精品解析：2025届四川省绵阳普明中学高三二模考试数学试题

2025年四川省绵阳市普明中学校高2025届（高三）二模考试数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入条件根据复数相等求出，进而可得z在复平面中对应的点所在象限. 【详解】设， 则由得， 整理得， 所以，解得， 所以在复平面中对应的点为，在第四象限. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义知：. 故选：C. 3. 已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以，所以，左右两侧平方得， 所以，又因为是第一象限角，所以， 则. 故选：D. 4. 圆与圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，所以圆心，半径； 由，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 5. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，结合三角恒等变换化简可得结果. 【详解】将代入， 可得 . 故选：C. 6. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出曲线在点处的切线的斜率为，利用斜率成积等于-1，求出曲线y=ln x在点P处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解. 【详解】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为. 因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直， 所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率. 而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点. 故选：D 7. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得在上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数， 又，，， 又，所以，由函数的图象关于直线对称，知， 又，所以，故， 故选：A． 8. 记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知函数的两个零点均为负数或两个零点都在内，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，， 则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点， 当时，， 若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则， 此时，则，与题意矛盾， 故函数在上无零点. 二次函数图象的对称轴为直线， 若，当，解得时，设函数的两个零点为、， 则，则，，函数有两个负零点，符合题意； 若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以， 解得， 综上，． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（ ） A. 取得最小值时， B. 与圆相切时， C. 当时， D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：取得最小值时位于即轴上，根据三角形面积公式可得. B：直接在直角三角形利用勾股定理可得. C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得. D：根据正弦定理，将求的最大值转化为求外接圆半径最小， 此时，外接圆与圆相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得. 【详解】因，令，得， 故， ，圆心，半径 选项A： 如图，根据圆的性质当位于轴上时，取得最小值， 此时，故A正确； 选项B： 当与圆相切时， ， 故B正确； 选项C： 设， 则，， 当时，， 故， 又， 得， ，， 若，则， 又得，，， 此时， 这与点在圆上矛盾，故C错误； 选项D： 设外接圆圆心为，半径为 由题意可得在中垂线上，可设其坐标为， 则，， 由正弦定理知，所以， 当最小，即外接圆与圆相内切时，的最大值， 此时圆心距等于两圆半径之差，则 ， 两边同时平方可得， ，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4 D. 若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可. 【详解】底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长， 故四棱锥的体积不变，故A正确； 与所成的角即为与AC所成的角， 当P在端点A，C时，所成的角最小，为， 当P在AC的中点时，所成的角最大，为，故B错误； 由于P在正方体表面上，P的轨迹为对角线， 以及在平面内以为圆心、2为半径的圆弧， （由于，所以在中，， 即直线AP与平面所成的角为45°， 又由于平面平面，所以直线AP与平面ABCD所成的角为45°） 如图①，故P的轨迹长度为，故C正确； 分别取的中点， 由正方体的性质可知六点共面，且为正六边形， 由中位线定理，，平面，所以平面， 同理平面，且，平面， 所以平面平面， 所以FP所在的平面为如图②所示的正六边形， 当P为BC的中点时，FP的长最小，为，故D错误． 故选：AC. 11. 已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（ ） A. 图形内部空白区域的面积最小值为 B. 图形上的点到原点的最小距离为 C. 当时，图形关于对称 D. 当时，图形内外边界的长度和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题知当时，内部空白区域是以为圆心，为径的圆，即可求解；对于B，利用圆的几何性，即可求解；对于C，设点，存在参数满足，再通过计算得到也在上，即可求解；对于D，内边界的长度，再利用题设定义及几何关系，即可求解. 【详解】对于A，由题知点集是以，为半径的圆， 如图1，当时，内部空白区域是以为圆心，为半径的圆，此时空白区域面积最小， 即内部空白区域的面积最小值为，所以命题A正确； 对于B，因为图形上点到原点距离为， 由构成该图形的动圆中，圆心到原点距离，半径， 故每个圆到原点最小距离均为，故图形到原点的最小距离为，所以B错误； 对于C，当时，设点，存在参数满足， 则点与点关于直线对称，由，取， 代入 ， 即点也在中，故时，图形关于直线对称，所以C正确； 对于D，时，如图2，内边界的长度， 其中为圆，半径为， 、为圆半径为外边界， 而由，，为半圆，半径为， 为半圆半径为，为圆，半径为， 为圆，半径为， 故内外边界和为，所以D正确. 故答案为：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于将图形内外边界的长度转化成，结合题设，利用圆的面积公式求解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为12，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出含项，结合已知项系数列方程求值即可. 【详解】由的展开式通项为， 所以，含项为， 故，可得. 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】将变形，求出单调递增区间，将包含于单调递增区间列式即可. 【详解】解：， 令，，所以，．即单调递增区间为，， 所以只需，，解得，， 则，解得，又，所以，所以，即的取值范围是． 故答案为：. 14. 四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造长方体可知四棱锥外接球球心即为中点，即可得球半径为，利用等体积法可得球心到平面的距离为，再利用勾股定理可得截面圆半径，从而求得截面面积. 【详解】如下图所示， 易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同； 由题意可知球心为中点， 故球O的直径，解得 由分别是的中点可得，可得平面； 所以球心到平面的距离等于点到平面的距离， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 在三棱锥中，易知平面，且， 所以， 而，由等体积法得， 所以，故截面面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 无关 （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断. （2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就是超几何分布，由此可计算出结果. 【小问1详解】 由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人， 男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人. 可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关； 所以， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关. 【小问2详解】 男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数､女生人数分别为：. 所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数的所有可能取值为. ， 所以的分布列为 0 1 2 即. 16. 如图所示的多面体是由正四棱台和正四棱柱（正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知，是上一动点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：法一：如图，连接， 因为几何体是正四棱台， 所以平面平面，且四点共面． 又因为平面平面，平面平面， 所以． 因为几何体是正四棱柱， 所以底面是正方形，且底面，底面， 所以． 又平面， 所以平面． 又平面， 所以， 所以． 法二：多面体是由正四棱台和正四棱柱构成， 由多面体的性质，连接，交于点，连接，交于点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 连接，由，得，． 又，所以正四棱台的高为， 所以． 设， 则， 所以，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）法一：连接，由条件证得平面．即可求证；法二，建系，由向量的垂直关系即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：建系同（1）中的法二，因为， 所以， 所以． 设平面的法向量为， 则即 令，得，所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性. （2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解. 【小问1详解】 的定义域为.  求导可得：. 令，其判别式.  当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增.  当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 因为，当时，， 则，， 此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减.   综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. 【小问2详解】 因为有两个不同的极值点，所以且，解得. ， 由韦达定理可知，，代入上式可得： . 已知，即， 可得，即. 令，对求导得. 因为，所以，在上单调递增. 又，所以的解集为， 即实数的取值范围是. 18. 设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. （1）若数列，求数列； （2）若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 【答案】（1）； （2）（i）3；（ii）的所有可能取值为且. 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，依次求出，进而确定； （2）（i）注意，各不相同，有，依此研究在各不同情况下的周期，即可得最小正周期；（ii）讨论的奇偶性，注意为奇数情况下证明时，即可得结论. 【小问1详解】 由，对于，则， 同理，， 所以，对于，则， 同理，， 所以，依上的过程，易知； 【小问2详解】 （i）若，，则，记， 若，，则，记， 若，，则，记， 令，各不相同， 则， 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，即是周期；（注意为正整数）， 综上，对任意，为数列组周期，最小正周期是3； （ii）当为偶数，不妨设，则，为正整数， 此时不存在正整数，使得数列与为同一数列，即数列组不存在周期； 当为奇数，由的每一项均为中元素，所以至多有个， 对于给定的，总存在，，使得， 下证：若时，， 事实上，设表示除以的余数， 由数列到的变换结果，知，， 不妨设，， 由，则，， 所以， 即， 结合为奇数，，，可得，则， 同理可证：对任意，均有，所以， 以此类推，有，，， 所以，对于任意均存在整数，使得， 在变化时，所有的最小公倍数，即为数列组的一个周期， 综上，数列组均存在周期时，的所有可能取值为且. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问，注意，各不相同，有，二小问，讨论的奇偶性，其中为奇数的情况下证明时，为关键. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ， 把代入消y得， 由题意知.设，，， 则由韦达定理可知，， 则， 所以， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， 又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称. ；②是定值，. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，求解即可； （2）①设切线的方程为，由圆O的圆心到直线的距离公式可得，将直线的方程代入双曲线方程，由韦达定理即向量数量积的运算可得，同理可得，进而得到Q，O，R三点共线，由双曲线的对称性即可得证； ②由，可得，再利用向量数量积的运算及圆的性质即可得解. 【小问1详解】 由双曲线C的渐近线方程，可知，即. 把点带入双曲线C的方程得，由，解得， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②是定值，证明如下： 连接，，，由①知：，，所以， 所以，所以为定值. 【点睛】关键点睛：将直线方程代入双曲线方程，借助韦达定理推出是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省绵阳市普明中学校高2025届（高三）二模考试数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（ ） A. 取得最小值时， B. 与圆相切时， C. 当时， D. 的最大值为 10. 如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4 D. 若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是 11. 已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（ ） A. 图形内部空白区域的面积最小值为 B. 图形上的点到原点的最小距离为 C. 当时，图形关于对称 D. 当时，图形内外边界的长度和为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为12，则_________． 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___． 14. 四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 如图所示的多面体是由正四棱台和正四棱柱（正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知，是上一动点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 18. 设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. （1）若数列，求数列； （2）若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $