精品解析：2025年 湖北省恩施州宣恩县高罗镇初级中学九年级数学模拟试题

2025年春湖北省恩施州宣恩县高罗镇初中学九年级数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（　　） A. （x﹣2）＝1 B. （x+2）＝1 C. （x﹣2）＝﹣1 D. （x+2）＝﹣1 5. 判断方程的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个不等实根 D. 没有实根 6. 在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 20个 B. 18个 C. 15个 D. 10个 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商品价格为元，经过连续两次降价后的价格是元，则为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 11. 二次函数的对称轴是______ 12. 若点关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是________． 13. 如图，用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为_________． 14. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若点P为上一动点，旋转后点P的对应点，则线段的最小值是______． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为的圆弧形，下部是矩形，其中点O为弧所在圆的圆心，，，求弧的中点到的距离． 18. 某校初一（6）班部分同学接受一次内容为“最喜欢电视节目”的调查活动，收集整理数据后，老师将电视节目分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题． 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 5 10 m 11 4 （1）统计表中m值为______，统计图中n的值为______，A类对应扇形的圆心角为_____度； （2）该校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，小强是其中一名．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有小强的概率． 19. 如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． （1）画出，并写出的坐标． （2）求线段扫过的区域的面积． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若、是该方程的两个根，且，求的值． 21. 某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个． （1）求销售量与提高的单价之间的函数关系． （2）文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？ （3）当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 23. 已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春湖北省恩施州宣恩县高罗镇初中学九年级数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查识别中心对称图形．掌握使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合的图形是中心对称图形是解题关键． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：A、∵含有2个未知数，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、∵含有2个未知数，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程定义，解本题的关键在熟练掌握判断一个方程是否是一元二次方程的5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（　　） A. （x﹣2）＝1 B. （x+2）＝1 C. （x﹣2）＝﹣1 D. （x+2）＝﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】解：∵x2+4x＝﹣3， ∴x2+4x+4＝1， ∴（x+2）2＝1， 故选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 5. 判断方程的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个不等实根 D. 没有实根 【答案】D 【解析】 【分析】计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断． 【详解】∵， ∴方程无实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式的符号与一元二次方程根的关系是关键． 6. 在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 20个 B. 18个 C. 15个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，解分式方程，设口袋中红球可能有个，由题意得出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设口袋中红球可能有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴口袋中红球可能有个， 故选：C． 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，判断各选项所给的射线是角的平分线即可． 【详解】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，故此选项不符合题意； B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，故此选项不符合题意； C.射线BO不是的平分线，，故此选项不符合题意； D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形内心，明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键． 8. 某商品的价格为元，经过连续两次降价后的价格是元，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的（1−），那么第二次降价后的单价是原来的（1−）2，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得： 100×（1−）2＝81， 解得x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般． 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线得出，即可判断①；由图象可得当时，，即可判断②；由图象得出，，从而可得，即可判断③；求出图象与轴的另一个交点为，即可判断④；由，是抛物线上两点，且，，得出，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得：当时，， ∴，故②错误； ∵函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵图象过点，对称轴为， ∴图象与轴的另一个交点为， 由图象可得，当时，或，故④错误， ∵，是抛物线上两点，且，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤；共个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】####1.75 【解析】 【分析】直接将代入一元二次方程中可得结果． 【详解】解：根据题意将代入一元二次方程中得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能方程成立的未知数的值是解本题的关键． 11. 二次函数的对称轴是______ 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴公式是解题的关键；根据对称轴公式，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故答案为：直线． 12. 若点关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得P点的位置，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解：由点P（m，m+3）关于原点的对称点Q在第三象限，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于原点对称的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 13. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析可求出答案． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， ∴矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积， 此时与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，符合题意， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二次函数的应用，准确识图，掌握二次函数的性质是解题关键． 14. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若点P为上一动点，旋转后点P的对应点，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 连接、，过点A作于点，由等腰三角形的“三线合一”得到，从而，进而得到，由旋转得到，，根据勾股定理求得，求出的最小值，即可解答． 详解】解：如图，连接、，过点A作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，得到圆的半径，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为， 连接，则， 由题意得，，， 过作于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的长为 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 移项得， 配方得 ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴，． 17. 如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为的圆弧形，下部是矩形，其中点O为弧所在圆的圆心，，，求弧的中点到的距离． 【答案】6.8米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、垂径定理、勾股定理，过点作，垂足为点，交于点，由垂径定理可得，点为弧的中点，由题意可得，由勾股定理可得，求出，结合矩形的性质得出点到的距离为，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为点，交于点， ∵， ∴，点为弧的中点， 由题意可得：， 中，， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴点到距离为 ∴弧的中点到的距离为（米）． 18. 某校初一（6）班部分同学接受一次内容为“最喜欢的电视节目”的调查活动，收集整理数据后，老师将电视节目分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题． 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 5 10 m 11 4 （1）统计表中m的值为______，统计图中n的值为______，A类对应扇形的圆心角为_____度； （2）该校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，小强是其中一名．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有小强的概率． 【答案】（1）20，22，36； （2）最喜爱体育节目的学生人数为240名； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体的思想，列表求概率，统计图， （1）先求出总人数，可得m的值，再用D类的人数除以总人数可得n，然后用A类所占的百分比乘以解答； （2）用总人数乘以喜欢体育学生所占的百分比可得解； （3）列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：样本的总人数为（名）， ∴； ， ∴； ， ∴A类对应扇形的圆心角为36度； 故答案为：50，22，36； 【小问2详解】 解：（名）， 所以该校最喜欢体育节目的学生有240名； 【小问3详解】 解：列表如下：A，B，C代表另外三名同学， 第一次 第二次 小强 A B C 小强 （A，小强） （B，小强） （C，小强） A （小强，A） （B，A） （C，A） B （小强，B） （A，B） （C，B） C （小强，C） （A，C） （B，C） 一共有12种可能出现的结果，符合条件的有6种， 所以所选2名同学中有小强的概率是． 19. 如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． （1）画出，并写出的坐标． （2）求线段扫过的区域的面积． 【答案】（1）图见详解， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图以及勾股定理，扇形面积，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质，找出点，再依次连接，得，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，，再运用扇形扇形，得出线段扫过的区域的面积，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴． 【小问2详解】 解：依题意，，， 线段扫过的区域的面积． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若、是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）计算出的值，根据的取值范围即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入中，求出的值即可． 【小问1详解】 解：， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， 解得：． 21. 某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个． （1）求销售量与提高的单价之间的函数关系． （2）文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？ （3）当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应提高2元 （3）当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可。 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， ∵尽可能减少库存， ∴； 答：销售单价应提高2元； 【小问3详解】 设总利润为，则：， ∴当时，有最大值，为； 此时销售单价为：元； 答：当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元． 22. 如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解析】 【分析】（1）连接．证明，是的中垂线，可得，可得，进一步证明，结合，可得，从而可得结论； （2）过点E作于M，证明，，证明，可得，设，则，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且是的直径 ∴是的切线． 【小问2详解】 解：过点E作于M， ∵平分，，， ∴，， 在与中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得 ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； 【小问3详解】 设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $