第3章 整式的乘除 知识归纳与题型训练（9类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第3章 《整式的乘除》知识归纳与题型训练（9类题型清单） 一、同底数幂乘除法 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 字母表达式： 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表达式： 3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表达式： 4.同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表达式： 5.任何不等于零的数的零次幂都等于1. 字母表达式为： 6.任何不等于零的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数。 字母表达式为： 要点诠释： （1）、同底数幂的乘法运算，归根结底是乘法运算，所以各运算规律依然跟有理数乘法相同，可以根据有理数运算中的符号规则、混合规则应用到同底数幂的乘法运算； （2）、各公式变形： ； （3）、此处的底数既可以是单项式（如单独的字母、单独的数字、数字与字母的乘积等），也可以是一个多项式； （4）、幂的运算法则，不仅要会正向使用，也要学会逆用，有时逆用法则，可以使计算简便或解决问题； （5）、有了负指数幂，就可以用科学记数法表示绝对值较小的数，所以用科学记数法表示较大或较小的数的表达式为： 二、单项式的乘法 1.单项式与单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 例： 三、多项式的乘法 多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式： 要点诠释： （1）、多项式与多项式相乘的结果中如果有同类项，要合并同类项。 （2）、常用计算公式： （3）、多项式乘多项式的计算，遵循原则——每一项都要“见面”，计算中要特别注意符号的正负； 四、乘法公式 1、平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 字母表达式： 2、完全平方公式： 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 字母表达式： 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 字母表达式： 要点诠释： （1）、平方差公式中的底数只需满足：一个系数相同，另一个系数相反。且系数相同项也可以是同为负数。公式中的底数可以是是符合上述关系的多项式； （2）、完全平方公式记忆口诀：首平方，尾平方，乘积二倍放中央； （3）乘法公式同幂的运算法则一样，不仅要会正向使用，也要学会逆用； 五、整式的化简 整式化简的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号里面的。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。 要点诠释： （1）整式的化简其实是整式的乘除、去括号法则、合并同类项法则的综合运用，所以计算过程中，要特别注意对应项的易错点。 （2）遇到化简求值问题时，必须先化简，再求值. 六、整式的除法 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 字母表达式： 题型一　同底数幂的乘法 例题： 1．（2024春•东阳市月考）计算x3•x3的结果是（　　） A．2x3 B．x6 C．2x6 D．x9 【分析】根据同底数幂的运算法则计算． 【解答】解：x3•x3＝x6， 故选：B． 2．（2024•镇海区校级模拟）若3x+3＝243，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用同底数幂的乘法的法则可求得3x的值，从而可求解． 【解答】解：∵3x+3＝243， ∴3x×33＝243， 27×3x＝243， 3x＝9， ∴． 故选：A． 3．（2024春•奉化区校级期中）若ax＝3，ay＝2，则ax+y＝　6　． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵ax＝3，ay＝2， ∴ax+y＝ax×ay ＝3×2 ＝6． 故答案为：6． 4．（2024春•宁海县期中）若2x+y﹣3＝0，则52x•5y＝　125　． 【分析】由已知条件得2x+y＝3，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【解答】解：∵2x+y﹣3＝0， ∴2x+y＝3， ∴52x•5y ＝52x+y ＝53 ＝125． 故答案为：125． 巩固训练 5．（2023•鹿城区校级二模）计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6． 故选：B． 6．（2024春•平湖市期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若f（4）＝k（k≠0），那么f（2024）的结果是（　　） A．2024k B．k2024 C．506k D．k506 【分析】根据新定义将f（2024）进行分解，再求解即可． 【解答】解：∵f（m+n）＝f（m）•f（n），f（4）＝k（k≠0）， ∴f（4）•f（4）•...•f（4）＝k•k•k•...•k＝k506， 故选：D． 7．（2024春•西湖区校级期中）计算：a•（﹣a）2•a3＝　a6　． 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝a•a2•a3＝a6． 故答案为：a6． 8．（2024春•上城区期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8，记作[2，8]＝3． （1）根据以上规定求出：[4，64]＝　3　；[2024，1]＝　0　； （2）小明发现[5，3]+[5，4]＝[5，12]也成立，并证明如下： 设：[5，3]＝x，[5，4]＝y， ∴5x＝3，5y＝4， 5x•5y＝5x+y＝12， ∴[5，12]＝x+y， ∴[5，3]+[5，4]＝x+y＝[5，12]． 根据以上证明，请计算[2024，6]+[2024，7]＝[2024，　42　]． （3）猜想[4，14]﹣[4，7]＝[4，　2　]，并说明理由． 【分析】（1）根据如果ac＝b，那么[a，b]＝c，正确将原式进行变形即可得出答案； （2）设[2024，6]＝m，[2024，7]＝n，则2024m＝6，2024n＝7，再根据同底数幂的乘法得到202442＝m+n，进而得到202442＝m+n，最终得出答案； （3）设[4，14]＝a，[4，7]＝b，则4a＝14，4b＝7，根据同底数幂的除法可得[4，2]＝a﹣b，进而可得出答案． 【解答】解：（1）设[4，64]＝x， 则4x＝64， ∴x＝3， 设[2024，1]＝y， 则2024y＝1， ∴y＝0． 故答案为：3；0． （2）设[2024，6]＝m，[2024，7]＝n， 则2024m＝6，2024n＝7， ∴2024m•2024n＝2024m+n＝42， ∴202442＝m+n， ∴[2024，6]+[2024，7]＝[2024，42]． 故答案为：42． （3）设[4，14]＝a，[4，7]＝b， ∴4a＝14，4b＝7， ∴4a÷4b＝4a﹣b＝14÷7＝2， ∴[4，2]＝a﹣b， ∴[4，14]﹣[4，7]＝[4，2]． 故答案为：2． 题型二　幂的乘方与积的乘方 例题： 1．（2024•义乌市校级开学）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方进行计算，再得出选项即可． 【解答】解：A．x2和x3不能合并，故本选项不符合题意； B．x2•x3＝x5，故本选项不符合题意； C．x3÷x2＝x，故本选项符合题意； D．（2x2）3＝8x6，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024春•西湖区校级期中）已知mx＝2，my＝5，则m2x+y值为（　　） A．9 B．20 C．45 D．m9 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵mx＝2，my＝5， ∴m2x+y＝m2x•my ＝（mx）2•my ＝22×5 ＝4×5 ＝20， 故选：B． 3．（2024春•下城区校级月考）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝27×3，得到a+2c＝7，b＝1，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝27×3， ∴a+2c＝7，b＝1， ∵a，b，c为正整数， ∴当c＝1时，a＝5； 当c＝2时，a＝3； 当c＝3时，a＝1， ∴a+b+c不可能为8． 故选：D． 4．（2024秋•江岸区校级期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　a3b2　． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：32n＝25n＝b， 则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2． 故答案为：a3b2． 5．（2023春•吴兴区校级期中）已知x+4y﹣3＝0，则2x•16y的值为　8　． 【分析】由x+4y﹣3＝0，可求得x+4y＝3，又由2x•16y＝2x+4y，即可求得答案． 【解答】解：∵x+4y﹣3＝0， ∴x+4y＝3， ∴2x•16y＝2x•24y＝2x+4y＝23＝8． 故答案为：8． 6．（2024春•金华期中）（1）如果23×2n＝28，则n＝　5　.（2）　1　． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可； （2）利用积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）∵23×2n＝28， ∴23+n＝28， ∴3+n＝8， 解得：n＝5； 故答案为：5； （2） ＝（）2018 ＝（﹣1）2018 ＝1． 故答案为：1． 7．（2024春•拱墅区校级月考）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值； （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 【分析】（1）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）∵9x＝36， ∴32x＝36， ∴2x＝6， 解得：x＝3； （2）∵3x+2﹣3x+1＝18， ∴3x+1×3﹣3x+1＝18， 2×3x+1＝2×32， ∴x+1＝2， 解得：x＝1； （3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x， ∴n＝（2x）2+2x ＝2x（2x+1） ＝m2x ＝m（m﹣1） ＝m2﹣m． 巩固训练 8．（2024春•娄星区校级期末）下列计算错误的是（　　） A．（a2）5＝a10 B．m7•m＝m8 C．（3cd）3＝9c3d3 D．3a2﹣4a2＝﹣a2 【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可． 【解答】解：A、（a2）5＝a2×5＝a10，故本选项不合题意； B、m7•m＝m1+7＝m8，故本选项不合题意； C、（3cd）3＝27c3d3，故本选项符合题意； D、3a2﹣4a2＝﹣a2，故本选项不合题意； 故选：C． 9．（2024春•江干区校级期末）已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】将4m×8n变形为22m+3n，然后代入求值即可． 【解答】解：∵2m+3n＝3， ∴4m×8n ＝（22）m×（23）n ＝22m×23n ＝22m+3n ＝23 ＝8， 故选：C． 10．（2024春•绍兴期中）已知（3a）2＝36，35+35+35＝3b，则a+b的值是（　　） A．19 B．18 C．9 D．7 【分析】根据幂的乘方法则计算即可求出a的值，根据相同加数的意义即可求出b的值，从而求出a+b的值． 【解答】解：∵（3a）2＝36， ∴32a＝36， ∴2a＝6， ∴a＝3， ∵35+35+35＝3b， ∴3×35＝3b， ∴36＝3b， ∴b＝6， ∴a+b＝3+6＝9， 故选：C． 11．（2024春•西湖区校级期中）计算：　﹣5　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝﹣（）2023×52023×5 ＝﹣（5）2023×5 ＝﹣1×5 ＝﹣5． 故答案为：﹣5． 12．（2024春•义乌市期末）若实数m，n满足2n﹣m﹣1＝0，则4m÷16n＝　　． 【分析】先根据已知条件求出m﹣2n的值，然后把所求幂的底数变成4，再利用同底数幂相除法则进行计算，最后把m﹣2n的值代入进行计算即可． 【解答】解：∵2n﹣m﹣1＝0， ∴2n﹣m＝1， ∴m﹣2n＝﹣1， ∴4m÷16n ＝4m÷（42）n ＝4m÷42n ＝4m﹣2n ＝4﹣1 ， 故答案为：． 13．（2024春•桐乡市校级月考）计算： （1）（﹣2）2×（﹣2）3； （2）． 【分析】（1）根据乘方的定义求出每个幂，再相乘即可求解； （2）利用积的乘方、幂的乘方运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：（1）原式＝4×（﹣8） ＝﹣32； （2）原式 ． 题型三　同底数幂的除法 例题： 1．（2024•宁波模拟）下列各式计算结果为a6的是（　　） A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）4÷a2 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可判断选项A；根据合并同类项法则即可判断选项B；根据同底数幂的除法即可判断选项C；根据幂的乘方和同底数幂的除法即可判断选项D． 【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不符合题意； B．a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意； C．a12÷a2＝a12﹣2＝a10，故本选项不符合题意； D．（a2）4÷a2 ＝a8÷a2 ＝a6，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2024春•东阳市期末）若2x＝3，4y＝2，则22y﹣x等于（　　） A．1 B． C． D．6 【分析】先利用同底数幂除法逆运算法则化为除法，再利用幂的乘方逆运算变形22y＝（22）y＝4y，代入计算即可． 【解答】解：∵2x＝3，4y＝2， ∴． 故选：C． 3．（2025•杭州开学）（1）若am＝6，an＝2，则am﹣2n的值为 　　； （2）若256x＝23•211，则x＝ 　　． 【分析】（1）利用同底数幂的除法逆运算及幂的乘方的逆运算计算即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）（28）x＝214， ∴28x＝214， ∴8x＝14， ∴， 故答案为：． 4．（2024春•西湖区校级月考）（1）已知（am）n＝a2，22m÷22n＝29．①）求mn和m﹣n的值．②求m2+n2﹣mn的值． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m．请用含x的代数式表示y；如果x＝4，求此时y的值 【分析】（1）①根据幂长乘方法则即可得出mn的值，根据同底数幂的除法法则即可得出m﹣n的值；②根据完全平方公式即可求值； （2）由x＝2m+1得出2m＝x﹣1，再将y＝3+4m变形为y＝3+（2m）2，然后代入求值即可． 【解答】解：（1）①∵（am）n＝a2， ∴amn＝a2， ∴mn＝2， ∵22m÷22n＝29， ∴22m﹣2n＝29， ∴2m﹣2n＝9， ∴m﹣n； ②由①得，mn＝2，m﹣n， ∴m2+n2﹣mn ＝（m﹣n）2+mn ； （2）∵x＝2m+1，y＝3+4m， ∴2m＝x﹣1， ∴y＝3+（22）m ＝3+（2m）2 ＝3+（x﹣1）2 ＝x2﹣2x+4， 当x＝4时，y＝42﹣2×4+4＝12． 巩固训练 5．（2024春•诸暨市期末）已知3a÷3b＝9，ab＝3，则a+b的值为（　　） A．16 B．4 C．﹣4 D．±4 【分析】根据同底数幂的除法可得a﹣b＝2，两边同时平方可得a2+b2＝10，从而可以解答． 【解答】解：∵3a÷3b＝9， ∴3a﹣b＝32， ∴a﹣b＝2， ∴a2﹣2ab+b2＝4， ∵ab＝3， ∴a2+b2＝10， ∴a2+2ab+b2＝10+6＝16， ∴a+b＝±4． 故选：D． 6．（2024春•东阳市期中）若4m＝18，8n＝9，则22m﹣3n+1的值为（　　） A．11 B．3 C．4 D．164 【分析】将22m﹣3n+1变形为22m÷23n×2，进一步变形为（22）m÷（23）n×2，再代入计算即可． 【解答】解：∵4m＝18，8n＝9， ∴22m﹣3n+1 ＝22m÷23n×2 ＝（22）m÷（23）n×2 ＝4m÷8n×2 ＝18÷9×2 ＝4， 故选：C． 7．（2024春•柯桥区期末）已知二元一次方程2x﹣3y﹣4＝0，求32x÷33y＝　81　． 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵2x﹣3y﹣4＝0， ∴2x﹣3y＝4， ∴32x÷33y＝32x﹣3y＝34＝81， 故答案为：81． 8．（2024春•西湖区校级月考）①若3x＝4，9y＝7，则3x+2y＝　28　，3x﹣2y＝　　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘除法运算法则计算即可． 【解答】解：∵3x＝4，9y＝7， ∴3x+2y ＝3x•32y ＝3x•9y ＝4×7 ＝28； 3x﹣2y ＝3x÷32y ＝3x÷9y ， 故答案为：28；． 题型四　单项式乘单项式、单项式乘多项式 例题： 1．（2024•海宁市校级模拟）化简（﹣2a）3•a＝（　　） A．﹣8a4 B．﹣8a3 C．﹣6a4 D．﹣6a3 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式的乘法法则计算即可． 【解答】解：（﹣2a）3•a＝﹣8a3•a＝﹣8a4． 故选：A． 2．（2024春•鹿城区校级期中）计算：　5b5　． 【分析】单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可． 【解答】解：5b5， 故答案为：5b5． 3．（2024春•浙江期中）计算：　2x2﹣x　． 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣x， 故答案为：2x2﹣x． 4．（2024秋•玉环市期中）计算： （1）x2•x4+（x2）3； （2）4x2y•（﹣2xy2）3． 【分析】（1）先根据同底数幂相乘法则和幂的乘方法则计算乘方和乘法，再合并同类项即可； （2）先根据积的乘方法则和幂的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则计算乘法即可（　　） 【解答】解：（1）原式＝x6+x6 ＝2x6； （2）原式＝4x2y•（﹣8x3y6） ＝﹣32x5y7． 巩固训练 5．（2024春•鹿城区校级期末）计算3y2•（﹣y）的结果是（　　） A．﹣3y3 B．3y3 C．﹣3y D．3y 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：3y2•（﹣y）＝﹣3y3， 故选：A． 6．（2024春•浙江期中）计算：2a2b•3a＝　6a3b　． 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：2a2b•3a＝6a3b． 故答案为：6a3b． 7．（2024春•嘉善县校级期中）计算： （1）； （2）3a3+2a•（﹣2a）2． 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2）3a3+2a•（﹣2a）2 ＝3a3+2a•4a2 ＝3a3+8a3 ＝11a3． 8．（2024春•鄞州区期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再算加减即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可． 【解答】解：（1） ＝2+1﹣1 ＝2； （2） ＝2a2b•ab﹣2a2b•3ab2 ＝a3b2﹣6a3b3． 题型五　多项式乘多项式 例题： 1．（2024春•萧山区期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1 【分析】先去括号，再根据等式的恒等性求出m、n的值． 【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴m+n＝﹣1， 故选：A． 2．（2024春•东阳市期中）若x+y＝3且xy＝2，则代数式（3﹣x）（3﹣y）的值等于（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．0 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后将已知条件代入计算即可． 【解答】解：∵x+y＝3且xy＝2， ∴（3﹣x）（3﹣y） ＝9﹣3y﹣3x+xy ＝9﹣3（x+y）+xy ＝9﹣3×3+2 ＝9﹣9+2 ＝2， 故选：A． 3．（2024春•界首市期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 【分析】先根据已知式子，可找出所有含x的项，合并系数，令含x项的系数等于0，即可求m的值． 【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8） ＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m ＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m， ∵不含x的一次项， ∴8+m＝0， 解得：m＝﹣8． 故选：B． 4．（2024春•义乌市期末）已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 【分析】根据多项式乘多项式的计算方法求出（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果，再根据“结果中不含x的二次项”得到a﹣2b＝0，再将原式化为﹣12（a﹣2b）﹣3代入计算即可． 【解答】解：（﹣2x+a）（x2+bx﹣3） ＝﹣2x3﹣2bx2+6x+ax2+abx﹣3a ＝﹣2x3+（a﹣2b）x2+（6+ab）x﹣3a， 由于结果中不含x的二次项， ∴a﹣2b＝0， ∴﹣12a+24b﹣3＝﹣12（a﹣2b）﹣3＝﹣3． 故选：A． 5．（2024秋•路桥区期末）计算： （1）2y（2x+y）； （2）（x﹣2）（x+3）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则和合并同类项法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2y•2x+2y•y ＝4xy+2y2； （2）原式＝x2+3x﹣2x﹣6 ＝x2+x﹣6． 6．（2024秋•椒江区校级期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （x+2）（x+3）＝ 　x2+5x+6　； （x﹣2）（x+3）＝ 　x2+x﹣6　； （x+2）（x﹣3）＝ 　x2﹣x﹣6　； （x﹣2）（x﹣3）＝ 　x2﹣5x﹣6　． 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释（x+p）（x+q）＝ 　x2+（p+q）x+pq　． 【任务3】如果（x+p）（x+q）＝x2+mx+8其中m，p，q均为整数，求m的值． 【分析】（1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为x+q、宽为x+p的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【解答】解：任务1：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6； （x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6； （x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6； （x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x﹣6； 故答案为：x2+5x+6；x2+x﹣6；x2﹣x﹣6；x2﹣5x﹣6； 任务2：由图可知： （x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq． 故答案为：x2+（p+q）x+pq； 任务3：由任务2可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq， 又∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+8， ∴m＝p+q，pq＝8， 又∵m，p，q均为整数，8＝1×8＝（﹣1）×（﹣8）＝2×4＝（﹣2）×（﹣4）， ∴m＝1+8＝9或m＝（﹣1）+（﹣8）＝﹣9，m＝2+4＝6或m＝（﹣2）+（﹣4）＝﹣6， 综上所述：m＝±9，±6． 巩固训练 7．（2024•路桥区校级开学）若（x﹣3）（x﹣5）＝x2+mx+15，则m的值为（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．﹣2 D．8 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，求出答案即可． 【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣5）＝x2﹣5x﹣3x+15＝x2﹣8x+15＝x2+mx+15， ∴m＝﹣8． 故选：A． 8．（2024春•慈溪市期中）已知：（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（　　） A．5，3 B．5，﹣3 C．﹣5，3 D．﹣5，﹣3 【分析】由（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣5x﹣3结合（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，即可得出p、q的值． 【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3， ∵（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q， ∴p＝﹣5，q＝﹣3， 故选：D． 9．（2024春•鹿城区校级期中）小黄同学计算一道整式乘法：（x+a）（x+2），由于他抄错了a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为x2+bx﹣4，则a+b的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】由题意得出（x﹣a）（x+2）＝x2+bx﹣4，再根据多项式乘多项式的运算法则计算等式的左边，即可求出a、b的值． 【解答】解：由题意得，（x﹣a）（x+2）＝x2+bx﹣4， ∴x2+（2﹣a）x﹣2a＝x2+bx﹣4， ∴2﹣a＝b，﹣2a＝﹣4， ∴a＝2，b＝0， ∴a+b＝2， 故选：B． 10．（2024春•鄞州区校级期末）使（x2+3x+p）（x2﹣qx+4）乘积中不含x2与x3项，则p+q的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．8 【分析】运用多项式乘多项式的计算法则进行计算、求解． 【解答】解：（x2+3x+p）（x2﹣qx+4） ＝x4+3x3+px2﹣qx3﹣3qx2﹣pqx+4x2+12x+4p ＝x4+（3﹣q）x3+（p﹣3q+4）x2﹣（pq﹣12）x+4p， 由题意得，3﹣q＝0且p﹣3q+4＝0， 解得p＝5，q＝3， ∴p+q＝5+3＝8， 故选：D． 11．（2024春•杭州期中）如图，现有A，B类两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（m+2n），宽为（2m+n）的大长方形，那么需要C类卡片张数为 　5　． 【分析】先根据多项式乘多项式运算法则计算（m+2n）（2m+n），进一步即可确定需要C类卡片的张数． 【解答】解：∵（m+2n）（2m+n） ＝m2+mn+4mn+2n2 ＝m2+5mn+2n2， ∴需要C类卡片张数是5， 故答案为：5． 12．（2024秋•椒江区校级期中）已知关于x的多项式mx﹣n与2x2﹣3x+4的乘积结果中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m+n的值． 【分析】先将mx﹣n与2x2﹣3x+4乘积展开，根据二次项系数为0、常数项为﹣6，计算出m和n的值，再代入m+n计算即可． 【解答】解：原式＝2mx3﹣3mx2+4mx﹣2nx2+3nx﹣4n ＝2mx3﹣（3m+2n）x2+（4m+3n）x﹣4n， 根据条件可得： ∴， 解得， ∴． 13．（2024春•浦江县期末）一个长方形的长、宽分别为a（cm）、b（cm），如果将长方形的长和宽分别增加2cm和3cm． （1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？ （2）若a＝4cm，b＝3cm，求长方形增加的面积． （3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求（a﹣2）（b﹣3）的值． 【分析】（1）根据长方形的面积公式和已知条件，列出算式，用多项式乘多项式法则进行计算即可； （2）把a＝4cm，b＝3cm代入（1）中所求长方形增加的面积的式子，进行计算即可； （3）根据已知条件列出算式进行整理得到ab﹣3a﹣2b+6＝12，把等式的左边分解因式即可． 【解答】解：（1）由题意得：（a+2）（b+3）﹣ab ＝ab+3a+2b+6﹣ab ＝（3a+2b+6）cm2； （2）当a＝4cm，b＝3cm时， 长方形增加的面积为： 3a+2b+6 ＝3×4+2×3+6 ＝12+6+6 ＝24（cm2）； （3）∵（a+2）（b+3）＝2ab， ∴ab+3a+2b+6＝2ab， ∴ab﹣3a﹣2b+6＝12， ab﹣2b﹣3a+6＝12， b（a﹣2）﹣3（a﹣2）＝12， ∴（a﹣2）（b﹣3）＝12． 题型六　乘法公式 例题： 1．（2024春•上城区校级期中）若a﹣b＝8，a2+b2＝82，则2ab的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18 【分析】根据完全平方公式进行变形即可求解． 【解答】解：∵a﹣b＝8，a2+b2＝82， ∴（a﹣b）2＝64， ∴a2+b2﹣2ab＝64， ∴82﹣2ab＝64， ∴2ab＝82﹣64＝18． 故选：C． 2．（2023春•宁波期中）已知4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【分析】根据完全平方公式定义进行求解． 【解答】解：∵4x2+mx+9 ＝（2x）2+mx+32， ∴mx＝±2×2×3x＝±12x， 解得m＝±12， 故选：D． 3．（2024春•乐清市期中）下列式子能应用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x+y） B．（x﹣y）（x﹣y） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y） 【分析】利用平方差公式结构特征判断即可． 【解答】解：（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2， 故选：D． 4．（2024春•鹿城区校级月考）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y的值是（　　） A．12 B．24 C．6 D．14 【分析】根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【解答】解：∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝2， ∴（x+y）（x﹣y）＝12， ∴x+y＝6； 故选：C． 5．（2024春•长兴县期末）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　126　． 【分析】根据完全平方公式运算即可得到结果． 【解答】解：682﹣68×10+52＝（68﹣5）2＝632＝k+622﹣1， 解得k＝126． 故答案为：126． 6．（2024春•嵊州市期末）计算： （1）30×3﹣2； （2）2023×2025﹣20242（用简便方法）． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂运算法则运算即可； （2）将原式转化为（2024﹣1）（2024+1）﹣20242利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）30×3﹣2＝1； （2）2023×2025﹣20242 ＝（2024﹣1）（2024+1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1． 巩固训练 7．（2024秋•台州期末）若x2+mx+9（m为常数）是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．6 C．3或﹣3 D．6或﹣6 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9（m为常数）是完全平方式， ∴m＝±2×3＝±6． 故选：D． 8．（2023春•洞头区期中）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，⋯ 据此规律，求22023+22022+22021+⋯22+2+1的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】依据题目规律，要计算22023+22022+22021+⋯+22+2+1的个位数字，可通过计算（2﹣1）（22023+22022+22021+⋯22+2+1）的个位数字来实现．先计算2的整数次幂找到个位数字的规律，再得到要求代数式的个位数字． 【解答】解：由上面的规律可知：（2﹣1）（22023+22022+22021+⋯22+2+1）＝22024﹣1， ∴22023+22022+22021+⋯22+2+1＝22024﹣1． ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，...， ∵2024÷4＝506， ∴22024的个位数字是6． ∴22024﹣1的个位数字是5． 故选：C． 9．（2024春•新昌县期末）计算的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．7 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：（）2﹣22＝3﹣4＝﹣1． 故选：A． 10．（2024春•拱墅区校级期中）（﹣1﹣a）（a﹣1）所得的结果是（　　） A．1﹣a2 B．﹣1﹣a2 C．a2﹣1 D．1+a2 【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝1﹣a2， 故选：A． 11．（2024春•慈溪市期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（　　） ①（2m+n）（n﹣2m）；②（a2﹣4b）（4b﹣a2）；③（x+y）（﹣x﹣y）； ④（3a+b）（﹣3a+b） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：①一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算， ②两个数相反，不可以运用平方差公式运算， ③两个数相反，不可以运用平方差公式运算， ④一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算． 所以可以运用平方差公式计算的有2个， 故选：B． 12．（2024春•鄞州区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【分析】两个式子相减，根据完全平方公式展开，合并同类项，再系数化为1即可求解． 【解答】解：（a+b）2﹣（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2 ＝4ab ＝7﹣3 ＝4， ab＝1． 故选：A． 题型七　整式的除法 例题： 1．（2024秋•临海市期末）计算（2a3﹣6a2）÷a的结果为（　　） A．2a3﹣6a2 B．2a2﹣6a C．2a2﹣6 D．2a﹣6 【分析】根据多项式除以单项式可直接进行求解． 【解答】解：（2a3﹣6a2）÷a． 故选：B． 2．（2024春•拱墅区校级期中）已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　10a+12b　． 【分析】先根据长方形的面积公式求出长方形的宽，再根据长方形的周长公式求出结果． 【解答】解：根据题意，得长方形的宽：（6a2+18ab）÷3a＝2a+6b， 长方形的周长：2（3a+2a+6b） ＝10a+12b， 故答案为：10a+12b． 3．（2024春•平湖市期末）多项式2x3+x2+2除以多项式x2+x﹣1，则所得的余式是 　3x+1　． 【分析】将2x3+x2+2变形为（2x﹣1）（x2+x﹣1）+（3x+1）即可求解． 【解答】解：∵2x3+x2+2＝2x3+2x2﹣2x﹣x2﹣x+1+3x+1 ＝2x（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣1）+（3x+1） ＝（2x﹣1）（x2+x﹣1）+（3x+1）， ∴多项式2x3+x2+2除以多项式x2+x﹣1，则所得的余式是3x+1， 故答案为：3x+1． 巩固训练 4．（2024春•拱墅区期末）下列运算正确的是（　　） A．14a3b6÷（2ab2﹣ab）＝7a2b3﹣14a2b6 B．14a3b6÷（2ab2﹣ab）＝7a2b4﹣14ab5 C．（14a3b6﹣2ab2）÷ab＝14a2b5﹣2b D．（14a3b6﹣2ab2）÷ab＝14a3b6﹣2b2 【分析】A、B选项均根据被除式＝商式×除式，列出算式，求出被除式，然后进行判断即可； C、D选项均根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵（7a2b3﹣14a2b6）（2ab2﹣ab） ＝7a2b3•2ab2﹣7a2b3•ab﹣14a2b6•2ab2+14a2b6•ab ＝14a3b5﹣7a3b4﹣28a3b8+14a3b7， ∴14a3b6÷（2ab2﹣ab）≠7a2b3﹣14a2b6， ∴此选项不符合题意； B．∵（7a2b4﹣14ab5）（2ab2﹣ab） ＝7a2b4•2ab2﹣7a2b4•ab﹣14ab5•2ab2+14ab5•ab ＝14a3b6﹣7a3b5﹣28a2b7+14a2b6， ∴14a3b6÷（2ab2﹣ab）≠7a2b4﹣14ab5， ∴此选项不符合题意； C．∵（14a3b6﹣2ab2）÷ab ＝14a3b6÷ab﹣2ab2÷ab ＝14a2b5﹣2b， ∴此选项的计算正确， 故此选项符合题意； D．∵（14a3b6﹣2ab2）÷ab ＝14a3b6÷ab﹣2ab2÷ab ＝14a2b5﹣2b， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024春•东阳市期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 　3x2﹣x+2　，余式为 　3　． 【分析】仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【解答】解：如图所示： ∴（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为3x2﹣x+2，余式为3， 故答案为：3x2﹣x+2，3． 题型八　整式的混合运算 例题： 1．（2023秋•江夏区校级月考）设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2．下面有四个推断： ①a*b＝b*a ②（a*b）2＝a2*b2 ③a*（b﹣c）＝（b﹣c）*a ④a*（b+c）＝a*b+a*c 其中所有正确推断的序号是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【解答】解：根据题中的新定义得： ①a*b＝（a﹣b）2，b*a＝（b﹣a）2，正确； ②（a*b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，a2*b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，不正确； ③a*（b﹣c）＝[a﹣（b﹣c）]2＝（a﹣b+c）2，（b﹣c）*a＝（b﹣c﹣a）2，正确； ④a*（b+c）＝（a﹣b﹣c）2，a*b+a*c＝（a﹣b）2+（a﹣c）2，不正确． 故选：C． 2．（2024春•钱塘区期末）如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝66，则长方形ABCD的周长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【分析】根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示相关线段的长，再根据3S1﹣S2＝66，由矩形面积公式列出x、y的方程，求得x+y便可求解． 【解答】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y， 则AH＝CE＝y﹣3，AG＝CJ＝x﹣3，FK＝3﹣（y﹣3）＝6﹣y，FL＝3﹣（x﹣3）＝6﹣x， ∵3S1﹣S2＝66， ∴3xy﹣[2（x﹣3）（y﹣3）+（6﹣y）（6﹣x）]＝66， 整理得12（x+y）＝66+54， ∴2（x+y）＝20， 则长方形 ABCD的周长是20， 故选：C． 3．（2023秋•临江市期末）计算： （1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）； （2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x+y）2． 【分析】（1）根据多项式除以单项式法则求出答案即可； （2）先根据乘法公式算乘法，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2） ＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x3÷（﹣2x2） ＝﹣3x2+4x； （2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x+y）2 ＝（4x2﹣y2）﹣（x2+2xy+y2） ＝4x2﹣y2﹣x2﹣2xy﹣y2 ＝3x2﹣2xy﹣2y2． 巩固训练 4．（2024春•慈溪市期中）如图，有两个正方形ABCD，BEFG，现将它们并列放置后连接AC，AF，CF．若要求S△ACF的大小，则只需知道（　　） A．S正方形ABCD B．S正方形BEFG C．S△AEF D．S△GCF 【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，由图可知：S△ACF＝正方形ABCD的周长+正方形BEFG的周长+S△CGF﹣S△ADC﹣S△AEF，代入计算即可． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b， 由图可知： S△ACF＝正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+S△CGF﹣S△ADC﹣S△AEF ＝a2+b2b（a﹣b）a2b（a+b） a2， ∴S△ACFa2正方形ABCD的面积， 故选：A． 5．（2025•杭州开学）（1）已知3ab•A＝6a2b﹣9ab2，则A＝ 　2a﹣3b　； （2）若（x+y）2﹣M＝（x﹣y）2，则M为 　4xy　． 【分析】（1）根据3ab•A＝6a2b﹣9ab2，可知A＝（6a2b﹣9ab2）÷3ab，然后化简即可； （2）根据（x+y）2﹣M＝（x﹣y）2，可知M＝（x+y）2﹣（x﹣y）2，然后化简即可． 【解答】解：（1）∵3ab•A＝6a2b﹣9ab2， ∴A＝（6a2b﹣9ab2）÷3ab ＝6a2b÷3ab﹣9ab2÷3ab ＝2a﹣3b， 故答案为：2a﹣3b； （2）∵（x+y）2﹣M＝（x﹣y）2， ∴M＝（x+y）2﹣（x﹣y）2 ＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝4xy， 故答案为：4xy． 6．（2024秋•钱塘区校级期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，a2+2a＝3，则代数式2a2+4a+1＝2（a2+2a）+1＝2×3+1＝7． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若a2﹣2a＝﹣3，则2a2﹣4a＝ 　﹣6　； （2）已知a﹣b＝7，b﹣c＝﹣2，求代数式（a﹣c）2+3a﹣3c的值； （3）当x＝﹣1，y＝2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值为5，则当x＝1，y＝﹣2时，求代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值． 【分析】（1）将原式变形后代入数值计算即可； （2）由已知条件易得a﹣c＝5，将原式变形后代入数值计算即可； （3）由题意易得2a+4b＝6，再将x＝1，y＝﹣2代入ax2y﹣bxy2﹣1可得﹣2a﹣4b﹣1，将其变形后代入数值计算即可． 【解答】解：（1）∵a2﹣2a＝﹣3， ∴2a2﹣4a ＝2（a2﹣2a） ＝2×（﹣3） ＝﹣6， 故答案为：﹣6； （2）∵a﹣b＝7，b﹣c＝﹣2， ∴a﹣c＝5， ∴（a﹣c）2+3a﹣3c ＝（a﹣c）2+3（a﹣c） ＝52+3×5 ＝25+15 ＝40； （3）∵当x＝﹣1，y＝2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值为5， ∴2a+4b﹣1＝5， ∴2a+4b＝6， ∴当x＝1，y＝﹣2时， ax2y﹣bxy2﹣1 ＝﹣2a﹣4b﹣1 ＝﹣（2a+4b）﹣1 ＝﹣6﹣1 ＝﹣7． 题型九　整式的化简求值 例题： 1．（2024春•开化县期中）若代数式y2﹣2x＝1，则（x﹣1）2﹣（x﹣y）（x+y）的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】先将所求式子化简，然后将y2﹣2x＝1整体代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：∵y2﹣2x＝1， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣y）（x+y） ＝x2﹣2x+1﹣x2+y2 ＝y2﹣2x+1 ＝1+1 ＝2， 故选：D． 2．（2024春•鹿城区校级期中）先化简，再求值：（mn2﹣2m2n）÷m+（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n），其中n＝2． 【分析】先根据多项式除以单项式法则，完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（mn2﹣2m2n）÷m+（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n） ＝n2﹣2mn+m2+2mn+n2﹣（m2﹣n2） ＝n2﹣2mn+m2+2mn+n2﹣m2+n2 ＝3n2， 当n＝2时，原式＝3×22＝3×4＝12． 3．（2024秋•杭州期中）（1）先化简，再求值：3（x﹣y）+2（x+y）+2，其中x＝﹣1，； （2）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． ①求A﹣2B； ②当x取何值时，A﹣2B的值与y的取值无关． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）①先去括号，再合并同类项即可； ②根据A﹣2B的值与y的取值无关，即含y的项的系数为0，由此计算即可． 【解答】解：（1）3（x﹣y）+2（x+y）+2 ＝3x﹣3y+2x+2y+2 ＝5x﹣y+2， 当x＝﹣1，时， 原式＝5×（﹣1）； （2）①∵A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x， ∴A﹣2B ＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2﹣xy+x） ＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x ＝5xy+2y﹣2x； ②A﹣2B ＝5xy+2y﹣2x ＝（5x+2）y﹣2x， ∵A﹣2B的值与y的取值无关， ∴5x+2＝0， ∴x＝﹣0.4． 巩固训练 4．（2024春•东阳市期末）若代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，则常数k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4 【分析】先将题目中的式子化简，然后根据代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，即可求得k的值． 【解答】解：x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2） ＝5kx2﹣3x2y﹣3kx2y+4kx2+9x2y﹣12x2 ＝9kx2+6x2y﹣3kx2y﹣12x2 ＝（6﹣3k）x2y+9kx2﹣12x2， ∵代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关， ∴6﹣3k＝0， 解得k＝2， 故选：A． 5．（2025•杭州开学）先化简，再求值： （1）（2a﹣3）2+2a（2a﹣3），其中； （2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2，其中a＝1． 【分析】（1）先根据完全平方公式及单项式乘多项式将题目中的式子展开，再合并同类项，然后将代入化简后的式子计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，再合并同类项，然后再将a＝1代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（1）（2a﹣3）2+2a（2a﹣3） ＝4a2﹣12a+9+4a2﹣6a ＝8a2﹣18a+9， 当时，原式＝8×（）2﹣189＝2； （2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2 ＝a2﹣4﹣a2+2a﹣1 ＝2a﹣5， 当a＝1时，原式＝2×1﹣5＝﹣3． 6．（2024春•越城区期末）先化简，再求值：（3+a）（3﹣a）+a（a﹣4b）+（2a5b3）÷（﹣a2b）2，其中． 【分析】直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式、整式除法运算法则进行化简，再把ab整体代入计算即可得出答案． 【解答】解：原式＝9﹣a2+a2﹣4ab+（2a5b3）÷a4b2 ＝9﹣a2+a2﹣4ab+2ab ＝9﹣2ab， 当ab时， 原式＝9﹣2×（）＝10． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 《整式的乘除》知识归纳与题型训练（9类题型清单） 一、同底数幂乘除法 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 字母表达式： 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表达式： 3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表达式： 4.同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表达式： 5.任何不等于零的数的零次幂都等于1. 字母表达式为： 6.任何不等于零的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数。 字母表达式为： 要点诠释： （1）、同底数幂的乘法运算，归根结底是乘法运算，所以各运算规律依然跟有理数乘法相同，可以根据有理数运算中的符号规则、混合规则应用到同底数幂的乘法运算； （2）、各公式变形： ； （3）、此处的底数既可以是单项式（如单独的字母、单独的数字、数字与字母的乘积等），也可以是一个多项式； （4）、幂的运算法则，不仅要会正向使用，也要学会逆用，有时逆用法则，可以使计算简便或解决问题； （5）、有了负指数幂，就可以用科学记数法表示绝对值较小的数，所以用科学记数法表示较大或较小的数的表达式为： 二、单项式的乘法 1.单项式与单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 例： 三、多项式的乘法 多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式： 要点诠释： （1）、多项式与多项式相乘的结果中如果有同类项，要合并同类项。 （2）、常用计算公式： （3）、多项式乘多项式的计算，遵循原则——每一项都要“见面”，计算中要特别注意符号的正负； 四、乘法公式 1、平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 字母表达式： 2、完全平方公式： 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 字母表达式： 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 字母表达式： 要点诠释： （1）、平方差公式中的底数只需满足：一个系数相同，另一个系数相反。且系数相同项也可以是同为负数。公式中的底数可以是是符合上述关系的多项式； （2）、完全平方公式记忆口诀：首平方，尾平方，乘积二倍放中央； （3）乘法公式同幂的运算法则一样，不仅要会正向使用，也要学会逆用； 五、整式的化简 整式化简的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号里面的。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。 要点诠释： （1）整式的化简其实是整式的乘除、去括号法则、合并同类项法则的综合运用，所以计算过程中，要特别注意对应项的易错点。 （2）遇到化简求值问题时，必须先化简，再求值. 六、整式的除法 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 字母表达式： 题型一　同底数幂的乘法 例题： 1．（2024春•东阳市月考）计算x3•x3的结果是（　　） A．2x3 B．x6 C．2x6 D．x9 2．（2024•镇海区校级模拟）若3x+3＝243，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•奉化区校级期中）若ax＝3，ay＝2，则ax+y＝　 　． 4．（2024春•宁海县期中）若2x+y﹣3＝0，则52x•5y＝　 　． 巩固训练 5．（2023•鹿城区校级二模）计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 6．（2024春•平湖市期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若f（4）＝k（k≠0），那么f（2024）的结果是（　　） A．2024k B．k2024 C．506k D．k506 7．（2024春•西湖区校级期中）计算：a•（﹣a）2•a3＝　 　． 8．（2024春•上城区期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8，记作[2，8]＝3． （1）根据以上规定求出：[4，64]＝　 　；[2024，1]＝　 　； （2）小明发现[5，3]+[5，4]＝[5，12]也成立，并证明如下： 设：[5，3]＝x，[5，4]＝y， ∴5x＝3，5y＝4， 5x•5y＝5x+y＝12， ∴[5，12]＝x+y， ∴[5，3]+[5，4]＝x+y＝[5，12]． 根据以上证明，请计算[2024，6]+[2024，7]＝[2024，　 　]． （3）猜想[4，14]﹣[4，7]＝[4，　 　]，并说明理由． 题型二　幂的乘方与积的乘方 例题： 1．（2024•义乌市校级开学）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6 2．（2024春•西湖区校级期中）已知mx＝2，my＝5，则m2x+y值为（　　） A．9 B．20 C．45 D．m9 3．（2024春•下城区校级月考）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024秋•江岸区校级期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 　． 5．（2023春•吴兴区校级期中）已知x+4y﹣3＝0，则2x•16y的值为　 　． 6．（2024春•金华期中）（1）如果23×2n＝28，则n＝　 　.（2）　 　． 7．（2024春•拱墅区校级月考）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值； （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 巩固训练 8．（2024春•娄星区校级期末）下列计算错误的是（　　） A．（a2）5＝a10 B．m7•m＝m8 C．（3cd）3＝9c3d3 D．3a2﹣4a2＝﹣a2 9．（2024春•江干区校级期末）已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（2024春•绍兴期中）已知（3a）2＝36，35+35+35＝3b，则a+b的值是（　　） A．19 B．18 C．9 D．7 11．（2024春•西湖区校级期中）计算：　 　． 12．（2024春•义乌市期末）若实数m，n满足2n﹣m﹣1＝0，则4m÷16n＝　 　． 13．（2024春•桐乡市校级月考）计算： （1）（﹣2）2×（﹣2）3； （2）． 题型三　同底数幂的除法 例题： 1．（2024•宁波模拟）下列各式计算结果为a6的是（　　） A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）4÷a2 2．（2024春•东阳市期末）若2x＝3，4y＝2，则22y﹣x等于（　　） A．1 B． C． D．6 3．（2025•杭州开学）（1）若am＝6，an＝2，则am﹣2n的值为 　 　； （2）若256x＝23•211，则x＝ 　 　． 4．（2024春•西湖区校级月考）（1）已知（am）n＝a2，22m÷22n＝29．①）求mn和m﹣n的值．②求m2+n2﹣mn的值． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m．请用含x的代数式表示y；如果x＝4，求此时y的值 巩固训练 5．（2024春•诸暨市期末）已知3a÷3b＝9，ab＝3，则a+b的值为（　　） A．16 B．4 C．﹣4 D．±4 6．（2024春•东阳市期中）若4m＝18，8n＝9，则22m﹣3n+1的值为（　　） A．11 B．3 C．4 D．164 7．（2024春•柯桥区期末）已知二元一次方程2x﹣3y﹣4＝0，求32x÷33y＝　 　． 8．（2024春•西湖区校级月考）①若3x＝4，9y＝7，则3x+2y＝　 　，3x﹣2y＝　 　． 题型四　单项式乘单项式、单项式乘多项式 例题： 1．（2024•海宁市校级模拟）化简（﹣2a）3•a＝（　　） A．﹣8a4 B．﹣8a3 C．﹣6a4 D．﹣6a3 2．（2024春•鹿城区校级期中）计算：　 　． 3．（2024春•浙江期中）计算：　 　． 4．（2024秋•玉环市期中）计算： （1）x2•x4+（x2）3； （2）4x2y•（﹣2xy2）3． 巩固训练 5．（2024春•鹿城区校级期末）计算3y2•（﹣y）的结果是（　　） A．﹣3y3 B．3y3 C．﹣3y D．3y 6．（2024春•浙江期中）计算：2a2b•3a＝　 　． 7．（2024春•嘉善县校级期中）计算： （1）； （2）3a3+2a•（﹣2a）2． 8．（2024春•鄞州区期中）计算： （1）； （2）． 题型五　多项式乘多项式 例题： 1．（2024春•萧山区期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1 2．（2024春•东阳市期中）若x+y＝3且xy＝2，则代数式（3﹣x）（3﹣y）的值等于（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．0 3．（2024春•界首市期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 4．（2024春•义乌市期末）已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•路桥区期末）计算： （1）2y（2x+y）； （2）（x﹣2）（x+3）． 6．（2024秋•椒江区校级期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （x+2）（x+3）＝ 　 　； （x﹣2）（x+3）＝ 　 　； （x+2）（x﹣3）＝ 　 　； （x﹣2）（x﹣3）＝ 　 　． 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释（x+p）（x+q）＝ 　 　． 【任务3】如果（x+p）（x+q）＝x2+mx+8其中m，p，q均为整数，求m的值． 巩固训练 7．（2024•路桥区校级开学）若（x﹣3）（x﹣5）＝x2+mx+15，则m的值为（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．﹣2 D．8 8．（2024春•慈溪市期中）已知：（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（　　） A．5，3 B．5，﹣3 C．﹣5，3 D．﹣5，﹣3 9．（2024春•鹿城区校级期中）小黄同学计算一道整式乘法：（x+a）（x+2），由于他抄错了a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为x2+bx﹣4，则a+b的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 10．（2024春•鄞州区校级期末）使（x2+3x+p）（x2﹣qx+4）乘积中不含x2与x3项，则p+q的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．8 11．（2024春•杭州期中）如图，现有A，B类两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（m+2n），宽为（2m+n）的大长方形，那么需要C类卡片张数为 　 　． 12．（2024秋•椒江区校级期中）已知关于x的多项式mx﹣n与2x2﹣3x+4的乘积结果中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m+n的值． 13．（2024春•浦江县期末）一个长方形的长、宽分别为a（cm）、b（cm），如果将长方形的长和宽分别增加2cm和3cm． （1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？ （2）若a＝4cm，b＝3cm，求长方形增加的面积． （3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求（a﹣2）（b﹣3）的值． 题型六　乘法公式 例题： 1．（2024春•上城区校级期中）若a﹣b＝8，a2+b2＝82，则2ab的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18 2．（2023春•宁波期中）已知4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 3．（2024春•乐清市期中）下列式子能应用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x+y） B．（x﹣y）（x﹣y） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y） 4．（2024春•鹿城区校级月考）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y的值是（　　） A．12 B．24 C．6 D．14 5．（2024春•长兴县期末）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　 　． 6．（2024春•嵊州市期末）计算： （1）30×3﹣2； （2）2023×2025﹣20242（用简便方法）． 巩固训练 7．（2024秋•台州期末）若x2+mx+9（m为常数）是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．6 C．3或﹣3 D．6或﹣6 8．（2023春•洞头区期中）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，⋯ 据此规律，求22023+22022+22021+⋯22+2+1的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 9．（2024春•新昌县期末）计算的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．7 10．（2024春•拱墅区校级期中）（﹣1﹣a）（a﹣1）所得的结果是（　　） A．1﹣a2 B．﹣1﹣a2 C．a2﹣1 D．1+a2 11．（2024春•慈溪市期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（　　） ①（2m+n）（n﹣2m）；②（a2﹣4b）（4b﹣a2）；③（x+y）（﹣x﹣y）； ④（3a+b）（﹣3a+b） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024春•鄞州区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 题型七　整式的除法 例题： 1．（2024秋•临海市期末）计算（2a3﹣6a2）÷a的结果为（　　） A．2a3﹣6a2 B．2a2﹣6a C．2a2﹣6 D．2a﹣6 2．（2024春•拱墅区校级期中）已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　 　． 3．（2024春•平湖市期末）多项式2x3+x2+2除以多项式x2+x﹣1，则所得的余式是 　 　． 巩固训练 4．（2024春•拱墅区期末）下列运算正确的是（　　） A．14a3b6÷（2ab2﹣ab）＝7a2b3﹣14a2b6 B．14a3b6÷（2ab2﹣ab）＝7a2b4﹣14ab5 C．（14a3b6﹣2ab2）÷ab＝14a2b5﹣2b D．（14a3b6﹣2ab2）÷ab＝14a3b6﹣2b2 5．（2024春•东阳市期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 　 　，余式为 　 　． 题型八　整式的混合运算 例题： 1．（2023秋•江夏区校级月考）设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2．下面有四个推断： ①a*b＝b*a ②（a*b）2＝a2*b2 ③a*（b﹣c）＝（b﹣c）*a ④a*（b+c）＝a*b+a*c 其中所有正确推断的序号是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 2．（2024春•钱塘区期末）如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝66，则长方形ABCD的周长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 3．（2023秋•临江市期末）计算： （1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）； （2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x+y）2． 巩固训练 4．（2024春•慈溪市期中）如图，有两个正方形ABCD，BEFG，现将它们并列放置后连接AC，AF，CF．若要求S△ACF的大小，则只需知道（　　） A．S正方形ABCD B．S正方形BEFG C．S△AEF D．S△GCF 5．（2025•杭州开学）（1）已知3ab•A＝6a2b﹣9ab2，则A＝ 　 　； （2）若（x+y）2﹣M＝（x﹣y）2，则M为 　 　． 6．（2024秋•钱塘区校级期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，a2+2a＝3，则代数式2a2+4a+1＝2（a2+2a）+1＝2×3+1＝7． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若a2﹣2a＝﹣3，则2a2﹣4a＝ 　 　； （2）已知a﹣b＝7，b﹣c＝﹣2，求代数式（a﹣c）2+3a﹣3c的值； （3）当x＝﹣1，y＝2时，代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值为5，则当x＝1，y＝﹣2时，求代数式ax2y﹣bxy2﹣1的值． 题型九　整式的化简求值 例题： 1．（2024春•开化县期中）若代数式y2﹣2x＝1，则（x﹣1）2﹣（x﹣y）（x+y）的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．（2024春•鹿城区校级期中）先化简，再求值：（mn2﹣2m2n）÷m+（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n），其中n＝2． 3．（2024秋•杭州期中）（1）先化简，再求值：3（x﹣y）+2（x+y）+2，其中x＝﹣1，； （2）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． ①求A﹣2B； ②当x取何值时，A﹣2B的值与y的取值无关． 巩固训练 4．（2024春•东阳市期末）若代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，则常数k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4 5．（2025•杭州开学）先化简，再求值： （1）（2a﹣3）2+2a（2a﹣3），其中； （2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2，其中a＝1． 6．（2024春•越城区期末）先化简，再求值：（3+a）（3﹣a）+a（a﹣4b）+（2a5b3）÷（﹣a2b）2，其中． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$