精品解析：2025年云南省保山市腾冲市实验学校模拟预测数学试题

腾冲市实验学校2024——2025学年九年级第一次模拟考试 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 中国亿农村贫困人口摆脱贫困，其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥﹣2且x≠﹣1 B. x＞﹣2且x≠﹣1 C. x≤2且x≠﹣1 D. x＜2且x≠﹣1 5. 下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 棱柱 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 6. 如图，x＝（　　） A. 65 B. 75 C. 85 D. 95 7. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 3 D. 9. 某旅游景点8月份共接待游客16万人次，10月份共接待游客36万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. 16（1+x2）＝36 B. 16x+16x（x+1）＝36 C. 16（1+x）+16（1+x）2＝36 D. 16x（x+1）＝36 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第8个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是的直径，是的弦，弦，垂足为点F，交于点G，为的切线，交的延长线于H，，，则（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，半径，点是优弧上的一点，点是的中点，连接，，则的度数为（ ） A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 45° 14. 把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解正确的是（　　） A. a（2a+b）2 B. b（2a+b）2 C. （a+2b）2 D. 4b（a+b）2 15. 小李要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（ ）cm2 A. 15π B. 24π C. 30π D. 39π 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为___________． 17. 反比例函数过和两点，则__________． 18. 如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，则的长为 ________ ． 19. 为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图的频数直方图（每小组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC． （1）求证：BD＝DF． （2）求证：AB=AC+CF． 22. 周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 23. 某技术公司新开发了两种产品，其质量按测试指标划分为，，，，，共5个等级．其中指标的产品为正品，指标的产品为次品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 产品 5 15 43 28 9 产品 9 16 42 27 6 （1）从这两种产品中各随机抽取一件，分别估计抽取的产品、产品为正品的概率； （2）每生产一件产品，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损30元；每生产一件产品，若是正品则盈利110元，若是次品则亏损50元．现某工厂要从产品和产品中选择一种生产，请你利用所学的统计知识为该工厂决策，并说明理由． 24. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹. （1）在图①中画线段，点E在边上、点F在边上，且； （2）在图②中的线段上找一点O，使； （3）在图③中画一条线段、将线段分为两部分.（要求：点M、N均在格点上） 25. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，求，两种品牌的足球的单价． 26. 如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． （1）你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； （2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 27. 如图，在中，，以为直径的交边于点，于点，为的中点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市实验学校2024——2025学年九年级第一次模拟考试 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米， 故选：． 2. 中国亿农村贫困人口摆脱贫困，其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，乘方，以及积的乘方法则逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 4. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥﹣2且x≠﹣1 B. x＞﹣2且x≠﹣1 C. x≤2且x≠﹣1 D. x＜2且x≠﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义的条件计算即可． 【详解】代数式有意义， 得2﹣x≥0且1+x≠0， 解得x≤2且x≠﹣1， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解题的关键． 5. 下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 棱柱 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥． 故选D． 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识． 6. 如图，x＝（　　） A. 65 B. 75 C. 85 D. 95 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵图形是四边形， ∴140°+2x°+90°＝（4﹣2）×180°， 解得：x＝65°， 故选A． 【点睛】本题考查了多边形的外角与内角，能根据多边形的内角和公式得出方程是解此题的关键，注意：n（n≥3）边形的内角和＝（n﹣2）×180°． 7. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均值、方差的意义求解，方差越大，稳定性也越小；反之，方差越小，稳定性越小． 【详解】解：顾客选择的橘子个头大， 顾客选择的橘子重量的平均数比水果店原有的橘子重量的平均数大，即， 顾客选择的橘子大小均匀， 方差波动较小， 水果店原有的橘子大小不一， 方差波动较大， 顾客选择的橘子重量的方差比水果店原有橘子重量的方差小，即， 故选：C． 【点睛】本题考查实际问题中的统计量，读懂题意，掌握个头大且均匀表示的平均值与方差的情况是解决问题的关键． 8. 如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上一点到角的两边的距离相等；根据此性质过D作于H，则得，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过D作于H， ∵射线是的平分线，且，， ∴， ∴； 故选：D． 9. 某旅游景点8月份共接待游客16万人次，10月份共接待游客36万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. 16（1+x2）＝36 B. 16x+16x（x+1）＝36 C. 16（1+x）+16（1+x）2＝36 D. 16x（x+1）＝36 【答案】A 【解析】 【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及10月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设游客每月的平均增长率为x， 依题意，得：16（1+x）2＝36． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第8个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式找规律，根据题干所给单项式正确找出单项式的系数和次数的变化规律，即可解题． 【详解】解：由题可知： 单项式系数为：、5、、9、、…，第奇数个数字为负数，第偶数个数字为正数，第个单项式系数绝对值为； 字母的次数规律为：0、2、4、6、8、…，即第个单项式的次数为； 的次数无变化，都为次， 第8个单项式系数是，的次数为， 第8个单项式为：， 故选：B． 11. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 12. 如图，是的直径，是的弦，弦，垂足为点F，交于点G，为的切线，交的延长线于H，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OE，利用线段的和差求得圆的半径和OF的长度，利用勾股定理求得FE的长度；由切线的性质和同角的余角相等可求∠DEH=∠EOF，解Rt△OEF即可解答； 【详解】解：如图连接OE， ∵AB是圆的直径，AF=3，FB=，∴AB=， ∴OE=，OF=， ∵DE⊥AB， ∴， EH为圆的切线，则OE⊥EH， ∴∠OEF+∠DEH=90°， ∵∠OEF+∠EOF=90°， ∴∠DEH=∠EOF， ∴tan∠DEH=tan∠EOF=， 故选： A． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正切三角函数；根据切线的性质作辅助线是解题关键． 13. 如图，在中，半径，点是优弧上的一点，点是的中点，连接，，则的度数为（ ） A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角的性质直接求出的度数即可． 【详解】解：连接OC， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的性质和弧与圆心角的关系，解题关键是熟练掌握圆周角的性质和弧与圆心角的关系，准确进行推理计算． 14. 把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解正确的是（　　） A. a（2a+b）2 B. b（2a+b）2 C. （a+2b）2 D. 4b（a+b）2 【答案】B 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】4a2b+4ab2+b3 ＝b（4a2+4ab+b2） ＝b（2a+b）2， 故选B． 【点睛】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式是解题的关键． 15. 小李要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（ ）cm2 A. 15π B. 24π C. 30π D. 39π 【答案】B 【解析】 【分析】先求出底面圆的周长和面积，然后利用扇形面积公式：S扇形=求出圆锥的侧面积，从而求出圆锥的表面积． 【详解】解：底面圆的周长为：2×3π=6πcm 底面圆的面积为：32π=9πcm2 ∴圆锥的侧面积为：cm2 ∴圆锥的表面积为：9π+15π=24πcm2 故选B． 【点睛】此题考查的是求圆锥的表面积，掌握圆的周长公式、面积公式和扇形的面积公式是解决此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解． 【详解】解：的两个实数根， ， 解得：， 由题可得：，， ，即， 将，，代入得，即， 解得，， ， ， 故答案为：． 17. 反比例函数过和两点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点A代入反比例函数解出k值，再将B的坐标代入已知反比例函数解析式，即可求得m的值． 【详解】解：∵反比例函数，它的图象经过， ∴， ∴ ∴， 将B点坐标代入反比例函数得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征∶反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 18. 如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，则的长为 ________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】由垂直的定义得到∠EDA=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵DE⊥AB， ∴∠EDA=90°， ∴∠C=∠EDA， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴， 即， ∴AD=4， 故答案为:4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图的频数直方图（每小组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于________． 【答案】 【解析】 【分析】用样本中不少于4小时的人数除以抽取的总人数，即可得出估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数． 【详解】解：课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用样本所占的百分比估计总体，解题的关键是理解题意，数形结合． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，先进行零次幂，负整数指数幂，算术平方根，绝对值，再合并即可. 【详解】解： ． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC． （1）求证：BD＝DF． （2）求证：AB=AC+CF． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，即可求证△DCF≌△DEB，即可得出结论； （2）根据HL求证△ACD≌△AED，可得AC＝AE，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在△DCF和△DEB中， ∵， ∴△DCF≌△DEB（SAS）， ∴BD＝DF． 【小问2详解】 由（1）得：∠C＝∠AED= 90°，DC＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴△ACD≌△AED（HL）， ∴AC＝AE ∵AB=AE+BE ∴AB=AC+BE ∵BE=CF ∴AB=AC+CF． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法． 22. 周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 【答案】能，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，等量关系式：步行的时间骑行的时间，据此列方程，解方程即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：能，理由如下： 设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为， 总共所需时间为： （）， 到达钟鼓楼的时间为， 故能在当日上午前到达鼓楼． 23. 某技术公司新开发了两种产品，其质量按测试指标划分为，，，，，共5个等级．其中指标的产品为正品，指标的产品为次品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 产品 5 15 43 28 9 产品 9 16 42 27 6 （1）从这两种产品中各随机抽取一件，分别估计抽取的产品、产品为正品的概率； （2）每生产一件产品，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损30元；每生产一件产品，若是正品则盈利110元，若是次品则亏损50元．现某工厂要从产品和产品中选择一种生产，请你利用所学的统计知识为该工厂决策，并说明理由． 【答案】（1），；（2）选产品生产，见解析 【解析】 【分析】（1）由检测结果统计表，利用等可能事件概率计算公式能估计产品A，产品B为正品的概率； （2）利用加权平均数分别计算出件产品A、B的平均利润即可作出决策． 【详解】（1）∵时产品为正品，由表可知： 100件产品中有件正品， ∴（产品为正品）， 100件产品中有件正品， ∴（产品B为正品）； 答：产品A，产品B为正品的概率分别为和； （2）依题意得： ， ， ∵即每件产品的平均利润小于每件产品的平均利润， ∴选产品生产． 【点睛】本题考查了概率公式和加权平均数，样本估计总体．概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 24. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹. （1）在图①中画线段，点E在边上、点F在边上，且； （2）在图②中的线段上找一点O，使； （3）在图③中画一条线段、将线段分为两部分.（要求：点M、N均在格点上） 【答案】（1） 线段即为所求作的线段，如图所示： （2）点O即为所作，如图所示： （3） 线段即为所求； 方法一： 方法二： 【解析】 【分析】（1）找出的中点F，的中点E，连接即可； （2）连接交于一点，该点为点O； （3）连接格点，根据平行线分线段成比例定理，即可． 【小问1详解】 解：∵F为的中点，E为的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：线段即为所求； 方法一： ∵，，， ∴． 方法二： ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行线分线段成比例，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，求，两种品牌的足球的单价． 【答案】一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元，根据“购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元”列出方程组并解答即可． 【详解】解：设一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元， 根据题意得：， 解得：， 答：一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元． 26. 如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． （1）你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； （2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】（1）选择路线1较短，理由见解析 （2）①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【小问1详解】 解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； 【小问2详解】 解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 27. 如图，在中，，以为直径的交边于点，于点，为的中点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据圆直径所对圆周角为直角的性质，得；再根据直角三角形斜边中线的性质计算，即可完成证明； （2）连接，则；根据（1）的结论，推导得；根据，推导得，从而得，即可完成证明； （3）过点作于点，过点作于点；结合题意，根据等腰三角形三线合一的性质，得；根据平行线性质，推导得，；通过证明、，得；设，根据勾股定理的性质，计算得、，通过面积计算，得，结合三角函数性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）连接，如图： ∵是的直径 ∴ ∴ 在中，点是的中点 ∴； （2）如图，连接，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即． ∴是的切线； （3）如图，过点作于点，过点作于点 ∵， ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 同理可得： ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， 在中， 根据面积不变，得： ∴ ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆、直角三角形斜边中线、相似三角形、平行线、全等三角形、勾股定理、二次根式、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆、切线、直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、相似三角形、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $