精品解析：天津市河东区2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025年河东区高考第一次模拟考试 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题共45分） 一､选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再由交集运算即可求解； 【详解】且 所以， 故选：C 2. 已知为正数，则“ ”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，当 时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】当 时，所以为增函数，所以， 当时，当时，则 ，当时，则，此时； 所以“ ”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解. 【详解】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D. 由题得，所以排除选项C. 故选A 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4. 已知，，，则，， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得． 【详解】，，， 又， 因为函数，在上单调递减，且 ， 又因为， 所以，所以，即，所以， ，即 ． 故选：C 5. 下列说法中，正确的有（ ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归直线的特征即可判断①，理解独立性检验的基本思想即可判断②，正确把握卡方值的含义即可判断③，利用正态曲线的对称性可判断④. 【详解】回归直线的性质是恒过样本点的中心，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所以说法①错误.  在独立性检验中，我们先提出一个假设.当根据列联表中的数据计算得出，且时，这意味着在假设成立的条件下，出现这样的值是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设，从而有的把握认为两个分类变量有关系，同时也就意味着有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说法②正确.  是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误.  已知某项测量结果服从正态分布，正态分布具有对称性，其对称轴为.又因为，这表明与关于对称轴对称.根据正态分布的对称性可知，与之和为，已知，那么，所以说法④正确.  故选：B. 6. 若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象变换求出函数的解析式，然后将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 令，得，则直线与函数在区间上的图象有两个交点， 令，当时，，即， 作出函数与函数在区间上的图象如下图所示： 由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 7. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解. 【详解】由题知，双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点，准线方程为， 由得两点坐标为，， 所以，因为的周长为， 所以，解得 .故B，C，D错误. 故选：A. 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得 平面 ，再求得，从而得 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、 中点， ，，又 ，平面 ， 平面 ，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作 于 ，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 9. 已知定义在上的函数是偶函数，当 时，，若关于 的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数性质可以画出函数的图像，关于 的方程有6个不同的实数根，根据数形结合和韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，函数的图像如下图所示： 根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减； 且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线. 令，则关于 的方程即可写成 此时关于 的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意）， 设为方程的两个实数根， 显然，有以下两种情况符合题意： ①当时，此时，则 ②当时，此时，则 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 第II卷（非选择题共105分） 二､填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上. 10. 已知复数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，即可得到，再根据复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为， 所以，所以； 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 12. 若直线 ：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为______. 【答案】24 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解. 【详解】把圆：化为标准方程有：， 所以圆心，半径，又直线 ：， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线 ：被圆：截得线段的长为6， 根据勾股定理有：，解得 ， 所以，解得 . 故答案为：24. 13. 已知，则的最小值为__________. 【答案】##1.6 【解析】 【分析】由可得，又，再用“乘1法”即可求最小值. 【详解】因为，所以. 所以 , 当且仅当时等号成立. 故的最小值为. 故答案为:. 14. 生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有 个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭 个小孩中有女孩的条件下， 个小孩中至少有个男孩的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】记事件该家庭 个小孩中有女孩，事件该家庭中 个小孩中至少有个男孩，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件该家庭 个小孩中有女孩，事件该家庭中 个小孩中至少有个男孩， 则，， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 15. 如图，在中，，，为 上一点，且满足，则 ______________；若的面积为，则的最小值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先通过条件用表示，根据三点共线，可求得 根据的面积求得 ， 由，平方可得，代入即可求得答案. 【详解】∵，又， ∴，∴， 又因为三点共线，则，即， ， 的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：,. 三､解答题：本题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在钝角中，角，，所对各边分别为，， ，已知，，． （1）求边长 和角的大小； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理和正弦定理计算作答. （2）利用二倍角公式和差角的正弦公式计算作答. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得：，解得， ，由正弦定理得：， 由得，又是钝角三角形，则A为钝角，于是得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 17. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形，，且 . （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的大小； （3）已知点在棱上，且异面直线 与 所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接 ，如下图： 因为为的中点，所以 ，由 ，则 ， 因为 ，所以四边形 是平行四边形，则 ，且 ， 因为在正方形 中， 且 ，即 且 ， 所以四边形 为平行四边形，则 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2） （3）点为靠近的四等分点 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案； （3）由（2）的空间直角坐标系，表示出直线的方向向量，利用线线角的向量公式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则 ， 在正方形 中， ，所以 两两垂直， 以 为原点，分别以 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 可得，，，， 设平面 的法向量为，则， 令 ，则 ，所以平面 的一个法向量； 设平面 的法向量为，则， 令，则 ，所以平面 的一个法向量， 设平面 与平面 的所成角为 ， 则，由，则. 【小问3详解】 由题意作图如下： 设，则， 可得， 设异面直线 与 所成角为， 则， 整理可得 ，解得， 即，由，则，即， 故点为靠近的四等分点. 18. 设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于 ，两点，且点 在第二象限. 与 延长线交于点，若 的面积是面积的 倍，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可得到答案. （2）首先设点，，由题意，且，根据 的面积是面积的 倍得到，再联立方程组求出和，即可求出的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，由已知得 解得 ，，所以，椭圆的方程为. （2）设点，，由题意，且，如图所示： 由 的面积是面积的3倍，可得， 所以，从而， 所以，即. 易知直线 的方程为：，即. 由消去 ，可得. 由方程组消去 ，可得. 由，可得， 整理得，解得，或. 当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去. 所以，. 【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 19. 已知等差数列 的前 项和为，数列是等比数列，满足，，，. （1）求数列 和的通项公式； （2）对任意的正整数 ，设，求； （3）若对于数列 ，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前 项和为，求. 【答案】（1），； （2）； （3）2170. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前 项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，分奇偶求出的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前 项和，再利用分组求和法求解. （3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列 的项及1的个数，再分组求和即得. 【小问1详解】 在等差数列 中，，而，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，， 所以数列 和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，当 为奇数时，， 则； 当 为偶数时，，， ， 则， 两式相减得 ，因此， 所以. 【小问3详解】 依题意，数列： 项为前的总项数为， 数列是递增的，当时，， 当时，， 因此数列的前 项中，有数列 的前项，有个， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： ①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； ②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； ③对于结构，利用分组求和法； ④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 20. 已知函数，其中， （1）若， （i）当 时，求的单调区间； （ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． （2）证明：当时，存在直线 ，使直线 是曲线的切线，也是曲线的切线． 【答案】（1）（i）单调递增区间为，单调递减区间为；（ii）； （2） 曲线在处的切线． 曲线在处的切线． 要证当时，存在直线 是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，使得和重合． 只需证明当时，①，②两式有解， 由①得：，代入②得：③， 因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解． 设，即证明当时存在零点． 对于：时，且时单调递减， 又，故存在唯一，使． 由此，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值． 因为，故， 下面证明存在实数 ，使得． 令且 ，则， 所以 在 上递增，故，即， 当时，有， 根据二次函数的性质，存在实数 使得，因此当时，存在使得． 所以当时，存在直线 ，使 是曲线的切线，也是曲线的切线． 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数研究单调区间即可；（ii）设函数，问题转化为与有两个交点求参数范围； （2）分析法转化证明当时存在实数解，构造中间函数，利用导数研究零点的存在性即可证结论. 【小问1详解】 （i）由 时，且 ，则， 令，即，令 ，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （ii）， 两侧同时取对数，有， 设函数，则，令，有， 当时单调递增，当时单调递减， 所以，又，且 时， 所以与有且仅有两个交点，即与有两个交点的充要条件为，即， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：第二问，注意将公共切线问题转化为当时存在实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河东区高考第一次模拟考试 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题共45分） 一､选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为正数，则“ ”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的有（ ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 9. 已知定义在上的函数是偶函数，当 时，，若关于 的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共105分） 二､填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上. 10. 已知复数，则___________. 11. 在的展开式中，的系数为_________． 12. 若直线 ：被圆：截得线段的长为6，则实数 的值为______. 13. 已知，则的最小值为__________. 14. 生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有 个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭 个小孩中有女孩的条件下， 个小孩中至少有个男孩的概率为_____. 15. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则 ______________；若的面积为，则的最小值为______________． 三､解答题：本题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在钝角中，角，，所对各边分别为，， ，已知，，． （1）求边长 和角的大小； （2）求的值． 17. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形，，且 . （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的大小； （3）已知点在棱上，且异面直线 与 所成角的余弦值为，试确定点的位置. 18. 设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于 ，两点，且点 在第二象限. 与延长线交于点，若 的面积是面积的 倍，求的值. 19. 已知等差数列 的前 项和为，数列是等比数列，满足，，，. （1）求数列 和的通项公式； （2）对任意的正整数 ，设，求； （3）若对于数列 ，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前 项和为，求. 20. 已知函数，其中， （1）若， （i）当 时，求的单调区间； （ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． （2）证明：当时，存在直线 ，使直线 是曲线的切线，也是曲线的切线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $