ）正确． A. 两个都 B. 仅原命题 C. 仅原命题的逆命题 D. 没有一个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知，那么____________． 8. 已知点是线段的黄金分割点，，且，则____________． 9. 抛物线的顶点坐标是____________． 10. 若抛物线过、两点，那么____________（填“”，“”或“”） 11. 两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为______． 12. 一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式：______． 13. 已知O为坐标原点，若直线过第一象限，且与x轴夹角为，，那么直线的函数解析式为______． 14. 已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是______． 15. 如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 16. 如图，在梯形中，在平行四边形中，其顶点都在梯形的边上，连接交于点M．若，则______． 17. 在中， ．将绕点C旋转，点A对应点为点，点落在中边上中线延长线上．则的值为______． 18. 在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【请将解题过程填入答题纸的相应位置】 19. 计算：． 20. 如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． （1）用向量、分别表示向量、； （2）作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 21. 在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． （1）证明：； （2）若，，连接，求的值． 22. 小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 23. 如图，在中，C为上一点，P为上一点，作平行四边形，边交于点F，满足，连接． （1）求证：． （2）连接交于点O，若，求证：四边形是等腰梯形． 24. 在平面直角坐标系中，有抛物线M：过点和点，与y轴交于点C，顶点P． （1）求M的表达式和P点的坐标； （2）沿着射线平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q． ①当平移的距离为时，若点和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点在抛物线N上． ②延长线段、，交点为点D．当时，求的值． 25. 如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． （1）若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； （2）如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； （3）连接，若和全等，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$