专题突破：乘法公式及其变型综合训练-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

专题突破：乘法公式及其变型综合训练 一、两乘法公式的几何背景的应用策略 1、利用几何图形面积的等价变形，得到对应乘法公式的等量关系； 2、根据乘法公式求解组合图形的面积时，多注意几何图形边长的构造，再根据规则几何图形的面积求法，组合出目标图形的面积。 二、乘法公式的常见变型 1.平方差公式： 2.完全平方公式： ☆以上两个公式既可以正向应用，也可以逆向应用，在对应题目中出现的时候要注意分辨！ 3.完全平方公式的变形公式： 三、利用乘法公式进行简便计算方法 把平方差公式与完全平方公式中的看做是一个个具体的数，当数的组合满足平方差公式、完全平方公式的类型时，就转化成对应公式进行计算。 题型一 乘法公式与几何图形的面积 【例1】．（2024秋•路桥区期末）四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，y的等式为（　　） A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．x2+2xy+y2＝（x+y）2 C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．x2﹣xy＝x（x﹣y） 【变式1-1】．（2024春•绍兴期中）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中减去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（　　） A．2a+6 B．2a+2 C．a+6 D．a+3 【变式1-2】．（2024春•鹿城区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式1-3】．（2024•瓯海区校级三模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　） A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 【变式1-4】．（2024秋•椒江区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1-5】．（2024春•上城区校级期中）（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：（a+b）2﹣（ 　 　）2＝（ 　 　）； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值； ②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用上述等式求mn的值． 【变式1-6】．（2023春•诸暨市期末）阅读理解以下材料内容： 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2． ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2． ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；应用以上知识进行思维拓展； （2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积． 题型二 利用乘法公式进行简便计算 【例2】．（2024春•新昌县期末）计算的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．7 【变式2-1】．（2024•鄞州区开学）计算： 　 　． 【变式2-2】．（2024春•长兴县期末）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　 　． 【变式2-3】．（2021春•奉化区校级期末）计算：20202﹣4040×2019+20192＝　 　． 【变式2-4】．（2024春•梅列区校级月考）利用乘法公式计算下列各题： （1）20012； （2）2023×2025﹣20242． 【变式2-5】．（2024春•西湖区校级期中）计算： （1）2024×2022﹣20232； （2）． 【变式2-6】．（2024春•金华期中）用简便方法计算 （1）20112﹣20102； （2）172+2×17×13+132． 题型三 乘法公式的直接应用 【例3】．（2024秋•台州期末）若x2+mx+9（m为常数）是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．6 C．3或﹣3 D．6或﹣6 【变式3-1】．（2024春•义乌市期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B． C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 【变式3-2】．（2024春•鹿城区校级月考）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y的值是（　　） A．12 B．24 C．6 D．14 【变式3-3】．（2024秋•孝南区期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝　 　． 【变式3-4】．（2024春•越城区期末）若x2+xy＝17﹣a，y2+xy＝8+a，则x+y＝　 　． 【变式3-5】．（2024秋•台州期末）计算： （1）2a（a﹣b）； （2）（3x﹣y）（3x+y）+y2． 【变式3-6】．（2024春•义乌市期末）计算： （1）（b2）2+b•b3； （2）（x+1）2﹣（x﹣2）2． 【变式3-7】．（2024春•杭州期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2． ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值 （2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【变式3-8】．（2023春•金东区期中）（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　 　， （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　， （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　， （2）猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　（其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算； 29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【变式3-9】．（2024春•越城区期末）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 题型四 乘法公式的变型应用 【例4】．（2024春•鄞州区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【变式4-1】．（2024•鄞州区开学）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【变式4-2】．（2023春•余杭区月考）若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】．（2024春•上城区校级期中）若a﹣b＝8，a2+b2＝82，则2ab的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18 【变式4-4】．（2024春•龙湾区校级期中）已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【变式4-5】．（2023秋•硚口区期末）已知x+y＝5，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值是 　 　． 【变式4-6】．（2024春•柯桥区期中）已知（m+3）2+（m+5）2＝10，则（m+4）2＝　 　． 【变式4-7】．（2024春•柯桥区期中）如图（1），有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）有1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图（2），用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式 　 　； （2）选取1张A型卡片，8张C型卡片，　 　张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 　 　； （3）如图（3），两个正方形边长分别为m，n，已知m+n＝20，mn＝36，求阴影部分的面积． 【变式4-8】．（2024春•瓯海区校级期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　 　； 方法2：　 　． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　 　． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　 　张，B类卡片 　 　张，C类卡片 　 　张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 2 / 10 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【分析】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解． 【解答】解：设ID＝y，DJ＝z， ∵两个阴影部分都是正方形， ∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD， ∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ， ∴AI+ID＝CJ+DJ， ∵AI＝5，CJ＝3， ∴5+y＝3+z， ∴y＝z﹣2， ：∵阴影部分面积和为60， ∴y2+z2＝60， 方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得： （z﹣2）2+z2＝60， 解得：z＝1或z＝1（舍）， ∴y＝z﹣21， ∴ID1，DJ＝1， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（1）×（1）＝28； 方法2：∵z﹣y＝2， 所以（z﹣y）2＝4， ∴y2+z2﹣2yz＝4， ∴60﹣2yz＝4， yz＝28， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28． 故选：A． 【变式1-3】．（2024•瓯海区校级三模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　） A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算． 【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ＝（a+b）2﹣4ab， ＝a2+2ab+b2﹣4ab， ＝（a﹣b）2； 故选：D． 【变式1-4】．（2024秋•椒江区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】根据图1的阴影部分面积求出（a﹣b）2的值，根据图2阴影部分的面积求出2ab的值，再根据完全平方公式求出a2+b2的值即可得到答案． 【解答】解：根据图1可知，（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1， 根据图2可知，（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，即2ab＝12， ∴正方形A、B的面积之和为：a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝12+1＝13． 即正方形A、B的面积之和为13． 故选：C． 【变式1-5】．（2024春•上城区校级期中）（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：（a+b）2﹣（ 　a﹣b　）2＝（ 　4ab　）； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值； ②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用上述等式求mn的值． 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）①根据完全平方公式即可得到结论； ②根据完全平方公式即可得到结论． 【解答】解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab+b2＝4ab； 故答案为：a﹣b，4ab； （2）①∵m+n＝8，mn＝12， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝82﹣4×12＝16， ∴m﹣n＝±4； ②∵（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5， ∴（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝（2m+n﹣2m+n）（2m+n+2m﹣n）＝2n×4m＝8mn＝13﹣5＝8， ∴mn＝1． 【变式1-6】．（2023春•诸暨市期末）阅读理解以下材料内容： 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2． ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2． ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；应用以上知识进行思维拓展； （2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积． 【分析】（1）先求（x+y）2的值，再求xy的值； （2）先设AC＝x，BC＝y，再将已知及所求都用x，y表示后进行求解． 【解答】解：（1）∵x+y＝4， ∴（x+y）2＝16， ∴x2+y2+2xy＝16 ∵x2+y2＝10， ∴xy＝（16﹣10）÷2＝3； （2）设AC＝x，BC＝y， ∵AB＝6， ∴x+y＝6， ∵两正方形的面积和S1+S2＝18， ∴x2+y2＝18， ∴阴影部分面积xy[（x+y）2﹣（x2+y2）][62﹣18]＝4.5． 题型二 利用乘法公式进行简便计算 【例2】．（2024春•新昌县期末）计算的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．7 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：（）2﹣22＝3﹣4＝﹣1． 故选：A． 【变式2-1】．（2024•鄞州区开学）计算：　　． 【分析】将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【变式2-2】．（2024春•长兴县期末）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　126　． 【分析】根据完全平方公式运算即可得到结果． 【解答】解：682﹣68×10+52＝（68﹣5）2＝632＝k+622﹣1， 解得k＝126． 故答案为：126． 【变式2-3】．（2021春•奉化区校级期末）计算：20202﹣4040×2019+20192＝　1　． 【分析】根据完全平方公式，可得答案． 【解答】解：20202﹣4040×2019+20192 ＝20202﹣2×2020×2019+20192 ＝（2020﹣2019）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 【变式2-4】．（2024春•梅列区校级月考）利用乘法公式计算下列各题： （1）20012； （2）2023×2025﹣20242． 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为（2024﹣1）×（2024+1）﹣20242，再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）20012 ＝（2000+1）2 ＝20002+2×2000×1+12 ＝4004001； （2）2023×2025﹣20242 ＝（2024﹣1）×（2024+1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1． 【变式2-5】．（2024春•西湖区校级期中）计算： （1）2024×2022﹣20232； （2）． 【分析】（1）将原式化为（2023+1）（2023﹣1）﹣20232，再根据平方差公式进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（2023+1）（2023﹣1）﹣20232 ＝20232﹣1﹣20232 ＝﹣1； （2）原式＝6x3y3x2y4+3xy． 【变式2-6】．（2024春•金华期中）用简便方法计算 （1）20112﹣20102； （2）172+2×17×13+132． 【分析】（1）原式利用平方差公式分解，计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式分解，计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝（2011+2010）×（2011﹣2010） ＝4021×1 ＝4021； （2）原式＝（17+13）2 ＝302 ＝900． 题型三 乘法公式的直接应用 【例3】．（2024秋•台州期末）若x2+mx+9（m为常数）是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．6 C．3或﹣3 D．6或﹣6 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9（m为常数）是完全平方式， ∴m＝±2×3＝±6． 故选：D． 【变式3-1】．（2024春•义乌市期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B． C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 【分析】用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】．（2024春•鹿城区校级月考）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y的值是（　　） A．12 B．24 C．6 D．14 【分析】根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【解答】解：∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝2， ∴（x+y）（x﹣y）＝12， ∴x+y＝6； 故选：C． 【变式3-3】．（2024秋•孝南区期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝　11　． 【分析】根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，分别代入解答即可． 【解答】解：因为x﹣y＝3，xy＝1， 则x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11， 故答案为：11 【变式3-4】．（2024春•越城区期末）若x2+xy＝17﹣a，y2+xy＝8+a，则x+y＝　±5　． 【分析】两式相加得到完全平方公式即可求出x+y值． 【解答】解：， ①+②得：x2+2xy+y2＝25， ∴（x+y）2＝25， ∴x+y＝±5． 故答案为：±5． 【变式3-5】．（2024秋•台州期末）计算： （1）2a（a﹣b）； （2）（3x﹣y）（3x+y）+y2． 【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式，即可得到结果； （2）原式利用平方差公式，合并同类项，即可得到结果． 【解答】解：（1）2a（a﹣b）＝2a2﹣2ab； （2）原式＝9x2﹣y2+y2＝9x2． 【变式3-6】．（2024春•义乌市期末）计算： （1）（b2）2+b•b3； （2）（x+1）2﹣（x﹣2）2． 【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂乘法的计算方法进行计算即可； （2）根据完全平方公式以及合并同类项法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝b4+b4＝2b4； （2）原式＝x2+2x+1﹣x2+4x﹣4 ＝6x﹣3． 【变式3-7】．（2024春•杭州期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2． ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值 （2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形即可解答； （2）设AC＝a，BC＝CF＝b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答． 【解答】解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3 ∴[（9﹣x）+（x﹣6）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2， ∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9， ∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7； （2）设AC＝a，BC＝CF＝b， ∴a+b＝6，a2+b2＝20， ∴（a+b）2＝36， ∴a2+b2+2ab＝36， ∴ab＝8， ∴S△ACFab8＝4． 【变式3-8】．（2023春•金东区期中）（1）填空： （a﹣b）（a+b）＝　a2﹣b2　， （a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　， （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　a4﹣b4　， （2）猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　an﹣bn　（其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算； 29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4； 故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4； （2）由（1）的规律可得： 原式＝an﹣bn， 故答案为：an﹣bn； （3）∵[（2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1） ＝210﹣110， ∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1 ＝（210﹣110）÷3 ＝341， ∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2 ＝341+1 ＝342． 【变式3-9】．（2024春•越城区期末）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 【分析】（1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可； （2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用． 【解答】解：（1）长方形地块的面积为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2， 中间预留部分的面积为：（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，S＝3a2+4ab+b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝8ab﹣a2， 因此绿化的面积S为（8ab﹣a2）平方米； （2）由题意知，S＝8×3×2﹣32＝48﹣9＝39（平方米），39×100＝3900（元）， 因此完成绿化共需要3900元． 题型四 乘法公式的变型应用 【例4】．（2024春•鄞州区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【分析】两个式子相减，根据完全平方公式展开，合并同类项，再系数化为1即可求解． 【解答】解：（a+b）2﹣（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2 ＝4ab ＝7﹣3 ＝4， ab＝1． 故选：A． 【变式4-1】．（2024•鄞州区开学）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解． 【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 【变式4-2】．（2023春•余杭区月考）若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积． 【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12， ∴ab＝3， ∴长方形的面积为3， 故选：A． 【变式4-3】．（2024春•上城区校级期中）若a﹣b＝8，a2+b2＝82，则2ab的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18 【分析】根据完全平方公式进行变形即可求解． 【解答】解：∵a﹣b＝8，a2+b2＝82， ∴（a﹣b）2＝64， ∴a2+b2﹣2ab＝64， ∴82﹣2ab＝64， ∴2ab＝82﹣64＝18． 故选：C． 【变式4-4】．（2024春•龙湾区校级期中）已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， ∴12﹣4×2＝（a﹣b）2， ∴（a﹣b）2＝4， 故选：C． 【变式4-5】．（2023秋•硚口区期末）已知x+y＝5，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值是 　9　． 【分析】结合已知条件，利用完全平方公式求得2xy的值，然后将（x﹣y）2展开后代入数值计算即可． 【解答】解：∵x+y＝5， ∴（x+y）2＝25， ∴x2+2xy+y2＝25， ∵x2+y2＝17， ∴2xy＝25﹣17＝8， ∴（x﹣y）2 ＝x2﹣2xy+y2 ＝17﹣8 ＝9， 故答案为：9． 【变式4-6】．（2024春•柯桥区期中）已知（m+3）2+（m+5）2＝10，则（m+4）2＝　4　． 【分析】根据完全平方公式将等式整理为m2+8m＝﹣12，再根据（m+4）2＝m2+8m+16进行求解． 【解答】解：∵（m+3）2+（m+5）2＝10， 即：m2+6m+9+m2+10m+25＝10， 2m2+16m＝﹣24， ∴m2+8m＝﹣12， ∴（m+4）2＝m2+8m+16＝﹣12+16＝4． 故答案为：4． 【变式4-7】．（2024春•柯桥区期中）如图（1），有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）有1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图（2），用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　； （2）选取1张A型卡片，8张C型卡片，　16　张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 　a+4b　； （3）如图（3），两个正方形边长分别为m，n，已知m+n＝20，mn＝36，求阴影部分的面积． 【分析】（1）运用正方形和长方形面积计算公式进行求解； （2）运用完全平方公式进行求解； （3）根据图形列式表示出阴影部分的面积，并通过变式运用完全平方公式进行求解． 【解答】解：（1）大正方形的面积整体表示为（a+b）2， 四部分的面积求和表示为：a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）由题意得， a2+8ab+16b2＝（a+4b）2， 故答案为：16，a+4b； （3）由题意得， S阴影＝m2 n（m﹣n） ＝m2 mnn2 （m2﹣mn+n2） [（m2+2mn+n2）﹣3mn] [（m+n）2﹣3mn] ∴当m+n＝20，mn＝36时， SS阴影（202﹣3×36） （400﹣108） 292 ＝146， ∴阴影部分的面积是146． 【变式4-8】．（2024春•瓯海区校级期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　a2+b2　； 方法2：　（a+b）2﹣2ab　． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　1　张，B类卡片 　3　张，C类卡片 　2　张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为a+2b，宽为a+b，观察图形可得答案； （4）①利用（m+n）2﹣2 m n和（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn计算即可； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2023，利用（m+n）2﹣2 m n求出2mn＝30，再利用（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn求出（m+n）2＝64，最后把m，n还原后求解即可． 【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：a2+b2， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）拼图如下： 观察图形可得：需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片2张． 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn， ∵m+n＝5，m2+n2＝20， ∴20＝52﹣2mn， ∴， ； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2023， ∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34， ∴m2+n2＝34， 又∵m﹣n＝（x﹣2021）﹣（x﹣2023）＝2， ∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn， ∴22＝34﹣2mn， ∴2mn＝30， 由（m+n）2﹣2 m n，得： 34＝（m+n）2﹣30， ∴（m+n）2＝64， 即（x﹣2021+x﹣2023）2＝64， 整理，得（2x﹣4044）2＝64，即4（x﹣2022）2＝64， ∴（x﹣2022）2＝16． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$