1.2 整式的乘法及乘法公式 学案 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

1.2整式的乘法及乘法公式（适用于培优） 内容：一、整式乘除法的运用 二、平方差公式 三、完全平方公式 四、配方法 五、扩展公式 一、整式乘除法的运用 例1.（降次法与整体替换）（1）已知，求的值. （2）已知关于的方程，求 . 例2. (待定系数法) 已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值. 例3.(赋值法) 若， 则的值为多少? 例4.给出如下定义：．若乘以的结果为，则的值为________________. 1.已知，求的值. 2.已知除以，其余数较被除所得的余数多3，求的值. 3. 若，求，，的值 4．关于的代数式的化简结果为，其中，，，都是整数，则的值为_________. 5．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 若的展开式中不含的项，则代数式的值为________. 二、平方差公式 例1.基本运算 ① ； ② ； ③已知，则 ； ④计算： ． ⑤计算：． ⑥ 例2.已知，则的值为_________________. 例3．学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现： ； ； ； 请你利用发现的规律计算： ． 例4.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32，15＝42﹣12，21＝52﹣22，27＝62﹣32…）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第 个“智慧数”；第2021个“智慧数”是 ． 例5. （换元法）若，，试比较M，N的大小． ． 1．若，求代数式的值． 2.计算 3. 已知，则 4.已知实数x、y，满足，则___________； 5．如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，，以此类推，当时，的面积记为，则______________.    6.若，，则P___________Q．（填“>”或“＜”） 三、完全平方公式 例1.基本运算 （1） ; （2） ． (3) 若．则 ． 例2.若是完全平方式，则的值为 ．； 例3.将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ． 例4.将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，可以添加那些？ 1.计算（1） (2)． 2．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 3．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使得A=B2， 则称A是完全平方式，例如a4=（a2）2 ， 4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2 ． （1）下列各式中完全平方式的编号有________ ； ①a6；②a2+ab+b2；③x2﹣4x+4y2④m2+6m+9；⑤x2﹣10x﹣25；⑥4a2+2ab+．      （2）若4x2+xy+my2和x2﹣nxy+64y2都是完全平方式，求m2015•n2016的值；     （3）多项式49x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请罗列出所有可能的情况，直接写出答案） 四、配方法 例1.已知x、y满足，求的值． 例2.求代数式的最小值. 例3.配方法分解因式：. 例4.已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明理由． 例5..已知，求的值； 例6.已知，求的值； 例7.若，，求的值． 1. 已知，求的值； 2.已知，求的值； 3.当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 4.用配方法因式分解：； 5.代数式的最_______（填小或大）值，并写出相应的x的值为_______； 6.已知是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 7.比较代数式与的大小，并说明理由． 8.如图，在中，，点在边上以/的速度从点向移动，点在边上以/的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．    9.已知，，求的值． 五、扩展公式 例1. 已知，且，则等于 ． 例2．若，且，则的值为 ． 例3若，，，请求出的值． 1.已知，，，计算的值，． 2.若，，，求的值． 3.已知，，求的值． 作业练习： 1．设（其中，，是常数），则的值是____________. 2．在数学综合与实践课上，老师给出了一组等式：，，，根据你的观察，则： ． 3.（1）计算 ； （2）计算：     （3） ． 4．已知，则 ． 5.(秒算)已知（x﹣3）（x＋2）＝x2＋mx﹣n，则m的值为 n的值为 ． 7.已知：，，且，则与的大小关系是 ． 8.定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式 ；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则 ． 9.已知实数m，n满足，试求的值为 ． 10．阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号来表示，当时，该多项式的值就表示为．例如：，当时，该多项式的值为．【材料2】当一个多项式除以时，所得的余数就等于．例如，当多项式除以时，所得的余数就等于．根据以上材料回答问题：已知多项式，则 ，除以时所得的余数等于 ；已知多项式（m、n为常数），若除以时所得余数为7，除以时所得余数为3，则的值为 ． 11.(1)已知，的值为 ． (2)已知的三边长是a、b、c互不相等的正整数，且满足．周长为 ．．(注：三角形任意两边之和大于第三边) (3)已知，，的值为 ． 12.已知． ①若，，则代数式________； ②若，求代数式的最小值． 13.若，，，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$