精品解析：安徽省2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题

2024—2025学年（下）安徽高三3月调研考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置： 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合和，由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，所以，，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方及除法计算得解. 【详解】依题意，，则，所以. 故选：A 3. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出首项和公差即可. 【详解】依题意，即， 假设等差数列 的首项为，公差为， 则，解得, 故选：B. 4. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义组个判断各个选项即可得到答案. 【详解】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误； B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误； A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确； D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误. 故选：C. 5. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可. 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 6. 把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用平移变换求出，进而求出其对称轴方程得解. 【详解】依题意，， 则， 由，解得， 因此函数的图象的对称轴方程为， 取，得，C正确，不存在整数使得ABD成立. 故选：C 7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 8. 已知是定义域为 的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为 ．若设，，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，得到函数的对称中心.令，求得，然后令 ，求得函数对称轴.由两个等量关系求出函数的周期，由求出.然后由函数的对称轴和对称中心得到其导数的对称中心和对称轴，同理由求出，然后写出切线方程. 【详解】令，则，则函数关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即 ，不合题意，舍去. 故，则令 ，即，即函数关于轴对称， ， 令 ，则，又∵， ∴，则， 即函数是周期为 的周期函数， ∴， ∵函数关于点中心对称和轴对称， ∴导数关于对称和点中心对称， 同理可得， ∴， ∴切线方程为：，即. 故选：D 【点睛】关键点睛，本题有两个解题关键：（1）由对称轴和对称中心得到函数的周期；（2）由函数的对称中心和对称轴得到其导数的对称轴和对称中心. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前 项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，由等比数列定义知，一定为等比数列，A是； 对于B，当时，成立，不成等比数列，B不是； 对于C，由，得，不成等比数列，C不是； 对于D，由，得，是公比为1的等比数列，D是. 故选：AD 10. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点 处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 若圆上仅有一个点到 的距离为2，则满足条件的 的值有4个 D. 若上一点到 的距离为，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据点在直线上记直线与圆和抛物线相切可求得；对于B，画图可以判断；对于C，依题意可知圆心到直线 的距离为3或1，求出t的值即可判断；对于D，由且等号同时成立可以判断D. 【详解】对于A，因为点在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为，所以圆心， 所以直线的斜率， 所以圆在点 处的切线的斜率， 所以切线方程为，即， 代入抛物线的方程中，得， 由，解得，(舍去），故项正确； 对于B，如图所示，在轴右侧，当直线斜率不存在时，有一条直线与和圆各恰有一个公共点，当斜率存在时，有两条这样的直线.根据对称，总共有6条直线与和圆各恰有一个公共点，故B正确； 对于C，若圆上仅有一个点到 的距离为2，则圆心到直线 的距离为3或1， 当圆心到直线 的距离为3时，，解得 或； 当圆心到直线 的距离为1时，，解得或 ；故项正确； 对于 D ，因为 ，所以，当点与原点重合时等号成立， 此时取得最小值 ，故 D 错误． 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为1，点分别在棱，，上 与端点不重合 ，过点作平面 ，垂足为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 可能为直角三角形 B. 若 为 的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥 C. 若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合余弦定理判断即可；对于B，由外心得到，再结合勾股定理说明，进而可判断，对于C，分类讨论以为定点，为定点的情况即可判断；对于D, 设，利用等体积法，结合正余弦定理、三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断. 【详解】对于A，设，其中， 所以， 由余弦定理得，所以为锐角，同理其它两角也是锐角，故A错误； 对于B， 因为 为 的外心，所以，再由平面 ， 结合勾股定理易知，又三个侧面都是直角三角形，易证全等， 所以，故三棱锥为正三棱锥，正确； 对于C，若棱在面内，则棱与面所成的角为0，正弦值为0； 若棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角， 以为例，（一样），设，则， 则 的面积为， 由等体积，三棱锥的体积, 所以，所以， 即以为顶点， 为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为， 以或或为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角, 以点为例，（或一样），因为平面,所以与平面所成角为，正弦值为1， 由线面角的定义可知：为与平面所成角，易知，正弦值为， 所以四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是 故C正确； 对于D，若，又， 即， 所以， 则，即， 所以，即，D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D选项，利用，即判断； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______． 【答案】122 【解析】 【分析】利用中位数求出第二、第三次分数和，再利用平均数的定义计算得解. 【详解】设甲第二、第三次的分数分别为 ，由中位数为120，得，即， 所以甲同学这四次数学考试的平均分为. 故答案为：122 13. 过双曲线的右焦点作直线的垂线 ，垂足为与的右支交于点，若，则的离心率_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，利用相似三角形性质用表示点的坐标，再将该坐标代入双曲线方程求解即得. 【详解】设双曲线的半焦距为c，， ，设，由，得是线段的中点， 过作于，则∽，， 因此，解得，由点在双曲线上， 得，即，所以. 故答案为： 14. 记，若，则实数_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式裂项变换，再求和比对即可得解. 【详解】当均不为0时，由，得， 由，因此 ，即，所以. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：将二倍角的正切公式取倒数变形，利用裂项相消法求和是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 【答案】（1）； （2）的最大值为8，. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值，进而求出值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得，， 由余弦定理得，而 ， 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，， 则，即，当且仅当时取等号， 此时，所以的最大值为8，. 16. 如图，四棱锥 的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在四棱锥 中，连接，由四边形是边长为2的菱形，， 得是正三角形，又为的中点，则， 而是正三角形，则，于是， ，又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证出，再利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面 的法向量，则，取 ，得， ， 所以二面角的正弦值为. 17. 口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别． （1）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率； （2）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，求的分布列及期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 1 2 3 4 5 6 期望为. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率的概率公式即可解出； （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 从口袋中任取3个小球有种方法，编号全为奇数的取法有种，全为偶数的取法有种， 因此编号既有奇数又有偶数的取法种数为 ， 所以取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能值为1，2，3，4，5，6， 从口袋中任取5个小球有 种取法， ，，， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 4 5 6 期望为. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． （1）求的方程； （2）证明：的面积为定值； （3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 【答案】（1）； （2）证明：设，则， 由消去并整理得， ，， ， 所以的面积为定值. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组即可求出的方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证. （3）在时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出的情况即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，联立解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为， 当时，点 中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时 即为的上顶点，， 当时，由共线，得，即， 整理得，而 ，当且仅当 时取等号，， 所以直线在轴上的截距的最小值为. 【点睛】 19. 若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称 为在区间上的“中值点”． （1）若函数 在区间上的中值点为 ，证明： 成等差数列． （2）已知函数 ，存在 ，使得． （ⅰ）求实数 的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明： ． 【答案】（1）证明：由题意知. 因为 ， 又 ， 所以 ，即 ， 所以 成等差数列； （2）（i）； （ii）证明：因为，所以中值点 满足 ， 由（i）知当时，即有两个零点， 所以在区间上所有可能的中值点即. 先证明： 由 ，得. 要证，即证. 设 ， 则. 设，当时， ， 所以在上单调递增，所以 ， 所以当时， ，所以在上单调递减. 所以当时， ，即. 因为，所以，即， 又 ，再结合在上单调递减， 可得，从而. 令，得， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据中值点定义得到相关方程，则 ，化简即可； （2）（ⅰ）通过二次求导得 ，再对和 讨论即可； （ii）首先证明，通过构造函数 ，利用二次求导即可证明，再进行代换即可证明，最后再设，利用累加法和等差数列求和公式即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i） ， 设，则 ， 当时，单调递增，当 时，单调递减. 故 ，且当时， ，当时， . 若，则恒有 ，所以在上单调递减，不符合题意； 若 ，则在和上分别存在一个零点，记为， 当时， ，即单调递减， 当时，，即单调递增，当时， ，即单调递减， 故存在 ，满足. 所以 的取值范围是. （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是构造函数 ，从而证明关键的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）安徽高三3月调研考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置： 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为 的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为 ．若设，，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 若圆上仅有一个点到的距离为2，则满足条件的的值有4个 D. 若上一点到的距离为，则的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为1，点分别在棱，，上 与端点不重合，过点作平面 ，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 可能为直角三角形 B. 若为 的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥 C. 若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______． 13. 过双曲线的右焦点作直线的垂线，垂足为与的右支交于点，若，则的离心率_____． 14. 记，若，则实数_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 16. 如图，四棱锥 的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别． （1）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率； （2）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，求的分布列及期望． 18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． （1）求的方程； （2）证明：的面积为定值； （3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 19. 若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． （1）若函数 在区间上的中值点为，证明： 成等差数列． （2）已知函数 ，存在 ，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $