精品解析： 2025年福建省泉州市初中毕业班模拟考试数学试题

2024~2025学年度泉州市初中毕业班模拟考试（一） 初三数学 （本卷共25题：满分：150分：考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 2025年春节假期，泉州市以“新年来泉州泉州游好运”“非遗中国年·就在泉州过”为主题，推出多条精品线路．据测算，2025年春节假期，泉州市累计共接待游客10115900人次．数据10115900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列函数中，当时随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到，求这两年森林覆盖率的年平均增长率．若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 9. 已知三个实数，满足，，，则（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为_____________． 12. 正五边形的外角和等于 _______◦． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 如图，某商场手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为16米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为_____________．（单位：米） 15. 为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是__________．（单位：块） 16. 数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，． （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，请作出；（要求：尺规作图，不作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，过点作于，求的值． 22. 现有一组数据：1，2，5，6，6，小明准备再添加两个数，组成一组新的数据． （1）若添加的数是3，4，则这组数据的平均数_____________；（填“变大”“不变”或“变小”） （2）若添加的数是，记，当满足什么条件时，这组数据的平均数变大，并说明理由； （3）在一个不透明的口袋中，有四个小球（除标有数字不同外，其余都相同），分别标有数字3，4，5，6，搅匀后从中摸出一个小球，记下数字，再从剩下的小球中随机摸出第二个小球，记下数字．将两次得到的数字添加到原组数据中，求这组数据平均数变大的概率． 23. 阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． （1）甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） （2）求出发后，甲、乙速度相等的时间； （3）求出发后，甲、乙相遇的时间． 24. 如图1，在中，，，是的中点，是线段上不与，重合的一点，于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若是的中点．如图2，求的值； （3）用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 25. 已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上一点，且点在轴右侧，直线与轴交于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标； （3）点在二次函数图象的对称轴上，且位于顶点的上方，直线与直线交于点，轴交二次函数图象于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度泉州市初中毕业班模拟考试（一） 初三数学 （本卷共25题：满分：150分：考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键． 2. 2025年春节假期，泉州市以“新年来泉州泉州游好运”“非遗中国年·就在泉州过”为主题，推出多条精品线路．据测算，2025年春节假期，泉州市累计共接待游客10115900人次．数据10115900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据10115900用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 从正面看，从左往右列正方形的个数依次为，，，且第一层左侧有个正方形，第二层有个正方形，由此即可得出该几何体的主视图． 【详解】解：依题意得： 该几何体的主视图是， 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、平方差公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 5. 甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握根据方差判断稳定性是解题的关键：①方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量；②方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小． 根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，， ， 四位学生中这5次训练成绩最稳定的是丁， 故选：． 6. 下列函数中，当时随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵-2<0, ∴当时随的增大而增大,故A正确； ∵-2<0, ∴当时随的增大而减小,故B不正确； ∵-1<0, ∴当时随的增大而减小,故C不正确； ∵1>0,对称轴 ∴当时随的增大而增大,故D不正确； 7. 某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到，求这两年森林覆盖率的年平均增长率．若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为，则根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 8. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 9. 已知三个实数，满足，，，则（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：B． 10. 直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为，联立，得，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，同理可得，进而可得，即，解得，则，由此即可得出直线必过的定点． 【详解】解：设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为， 联立， 得：， ，， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 当时，， 直线必过的定点为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，已知两点坐标求两点距离，求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的求值等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键：如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等（两内项之积等于两外项之积）；反之，如果，那么或． 利用“设法”求解更简便：设，则，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， 设，则, ， 故答案为：． 12. 正五边形的外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 如图，某商场手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为16米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为_____________．（单位：米） 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题．根据扶梯的坡比为可知，设米，则米，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：∵扶梯的坡比为， ∴设米，则米， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：8． 15. 为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是__________．（单位：块） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率）． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可知：随着累计试验芯片数的增大，良品率测试的频率稳定在， 如果需要425块良品芯片，需要准备的试验芯片数是： （块）， 故答案为：． 16. 数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了反比例的应用，二次函数的应用，一次函数的应用．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得四个点的坐标分别为，，，，求得它们在双曲线上，据此求解即可判断． 【详解】解：如图，，，，是四个面积相等的直角三角形， 设，，，，它们的面积都是， ∴，，，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， ∴，，，， ∵， ∴它们在双曲线上，即它们在双曲线的同一分支上，说法③正确； 它们中的任意三点都不在同一直线上， ∴说法①正确，说法②错误； 它们不可能在同一条抛物线上， ∴说法④错误， 综上①③正确， 故答案为：①③． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂，绝对值，以及算术平方根，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得， 即或， ，． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD． 【答案】 证明：∵矩形ABCD， ∴ADBC，∠C=90°． ∴∠ADE=∠DEC． ∵AF⊥DE于F， ∴∠AFD=∠C=90°． ∵DE=DA， ∴△ADF≌△DEC（AAS）． ∴AF=CD． 【解析】 【分析】本题利用矩形的对边平行，得出∠ADE=∠DEC，利用已知条件，证明△ADF≌△DEC． 即可证明AF=CD． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加减运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，． （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，请作出；（要求：尺规作图，不作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，过点作于，求的值． 【答案】（1） 如图，线段即为所求作的线段． （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为角的顶点，在上方作，在射线上截取即可； （2）根据，，求出，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了基本作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是数形结合，熟练掌握基本作图方法． 22. 现有一组数据：1，2，5，6，6，小明准备再添加两个数，组成一组新的数据． （1）若添加的数是3，4，则这组数据的平均数_____________；（填“变大”“不变”或“变小”） （2）若添加的数是，记，当满足什么条件时，这组数据的平均数变大，并说明理由； （3）在一个不透明的口袋中，有四个小球（除标有数字不同外，其余都相同），分别标有数字3，4，5，6，搅匀后从中摸出一个小球，记下数字，再从剩下的小球中随机摸出第二个小球，记下数字．将两次得到的数字添加到原组数据中，求这组数据平均数变大的概率． 【答案】（1）变小 （2）当时，这组数据的平均数变大； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数和概率，解题关键是熟练掌握平均数和概率的求法，准确进行计算即可； （1）求出原数据的平均数和新数据的平均数后，判断即可； （2）根据题意列出不等式，解不等式即可； （3）画出表格，结合（2）作答即可． 【小问1详解】 解：1，2，5，6，6的平均数为，若添加的数是3，4，则这组数据的平均数为， 因为， 所以这组数据的平均数变小， 故答案为：变小． 【小问2详解】 解：当时，这组数据的平均数变大； 根据题意得，， 解得，， 所以当时，这组数据的平均数变大． 【小问3详解】 解：根据题意列出表格： 3 4 5 6 3 _ 3,4 3,5 3,6 4 4,3 _ 4,5 4,6 5 5,3 5,4 _ 5,6 6 6,3 6,4 6,5 _ 一共有12种等可能结果，满足两个数和大于8的有8种，使这组数据平均数变大的概率为． 23. 阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． （1）甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） （2）求出发后，甲、乙速度相等的时间； （3）求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】（1） （2）秒 （3）秒 【解析】 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； 【小问3详解】 解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 24. 如图1，在中，，，是的中点，是线段上不与，重合的一点，于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若是的中点．如图2，求的值； （3）用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） （3）， 证明如下： 如图，连接，设与交于点，过点作交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 即：， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，由此即可得出结论； （2）连接，设与交于点，在上截取，由（1）得，即，利用可证得，于是可得，进而可得，设，由勾股定理可得，由三线合一可得，由线段中点的定义可得，进而可得，由勾股定理可得，由线段中点的定义可得，由勾股定理可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，，利用可证得，于是可得，，由可得，进而可得，再结合，可证得，于是可得，进而可得，，则，由线段之间的和差关系可得，，由可得，于是得解； （3）连接，设与交于点，过点作交的延长线于点，连接，由可得，由可得，进而可得，由（1）得，即，利用可证得，于是可得，，由三线合一可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，由勾股定理可得，由线段之间的和差关系可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设与交于点，在上截取， 由（1）得：， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 设， ， ， ，是的中点， ，， ， ， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、、），相似三角形的判定与性质，勾股定理，求角的正切值，三线合一，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的内角和定理，线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上一点，且点在轴右侧，直线与轴交于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标； （3）点在二次函数图象的对称轴上，且位于顶点的上方，直线与直线交于点，轴交二次函数图象于点，求证：． 【答案】（1）； （2）点或； （3） 证明：过点作于点，延长与轴交于点，如图： ∵， ∴顶点， ∵， ∴， 设， ∵点在对称轴上，且在轴上方，且点， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法即可求解； （2）分两种情况：①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，分别求解即可； （3）：过点作(于点，延长与轴交于点，得出顶点，进而得到，设，证明，，得到，从而得到 ，即可证明结论． 【小问1详解】 解：把代入， 得 ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①当点在轴上方时，取的中点，连接，如图： ∴， ∵， ∴， ∵为的公共底， ∴到的距离相等， ∵在的同侧， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为的中点， 又∵， ∴， ②当点在轴下方时，过作，，垂足分别为，如图： ∵，为，的公共底， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设 ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $