精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高三下学期3月5日模拟检测数学试卷

高三春季模拟检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的虚部是实部的3倍，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 已知向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是在R上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. 5 D. 10 6. 已知奇函数的定义域为，且其图象是连续的曲线，若在区间上的值域为，在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ） A. 8 B. 144 C. 120 D. 280 8. 从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，这样的数列共有（ ） A. 4555个 B. 4654个 C. 5445个 D. 5500个 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选徣的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 不存在，使得 D. 在区间上单调递减 10. 已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 数列的最小项为 11. 已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 恒关于点中心对称 B. 若，则与的准线之间的距离为 C. 若上一点的横坐标，则 D. 若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为__________. 13. 已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 14. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. （1）求的概率； （2）求的数学期望. 16. 如图，四边形为圆的内接四边形，. （1）若，求； （2）若，且为等边三角形，求圆的面积. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，且，为的中点. （1）证明：为平面与平面的交线； （2）设，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆与的短轴长相等，的离心率为，且左、右焦点分别为为上异于左、右顶点的一点，直线均过点. （1）求的方程. （2）若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当的斜率之积为时，求的值. （3）问：是否存在点，满足均与相切，且的斜率之积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； （3）若，数列满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三春季模拟检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性解不等式求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由，则，故，而， 所以. 故选：B 2. 已知复数的虚部是实部的3倍，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 3. 已知向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解. 【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则， 由，得，于是，又， 所以. 故选：A 4. 已知是在R上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性列不等式求解即可. 【详解】因为函数是在R上的增函数， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再结合积中的指数情况列式计算得解. 【详解】展开式的通项， 显然，则当，即时，， 所以的展开式中常数项为. 故选：A 6. 已知奇函数的定义域为，且其图象是连续的曲线，若在区间上的值域为，在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意有解出即可. 【详解】由题意有，即. 故选：C. 7. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ） A. 8 B. 144 C. 120 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按指定顺序放入，再列式计算即得. 【详解】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入， 相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法， 由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为. 故选：D 8. 从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，这样的数列共有（ ） A. 4555个 B. 4654个 C. 5445个 D. 5500个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意有首项和公差要满足，且，，于每一个公差，首项的范围为，共有种情况，最后求和计算即可. 【详解】设等差数列首项为，公差为，则从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列， 要满足，且，， 对于每一个公差，首项的范围为，共有种情况， 所以满足条件的递增等差数列个数为：， 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选徣的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 不存在，使得 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利用复合函数单调性判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R， ，因此为偶函数，A正确； 对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为， 因此的值域为，B正确； 对于C，由选项B知，存在唯一使得，则， 且，因此存在，使得，C错误； 对于D，函数在上单调递增，， 而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确. 故选：ABD 10. 已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 数列的最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列建立等式，整理后判断A选项；由等比数列项之间的关系得到，根据题意验证，然后得到数列通项公式判断B选项；由等比数列的前项和公式求出，并讨论为奇数和偶数得到的取值范围，借助函数的单调性求得最大项和最小项. 【详解】设等比数列的公比为. 对于A，由题意得， 则，故A正确； 对于B，由A项，可得，∴， 当时，， 此时可知数列为递增数列，故舍去； 故，∴，故B错误； 对于C，， 当为奇数时，，而指数函数在上单调递减， ∴； 当为偶数时，，而指数函数在上单调递减， ∴，故得， 又∵函数在上单调递增，∴， 当时，时为最大项，故C正确， 当时，为最小项，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 恒关于点中心对称 B. 若，则与的准线之间的距离为 C. 若上一点的横坐标，则 D. 若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算出点及点坐标后，验证点关于中心对称的点不在曲线上即可得；对B：由题意可得计算出，则可得抛物线与物线的准线方程，即可得其距离；对C：由计算出，则可计算出，再利用可得，即可得解；对D：分别计算在上及在上时的值，可得范围，则可得等于的大小关系，即可得解. 【详解】对A：对，令，可得，则， 对，令，可得，则， 点关于中心对称的点为，不在曲线上， 故点不是曲线的对称中心，故A错误； 对B：由、，则， 令，解得，则， 由抛物线对称性可知、关于轴对称，故， 则有，解得， 又抛物线为抛物线向左平移个单位而来， 抛物线为抛物线向右平移个单位而来， 故抛物线的准线方程为， 抛物线的准线方程为， 即与的准线之间的距离为，故B正确； 对C：由，则， 则，化简得，故或（舍）， 则，由，则该点在上，， 由，则， 则 ， 故，故C正确； 对D：由，当点在上时，即时， 有，则， 当点在上时，即时， 有，则， 即，则对上一点，有， 则， 由对于任意给定的常数，为定值， 则恒成立，即，即的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于对于任意给定的常数，为定值，则当时，需满足. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程可得的值，再求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为：2 13. 已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据函数的单调性可得，利用通向可加性即可求解. 【详解】令，则为单调函数或常数函数， 若当时，不等式恒成立， 则， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正三棱台高的范围，再利用球的截面性质建立方程，求出球半径的范围即可. 【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为， 则，， 设正三棱台的高为，则，解得， 设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点） 因此，，解得， 且，而，当且仅当时取等号，得， ，解得， 因此，， 所以外接球表面积的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. （1）求的概率； （2）求的数学期望. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及列举法求出、对应概率，应用互斥事件加法求概率即可； （2）的所有可能值为，同（1）方法求对应可能值的概率，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，，即或， 连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有36种可能， 的情况有共6种，故， 的情况有共10种，故， 所以的概率为. 【小问2详解】 由题意，的所有可能值为，同（1）分析， 的情况有共8种，则， 的情况有共6种，则， 的情况有共4种，则， 的情况有共2种，则， 所以. 16. 如图，四边形为圆的内接四边形，. （1）若，求； （2）若，且为等边三角形，求圆的面积. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的内接四边形得到的关系，然后求出，由余弦定理建立方程求出； （2）由圆的内接四边形对角互补和三角形的余弦定理建立方程组，求出正三角形的边长，然后求出其外接圆半径，即可得到圆的面积. 【小问1详解】 ∵，， ∴， 在中由余弦定理可得， ∴，解得（舍去）或， ∴. 【小问2详解】 设，为等边三角形，设 在中由余弦定理可得， 在中由余弦定理可得， 由∵，∴， 即， 则，即①， 又∵正中，∴， 在中， 即，∴，② 由①②可知，，， 如图，取中点，连接，由对称性可知圆心在中线上，连接， ∴，又∵， ∴半径， ∴圆的面积为：. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，且，为的中点. （1）证明：为平面与平面的交线； （2）设，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在直四棱柱中，连接， 由，，得， 由为的中点，得，则四边形为平行四边形， 于是，即在同一平面内，平面， 由，得点四点在同一平面内，即平面， 所以为平面与平面的交线. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平行四边形性质及平面的基本事实推理得证. （2）证明，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由四边形为等腰梯形，且，， 令，则，，， ，则，而平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆与的短轴长相等，的离心率为，且左、右焦点分别为为上异于左、右顶点的一点，直线均过点. （1）求的方程. （2）若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当的斜率之积为时，求的值. （3）问：是否存在点，满足均与相切，且的斜率之积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，为. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，再由离心率得，即可得椭圆方程； （2）设的斜率为，则的斜率为，若联立椭圆，应用韦达定理及弦长公式求得、，进而求的值； （3）设，显然、，过的直线为，联立椭圆并结合相切关系得到，的斜率分别为为方程的根，根据已知及韦达公式得到的轨迹方程，联立求坐标，即可得结论. 【小问1详解】 由题设且，可得，故； 【小问2详解】 由（1）知，，设的斜率为，则的斜率为， 所以，由，可得， 设，则，， 所以 ， 同理可得， 所以； 【小问3详解】 设，显然、，过的直线为， 由，消去y并整理得， 因为直线与相切，则， 所以，即， 设的斜率分别为，显然是上述方程的两个不等的实根，则， 结合，可得，故存在为满足题意. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，显然、，根据相切关系得到的轨迹为是关键. 19. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； （3）若，数列满足，证明：. 【答案】（1） 由题设，的定义域为，且， 由，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且趋向于0或正无穷时，均趋向于负无穷， 要使有2个零点，只需，得证； （2）; （3） 由题意， 设，所以， 对于，则，显然有，有， 在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，故， 所以在上单调递增， 所以，，，依此类推有， 从而，整理得， 当时，，则（当且仅当时取等号）， 所以 ，得证. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究的区间单调性，结合零点个数有，即可证结论； （2）由，设且，进而得到，则，再利用导数求右侧的最大值即可； （3）构造并应用导数研究其单调性，进而有且，进一步得到，最后应用累加及等比数列前n项和公式证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，，设，由，则， 将代入，则，结合， 所以， 设，则， 设，则，， 由，则，即在上单调递增，， 所以，则在上单调递增，则， 所以的最大值； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，利用导数研究的单调性，进而得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $