上海市16区2023-2024学年九年级数学一模24题解析汇编

上海市16区2023-2024学年九年级数学一模24题解析汇编 1.（2024.杨浦区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上一点，如果，求点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 【解答】【小问1详解】 解：∵抛物线为， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴A（-1,0），B（3,0） 把x=3,y=0，代入解析式， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 如图，过点P作PH⊥y轴于H， ∵OB=OC=3 ∴∠ABC=450， ∵， ∵∠ACB=∠PAC， ∴△ACB∽△PAC, ∴， AC2=PC·AC， 由勾股定理，AC2=10，BC=3， 10=PC·3， 解得，PC=， Rt△CHP中，∠HAP=450， 解得，PH=CH=， 故； 【小问3详解】 如图，过点P作PH⊥AB于H，过点F作FN⊥OA于N，延长NF交PE于M， 由点A（-1,0），点P（）得，AH=，PH= 则Rt△AHP中，tan∠HAP=，即tan∠NAF=， ∵tan∠β=， ∴∠NAF=∠β， ∵∠AFE=900， ∴∠NAF=∠α， ∴∠α=∠β， ∴MF=ME， 由同角的余角相等得，∠MFP=∠γ， ∴MF=MP， ∴M为EP的中点 ∵点E的纵坐标为-4，点P的纵坐标为 由中点坐标公式得， 点M的纵坐标为 由点A（-1,0），点P（）得直线AP的解析式为， 设点F（m，），点M（m，）， ∵MF=MP， 由两点间距离公式得， ， 化简得，27m2-42m-5=0， 解得，m1=-，m2=（舍去） ∴点M（-，）， 则可求出直线AE的解析式， ∵点E的纵坐标为-4， 代入解析式得点E的横坐标为 故得平移后的抛物线解析式为. 2.（2024.徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，第二象限的点M在抛物线y=ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2. （1） 求该抛物线的表达式； （2） 将抛物线y=ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知，m＜n，且mn=-4，与y轴负半轴交于点C. ①求k的值； ②设直线与上述抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果tan∠PCD=，求点P的坐标. 【解答】【小问1详解】 ∵点M在第二象限，且点M到两坐标轴的距离都时2， ∴点M（-2,2）， 把x=-2，y=2，代入解得， a=， ∴抛物线的解析式是. 【小问2①详解】 ∵平移后的抛物线解析式是， ∴平移后抛物线的对称轴是， 设点A，B到对称轴的距离是t， ∴点A（-t，0），B（+t，0）， ∵点A，B的横坐标之积为-4， ∴（-t，0）（+t，0）=-4， 解得，t=（舍去负根）， ∴点A（-1，0），B（4，0）， 把x=4，y=0，代入， 解得，k=， ∴平移后的抛物线解析式是，即. 【小问2②详解】 如图，过点P作PH⊥CD延长线于H， ∵点C（0，-2）， 点D在直线上， 点D（，-2）， 点P在直线上， ∴设P（t，），则点H（t，-2） （t＞0）， ∴CH=t，PH=-2， ∵tan∠PCD=， ∴， ， 解得，， 故P（） 3.（2024.普陀区一模） 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形各处新定义 对于图形24-3中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，得到四边形A2B2C2D2. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.图24-3中，四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个同学说成是相似得图形，或者说是相似形. 如图24-3，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线交于一点，并且这点与与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心. （1） 填空：在图24-3中位似中心是点 ； 多边形是特殊的 多边形（填“位似”或“相似”） （2）位似在平面直角坐标系xoy中，二次函数 的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为 ，将△OAB缩小，得到它的位似△OA1B1. ①画出△OA1B1，并求经过O、A、B三点的抛物线的表达式； ②设直线y=kx（k＞0