精品解析：山东省聊城市冠县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题和非选择题组成，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；试题答案填写在答题卡上． 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷！ 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 2. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 3. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 7. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A B. C. D. 9. 如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（共6小题，满分18分） 11. 已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则_________． 10 24 2 12 a 50 60 100 12. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是___________． 13. 如图，正方形网格图中与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的______． 14. 在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为______． 16. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为_______． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 19. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求面积． 21. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 22. 如图，为的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 23. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 24. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题和非选择题组成，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；试题答案填写在答题卡上． 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷！ 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 2. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 3. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定，先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 4. 对于反比例函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先求出时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】当时，， 反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ， 当时，； 当时，， 综上所述：y的取值范围是或， 故选：C． 5. 已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入据此及可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的函数表达式为； 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 故选：D 6. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 7. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 9. 如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（共6小题，满分18分） 11. 已知闭合电路电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则_________． 10 2.4 2 1.2 a 50 60 100 【答案】12 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．设该反比函数解析式为，根据当时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流． 【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得：当时， ， 则， 解得：， ∴该反比函数解析式为， 当 时，， 故答案为：12． 12. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是___________． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的______． 【答案】点O 【解析】 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】如图所示，位似中心是点O． 故答案为：点O． 14. 在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，即可求解． 【详解】解：∵有x个队参赛， ∴共比赛场， ∵与的比赛，和与的比赛是同一场比赛， ∴， 故答案： 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定方程的解．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，直线与抛物线的图象交点的横坐标即为方程的解，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，直线与抛物线交于，两点，图象交于点，点， 则关于x的方程，即解为或5 故答案为：或5． 16. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 连接、， ∵六边形是的内接正六边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算： （1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）原式． （2）， ， 或， ，． 18. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 19. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，将点代入，得，由此可得一次函数的表达式；再求出点（0，2)，则，证得，进而得点，将点代入反比例函数得，由此可得反比例函数的表达式； （2）由（1）可知点，点，则，再根据三角形的面积公式可求出的面积． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如下图所示： ∵一次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∴， 即， ， 即点的纵坐标为3， 对于，当时，， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 由（1）可知：点，点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，待定系数法求函数的表达式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 21. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 22. 如图，为的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：为切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得，等腰三角形的性质得可证明，得到，根据切线的判定定理证明； （2）连接，设，结合余弦定理得，利用勾股定理求得和，进一步证明，有，即可求得半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的平分线， ． ， ， ， ， ， ． 为的半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接． ，， 设，则， ． ， 即， ，， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、以及解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 23. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）降价元时，平均每天盈利最大． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设每件衬衫降价元，根据题意得，求解后再根据扩大销售量确定，即可求解． （2）设商场平均每天盈利，根据题意可得，将其化为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元， 根据题意得， 解得， ∵根据题意要为扩大销售量， ∴在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，即， 答：若商场平均每天要盈利元．则每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天盈利， 根据题意可得：， 即：， ∴当时，取最大值，最大值为元． ∴降价元时，平均每天盈利最大． 24. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）二次函数的最大值为，最小值的为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）点在二次函数的图象上，得到，解得，则二次函数的解析式为，根据对称轴求解即可； （2）求出，，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可； 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴点即为点， ∵点在的图象上，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值， ∴二次函数的最大值为，最小值的为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $