精品解析：山东省德州市乐陵市2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

七年级期末数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分；共48分） 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 2. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截至2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 与3 B. 与 C. 与 D. 与 5. 如图是由6个相同小立方块搭成的几何体，从上面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 6. 计算（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 8. 如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的（ ）方向． A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 北偏西 9. 某同学假期提交完成作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（ ） 3.8963（精确到百分位） 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A. 1道 B. 2道 C. 3道 D. 4道 10. 如图所示，点在线段上，，，点，分别是中点．则的长度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（ ） A. B. C. D. 12. 一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（ ） A. 16秒 B. 秒 C. 32秒 D. 秒 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 写出一个关于x一元一次方程是___________________． 14. 小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理：______． 15. 一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数为______． 16. 某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价（单位：元）与日销数量（单位：个）之间有如下关系，请用式子表示与的关系______． 日销售单价元 … 3 4 5 6 … 日销售量个 … 20 15 12 10 … 17. 若多项式与和的值与所取的值无关，则的值是______． 18. 如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第7个五边形数是__． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）每本数学课本的厚度是 cm； （2）若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含的整式表示）； （3）现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度． 22. 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元． （1）甲种商品每件的进价为______元． （2）若该商场问时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明购买了甲种商品，实际付款432元，求小明在该商场购买甲种商品多少件？ 23. 已知为直线上的一点，，射线平分． （1）如图①中，若，则______，______； （2）将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）． 24. 定义如下：存在数，，使得等式成立，则称数，为一对“互助数”，记为．比如：是一对“互助数”． （1）若是一对“互助数”，则的值为______； （2）若是一对“互助数”，求代数式的值； （3）若是一对“互助数”，求代数式的值． 25. 如图，数轴上两点表示的数分别为a、b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． （1）求的长． （2）求当t为何值时，点P到原点的距离是点Q到原点距离的2倍，求t的值； （3）当P，Q开始运动时，有一个动点C同时从该数轴上表示的点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，若的值不随时间t变化而变化，求常数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级期末数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分；共48分） 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的比较大小，理解并掌握有理数比较大小的方法是解题关键．有理比较大小的方法：正数总是大于0，负数总是小于0；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此比较各数大小，即可获得答案． 【详解】解：比较有理数、0、、4， 可得， 所以，最小的数是． 故选：A． 2. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴得：，，再根据绝对值的性质，有理数的加法，乘法法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，，故B选项正确，符合题意； ∴，，，故C，D选项错误，不符合题意； ∴，故A选项错误，不符合题意； 故选：B 3. 2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截至2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 与3 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数、化简绝对值、乘方运算、化简多重符号等知识，熟练掌握相反数的定义是解题关键．只有符号不同的两个数叫互为相反数．结合相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故与3不是相反数，本选项不符合题意； B. ，，故与不是相反数，本选项不符合题意； C. ，且4与互为相反数，故与互为相反数，本选项符合题意； D. 与不是相反数，本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，从上面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从上面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列和第二列有两个小正方形，第三列上面有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解：根据题意得，从上面看到的形状图是 ． 故选：C． 6. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数幂，根据相同的数相加，用乘法，相同的数相乘用乘方，进行作答即可． 【详解】解：； 故选D． 7. 如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体展开图、相反数、代数式求值等知识，确定的值是解题关键．首先根据题意可知1与相对，2与相对，与相对，结合倒数的定义解得的值，然后代入求解即可． 【详解】解：将表面展开图折叠成正方体后， 可知1与相对，2与相对，与相对， 根据题意，相对面上的两个数互为倒数， 则有，，， 解得， ∴． 故选：D． 8. 如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的（ ）方向． A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 北偏西 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系．根据角度之间的和差关系，计算的度数，即可解答． 【详解】解：如下图， 由题意可知，，， 所以， 所以实践基地在学校的北偏西方向． 故选：D． 9. 某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（ ） 3.8963（精确到百分位） 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A 1道 B. 2道 C. 3道 D. 4道 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了近似数、单项式的系数和次数、角度换算以及同类项等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据近似数的定义、单项式的系数和次数的定义、角度换算法则以及同类项的定义，逐一分析判断，即可获得答案． 【详解】解：3.8963（精确到百分位），该题正确； 的系数是，次数是3，该题错误； 比较大小：，该题错误； 与不是同类项，该题错误． 综上所述，他做对的题数是1道． 故选：A． 10. 如图所示，点在线段上，，，点，分别是的中点．则的长度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段和与差计算、有关线段中点的计算等知识，弄清线段之间的关系是解题关键．首先解得的长度，再结合线段中点的定义可得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，分别是的中点， ∴， ∴． 故选：C． 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：， ∴列出方程为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12. 一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（ ） A. 16秒 B. 秒 C. 32秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，弄清各角之间的关系．设三角板的运动时间为秒，根据题意并利用角平分线的定义，列出关于的方程，解方程即可获得答案． 【详解】解：设三角板的运动时间为秒， 根据题意，将边绕点以每秒的速度顺时针旋转， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得秒， ∴三角板的运动时间为秒． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 写出一个关于x的一元一次方程是___________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】一元一次方程满足只有一个未知数，且次数一． 【详解】解：． 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 14. 小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理：______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：其中的道理为两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 15. 一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是补角的概念，掌握两个角的和等于，则这两个角互补是解题的关键． 【详解】解：设这个角为x， 由题意得， 解得． 故答案为：． 16. 某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价（单位：元）与日销数量（单位：个）之间有如下关系，请用式子表示与的关系______． 日销售单价元 … 3 4 5 6 … 日销售量个 … 20 15 12 10 … 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，即可求解． 【详解】解：因为， 所以x与y的乘积是相同的，均为， 所以与关系为，即． 故答案为：． 17. 若多项式与的和的值与所取的值无关，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识． 先化简代数式，根据题意可知含x项的系数为0，进而求得m，n的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵多项式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 18. 如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第7个五边形数是__． 【答案】70 【解析】 【分析】每个五边形都是从1开始，后面的数都为比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序数号，则可求出第7个五边形数. 【详解】∵第1个五边形数为1， 第2个五边形数为1+4=5， 第3个五边形数1+4+7=12， 第4个五边形数为1+4+7+10=22， ∴第5个五边形数为1+4+7+10+13=35 第6个五边形数为1+4+7+10+13+16=51 第7个五边形数为1+4+7+10+13+16+19=70. 故答案为70. 【点睛】主要考查代数式的规律探索，同时要注意图形的变化. 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）9；（2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算及一元一次方程解法，熟练掌握解题步骤是解本题的关键． （1）根据有理数混合运算顺序依次计算即可； （2）根据解一元一次方程的步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出解． 【详解】解：（1） （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去第一个括号，然后再去第二个括号，然后合并同类项，最后代入，计算即可． 【详解】解： 当时，原式 21. 七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）每本数学课本的厚度是 cm； （2）若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含的整式表示）； （3）现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，弄清高度就是数学课本的高度与讲台的高度之和是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据一本课本的厚度，课本距离地面的高度就是讲台的高度加上课本的高度； （3）叠放桌上课本的数学课本数是，即为x值，代入即可求得代数式的值． 【小问1详解】 解：一本课本的高度． 故答案为：0.5． 【小问2详解】 解：讲台高度为：， ∴整齐叠放在桌面上的数学课本距离地面的高度为． 故答案为： 【小问3详解】 解：当时， 原式 答：余下的数学课本距离地面的高度． 22. 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元． （1）甲种商品每件的进价为______元． （2）若该商场问时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明购买了甲种商品，实际付款432元，求小明在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】（1）50 （2）10件 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设甲种商品每件的进价为元，根据题意可得，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设甲种商品每件的进价为元， 根据题意，可得， 解得（元）， 所以，甲种商品每件的进价为50元． 故答案为：50； 【小问2详解】 设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得 ， 解得 ， 所以，购进甲种商品10件； 【小问3详解】 根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有，解得 ， 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有，解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，明购买了甲种商品6件． 23. 已知为直线上的一点，，射线平分． （1）如图①中，若，则______，______； （2）将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）50，40 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线的相关计算等知识，理解题意，弄清各角的关系是解题关键． （1）首先解得的度数，再根据角平分线的定义可知的值，进而由可解得的值，最后由，即可获得答案； （2）首先根据题意解得的度数，再结合角平分线的定义可知，然后由，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50，40； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 24. 定义如下：存在数，，使得等式成立，则称数，为一对“互助数”，记为．比如：是一对“互助数”． （1）若是一对“互助数”，则的值为______； （2）若是一对“互助数”，求代数式的值； （3）若是一对“互助数”，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、“互助数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“互助数”的定义得出关于b的方程，然后解方程即可； （2）根据“互助数”的定义得出关于x的方程，然后解方程求出x 的值，最后代入代数式计算即可； （3）根据“互助数”的定义，得到，最后代入化简后的代数式计算即可； 【小问1详解】 解：∵一对“互助数”， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是一对“互助数”， ∴， ∴， 当时，； 【小问3详解】 解：∵是一对“互助数”， ∴， ∴， ∴ 25. 如图，数轴上两点表示的数分别为a、b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． （1）求的长． （2）求当t为何值时，点P到原点的距离是点Q到原点距离的2倍，求t的值； （3）当P，Q开始运动时，有一个动点C同时从该数轴上表示的点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，若的值不随时间t变化而变化，求常数m的值． 【答案】（1）10 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性可得：，进而求解； （2）根据题可得点P对应的数为，点Q对应的数为，然后根据构建方程求解即可； （3）先表示出点P、Q、C分别表示的数，然后根据两点间的距离化简，结合的值不随时间t变化而变化可得关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据题意：点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵， ∴， ∴， 解得：或 【小问3详解】 根据题意：点P对应的数为，点Q对应的数为，点C对应的数为， ∴， ∵的值不随时间t变化而变化， ∴， ∴． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$