精品解析：河南省郑州市金水区2024-2025学年九年级下学期第一次数学试题试卷

2024-2025学年九年级下学期第一次模拟数学试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一 、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列与1.3米最接近的是（ ） A. 人的皮肤的厚度 B. 楼房的高度 C. 地球的半径 D. 书桌的高度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体长度的估算，根据生活实际即可解答，有1.3米的概念是解题的关键． 【详解】解：与1.3米最接近的是书桌的高度， 故选：D． 2. 记者4月3日从河南省林业局获悉，截至3月28日，2024年全省已完成造林63.39万亩（1亩≈667 平方米）、整地10.76万亩，其中人工造林完成23.34万亩，占全年任务的．数据“23.34万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：23.34万， 故选：C． 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形． 故选：C． 4. 一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，分别求出四个不等式的解集，与数轴对照即可，熟练计算不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：图中数轴表示的解集为 A、解，可得，不符合题意； B、解，可得，不符合题意； C、解，可得 ，符合题意； D、解，可得，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点 ，求得，利用平行线的性质即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点 ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 6. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：）关于滑行时间t（单位：）的函数表达式是，则在飞机着陆滑行中，最后 滑行的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先确定飞机最大滑行时间和滑行时间，然后确定最后4秒滑行的距离，熟练计算二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：， 飞机滑行，滑行， 当时，， ， 最后 滑行的距离是， 故选：C． 7. 八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如 图（1）所示的八卦图中每一卦由“—”和“--”组成．小明制作了如图（2）所示的4张方形卡片和4 张圆形卡片（方形卡片、圆形卡片的背面均相同），4张方形卡片上分别画有乾、坤、震、巽四卦，4张圆 形卡片上分别画有坎、艮、离、兑四卦．小明将这些卡片背面朝上洗匀，并从方形卡片中随机抽取一张，从圆形卡片中随机抽取一张，则抽到的两张卡片上的卦中都只有1根“—”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率，根据图意方形卡片中震符合题意，圆形卡片中只有坎，艮符合题意，只有列出所有等可能情况，找出符合题意的情况，用概率公式求出即可，正确列表是解题的关键． 【详解】解：根据图意方形卡片中震符合题意，圆形卡片中坎，艮符合题意， 列表如下： 乾 坤 震 巽 坎 （乾，坎） （坤，坎） （震，坎） （巽，坎） 艮 （乾，艮） （坤，艮） （震，艮） （巽，艮） 离 （乾，离） （坤，离） （震，离） （巽，离） 兑 （乾，兑） （坤，兑） （震，兑） （巽，兑） 总共有16种等可能情况，符合情况的有2中， 则抽到的两张卡片上的卦中都只有1根“—”的概率为， 故选：A． 8. 将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作右下角正六边形的外接圆，连接， ，，设和 相交于点G，先证明A、E、C三点共线，然后证明，再根据垂径定理和圆周角定理，逐步求出 和 的长，最后根据正切函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：作右下角正六边形的外接圆，连接， ，，设和 相交于点G， 根据正六边形的性质，可得，， ， ， A、E、C三点共线， ∵， ， ， ， 是的直径， ，， 是等边三角形， ， 设， 则， 是的直径，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，圆周角定理，三角函数的定义等知识，熟练掌握有关正多边形的解题方法是解题的关键． 9. 如图（1）所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器．机器人在 除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．为研究滚 刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷 的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到如图（2）所示的关系图，规定除尘能力C 超过36%即为及格．则下列说法正确的是（ ） A. 除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B. 除尘能力与滚刷的滚速成正比 C. 当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的识别，熟练掌握反比例函数图象上越来越靠近坐标轴是关键． 根据题意和图象，分别分析判断各选项正误即可． 【详解】解：A、反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意； B、随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，但成正比例是一条直线，而图中是一条曲线，故说法错误，不符合题意； C、当滚速为1300转/分时，除尘能力为35.5不及格，故说法错误，不符合题意； D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分，故说法正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，解方程即可，注意不等于0的情况是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得 ， 根据一元二次方程的定义， 且， 则整数k 的最小值为， 故答案为：． 12. 孟津梨，河南省洛阳市孟津区特产，全国农产品地理标志．幸福村张大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种 了500棵孟津梨树，今年进入结果期，他随机选取了8棵梨树，采摘后分别称重．每棵梨树果子的总质量（单位：）分别为30，40，50，35，45，40，45，35，则这500棵梨树的果子总质量约为______． 【答案】20000 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．先求出8棵梨树的平均产量，即可得出这500棵梨树的果子总质量． 【详解】解：8棵梨树的平均产量为：（）， 那么这500棵梨树的果子总质量约为， 故答案为：20000． 13. 如图，等边三角形的顶点A在x轴上， 轴，．直线与 交于点P，且，则点B的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点 作的垂线段，交于点 ，过点作的垂线段交于点 ，延长 交于点 ，可求得点 的纵坐标，利用相似三角形的性质得到点的纵坐标，代入解析式可得点的坐标，即可得到点 的坐标，作出辅助线熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点 作的垂线段，交于点 ，过点作的垂线段交于点 ，延长 交于点 ， 三角形为等边三角形，， ， 轴，， ， 四边形 为矩形， ，， ， ， ， ， 把代入， 可得， 解得， , ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在 中，，点D为的中点，点M，N分别是边上的动点，且，点P是 的中点，连接，则： ①的最小值为________ ； ②当最大时，线段 的长是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了点到圆距离的最值，三角形的中位线，切线的性质，斜边上中线等于斜边一半，得点的运动轨迹为圆是解题的关键． ①连接，可得点的运动轨迹为圆，即可求得的最小值； ②可得与圆相切时，最大，再求得 即可． 【详解】解：如图，连接，， 点P是 的中点，，， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上， 当三点共线时，最小， ， 点D为的中点， ， 的最小值为， ②解：当最大时，即点 到直线的距离最大， 如图，当 与圆 相切时，最大， ， 过点作交于点 ， , ，， ， 是的中位线， ， ， 故答案为： ；． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 15. 计算或解方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可； （2）利用代入消元法即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 由①得， 把③代入②可得， 解得， 把代入，可得 ， 原方程组的解为． 16. 偃师二里头遗址、偃师商城遗址、洛阳东周王城遗址、汉魏洛阳故城遗址、隋唐洛阳城遗 址……在河南洛阳，洛河沿岸50千米范围内密集分布着五大都城遗址，勾勒出神州大地上早期王朝的起源．某校团委举办“名城洛阳，文化古都”作文写作大赛，满分100分，学生得分均为整数，成绩达60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀．这次大赛中八、九年级各有10名学生参加，成绩分布的条形统计图如图所示． 根据以上信息完成下列问题． （1）补充完成如下的成绩统计分析表． 组别 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 八年级 68 276 九年级 72 75 196 （2）小明同学对小刚同学说：“虽然这次大赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你 们年级的排名靠前！”观察上表可知，小明是 学生． （填“八年级”或“九 年级"） （3）结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好．请你给出两条支持自己观点的理由． 【答案】（1） （2）八年级 （3） 九年级成绩较好， 理由：①九年级成绩的平均数、中位数均高于八年级；②九年级成绩的方差比八年级的小，说明九年级成绩更集中、稳定． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，涉及中位数的意义，方差，平均数，解决本题的关键是正确理解中位数在实际问题中的意义． （1）从条形统计图中八年级学生成绩排列出来，然后根据中位数的定义即可求解，求出九年级合格人数，即可求解合格率； （2）根据八年级、九年级的中位数，再结合小明同学的成绩即可得出答案； （3）从中位数，平均数和方差三个角度分析即可． 【小问1详解】 解：八年级的成绩排列为： ， ∴中位数为： ， 九年级合格人数为 人， ∴合格率为： ， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：由于八年级的中位数小于九年级的中位数， ∴小明是八年级学生， 故答案为：八年级； 【小问3详解】 略 17. 如图，反比例函数 的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的表达式； （2）在第一象限中，反比例函数的图象交网格线于A，B两点，作射线，在图中用直尺和铅笔画一个平行四边形，该平行四边形满足以下两个条件： ① 点A，B为该平行四边形的两个顶点； ②平行四边形的另外两个顶点在反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2） 解：如图所示，该平行四边形即为所作： 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质： （1）由坐标系可得，将代入即可求解； （2）根据反比例函数的中心对称性可得延长与第三象限反比例函数图象相交即可，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可说理． 【小问1详解】 解：由坐标系可得， 将代入得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 略 18. 如图，在正方形 中，点E为对角线 上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点E作的垂线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证： ． 【答案】（1） 解：如图，即为所作： （2） 证明：过点E作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）按照作垂线步骤即可作图； （2）过点E作交的延长线于点N，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某种装置由两个厚度均为的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中，所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为，的半径为．将该装置放置在水平桌面 上，与桌面的接触点为P．装置内部存有一定液体，液面记为，已知，内侧金属块可转动一定的角度． （1）当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接．求证：． （2）如图3，当内侧金属块转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面的长． 【答案】（1） 证明：如图（1），连接， 由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意知，再证明即可； （2）连接 交于点G，则 经过点O，由题意得：与 相切于点P，那么，可得，连接，则，那么，可得，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图（2），连接 交于点G，则 经过点O， 由题意得：与 相切于点P， ∴， 又， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． 20. 如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度 的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度 的长．（结果精确到；参考数据：） 【答案】此时顶部边缘处离桌面的高度 的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ， 在中，， ∴此时顶部边缘处离桌面的高度 的长约为． 21. 小明同学练习推铅球，从推出到铅球触地过程中，铅球的竖直高度和水平距离近似满足函数关系．某次训练，铅球的水平距离和竖直高度的几组对应数据 如下： 水平距离 0 1.2 2 3 3.8 4.2 m 竖直高度 1.7 2.38 2.7 2.95 3.03 3.03 2.95 根据上述数据，回答下列问题： （1）表格中的 ． （2）求满足条件的抛物线的表达式． （3）若铅球落地后的水平距离与对应分值 （分）之间满足，请计算小明这次铅球训练的成绩（结果精确到0.1分．参考数据） 【答案】（1） （2） （3）小明这次铅球训练的成绩为分 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由数据中 值相同，可得对应的点关于对称轴对称，即可求得对称轴，再求 即可； （2）利用待定系数法即可解答； （3）求得落地的落地后的水平距离，代入函数即可解答． 【小问1详解】 解：根据表格可得 和时， 值相同， 抛物线的对称轴为直线， ，解得 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 故设， 把代入可得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：当时，可得， 解得（舍去）， 把代入， 可得分， 故小明这次铅球训练的成绩为分． 22. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片 对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点 ． 第二步：如图（2），在上取一点 ，沿折叠矩形 ，点 的对应点为 ，延长 交于点 ，将纸片沿过点 的直线折叠，使点 的对应点落在上，折痕与交于点 ． （1）【初步发现】探究图（2）中和 的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下， 矩形 ， ， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点 作于点 ，则，再证明，得到，，证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如备用图（1）， ， ， ， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点 作于点 ， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期第一次模拟数学试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一 、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列与1.3米最接近的是（ ） A. 人的皮肤的厚度 B. 楼房的高度 C. 地球的半径 D. 书桌的高度 2. 记者4月3日从河南省林业局获悉，截至3月28日，2024年全省已完成造林63.39万亩（1亩≈667 平方米）、整地10.76万亩，其中人工造林完成23.34万亩，占全年任务的．数据“23.34万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 4. 一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：）关于滑行时间t（单位：）的函数表达式是，则在飞机着陆滑行中，最后 滑行的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如 图（1）所示的八卦图中每一卦由“—”和“--”组成．小明制作了如图（2）所示的4张方形卡片和4 张圆形卡片（方形卡片、圆形卡片的背面均相同），4张方形卡片上分别画有乾、坤、震、巽四卦，4张圆 形卡片上分别画有坎、艮、离、兑四卦．小明将这些卡片背面朝上洗匀，并从方形卡片中随机抽取一张，从圆形卡片中随机抽取一张，则抽到的两张卡片上的卦中都只有1根“—”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （ ） A. B. C. D. 9. 如图（1）所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器．机器人在 除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．为研究滚 刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷 的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到如图（2）所示的关系图，规定除尘能力C 超过36%即为及格．则下列说法正确的是（ ） A. 除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B. 除尘能力与滚刷的滚速成正比 C. 当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是_______． 12. 孟津梨，河南省洛阳市孟津区特产，全国农产品地理标志．幸福村张大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种 了500棵孟津梨树，今年进入结果期，他随机选取了8棵梨树，采摘后分别称重．每棵梨树果子的总质量（单位：）分别为30，40，50，35，45，40，45，35，则这500棵梨树的果子总质量约为______． 13. 如图，等边三角形的顶点A在x轴上， 轴，．直线与 交于点P，且，则点B的坐标为___． 14. 如图，在 中，，点D为的中点，点M，N分别是边上的动点，且，点P是 的中点，连接，则： ①的最小值为________ ； ②当最大时，线段 的长是_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 15. 计算或解方程组： （1）； （2） 16. 偃师二里头遗址、偃师商城遗址、洛阳东周王城遗址、汉魏洛阳故城遗址、隋唐洛阳城遗 址……在河南洛阳，洛河沿岸50千米范围内密集分布着五大都城遗址，勾勒出神州大地上早期王朝的起源．某校团委举办“名城洛阳，文化古都”作文写作大赛，满分100分，学生得分均为整数，成绩达60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀．这次大赛中八、九年级各有10名学生参加，成绩分布的条形统计图如图所示． 根据以上信息完成下列问题． （1）补充完成如下的成绩统计分析表． 组别 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 八年级 68 276 九年级 72 75 196 （2）小明同学对小刚同学说：“虽然这次大赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你 们年级的排名靠前！”观察上表可知，小明是 学生． （填“八年级”或“九 年级"） （3）结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好．请你给出两条支持自己观点的理由． 17. 如图，反比例函数 的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的表达式； （2）在第一象限中，反比例函数的图象交网格线于A，B两点，作射线，在图中用直尺和铅笔画一个平行四边形，该平行四边形满足以下两个条件： ① 点A，B为该平行四边形的两个顶点； ②平行四边形的另外两个顶点在反比例函数的图象上． 18. 如图，在正方形 中，点E为对角线 上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点E作的垂线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证： ． 19. 某种装置由两个厚度均为的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中，所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为，的半径为．将该装置放置在水平桌面 上，与桌面的接触点为P．装置内部存有一定液体，液面记为，已知，内侧金属块可转动一定的角度． （1）当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接．求证：． （2）如图3，当内侧金属块转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面的长． 20. 如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度 的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度 的长．（结果精确到；参考数据：） 21. 小明同学练习推铅球，从推出到铅球触地过程中，铅球的竖直高度和水平距离近似满足函数关系．某次训练，铅球的水平距离和竖直高度的几组对应数据 如下： 水平距离 0 1.2 2 3 3.8 4.2 m 竖直高度 1.7 2.38 2.7 2.95 3.03 3.03 2.95 根据上述数据，回答下列问题： （1）表格中的 ． （2）求满足条件的抛物线的表达式． （3）若铅球落地后的水平距离与对应分值 （分）之间满足，请计算小明这次铅球训练的成绩（结果精确到0.1分．参考数据） 22. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片 对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点 ． 第二步：如图（2），在上取一点 ，沿折叠矩形 ，点 的对应点为 ，延长 交于点 ，将纸片沿过点 的直线折叠，使点 的对应点落在上，折痕与交于点 ． （1）【初步发现】探究图（2）中和 的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $