第4章 平行四边形（单元测试A卷）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第4章 《平行四边形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）一个多边形的内角和等于1440°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（3分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 4．（3分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1，则a与c之间的距离是（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 6．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．AD∥BC，OB＝OD D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 8．（3分）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ABD，DE平分∠ADB，则下列结论中不正确的是（　　） A．AB＝DC B．ED⊥CD C．∠A+∠DEC﹣∠ECB＝90° D．∠DFC＝∠ADE+∠BCE 10．（3分）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①∠C＝45°；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是　 　． 12．（3分）如果一个正多边形的内角和为1800°，那么这个正多边形共有对角线　 　条． 13．（3分）在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为　 　． 14．（3分）在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　 　时，四边形PDCQ是平行四边形． 16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的3倍． （1）这个多边形是几边形？ （2）求这个多边形的内角和． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长． 19．（8分）已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC． （1）证明：四边形ABDE是平行四边形； （2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长． 20．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点M． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 22．（10分）在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）如图1，求证：四边形BDAF是平行四边形； （2）如图2，若∠ACD＝90°，请写出图中所有的等腰三角形． 23．（12分）如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），点C坐标是（4，6）． （1）请直接写出点B的坐标 　 　； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　cm，AM＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《平行四边形》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【解答】解：A、该图案不是中心对称图形，不合题意； B、该图案不是中心对称图形，不合题意； C、该图案是中心对称图形，符合题意； D、该图案不是中心对称图形，不合题意． 故选：C． 2．（3分）一个多边形的内角和等于1440°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式列出（n﹣2）×180°＝1440°，即可求解． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝1440°， 解得n＝10， 故选：C． 3．（3分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D＝50°．由等腰三角形的性质可得∠BAE＝∠BEA＝65°，即可求解． 【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°． ∵AB＝CD，BE＝CD， ∴AB＝BE． ∴∠BAE＝∠BEA＝65°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝65°， 故选：A． 4．（3分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据中心对称的性质，得出，AC＝CD，再根据勾股定理求出AD＝2，即可求解． 【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB， ∴，AC＝CD， ∵AE＝3，∠D＝90°， 根据勾股定理可得：， ∴． 故选：A． 5．（3分）在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1，则a与c之间的距离是（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论． 【解答】解：①当直线c在直线a、b外时，如图， ∵a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1， ∴a与c之间的距离为：4+1＝5； ②当直线c在直线a、b之间时，如图， ∵a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1， ∴a与c之间的距离为：4﹣1＝3； 综上，a与c之间的距离为3或5， 故选：C． 6．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．AD∥BC，OB＝OD D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD 【分析】由∠ABD＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，所以不能确定BC与AD是否相等，则不能判断四边形ABCD是平行四边形，可判断B符合题意；AD∥BC，得∠OCB＝∠OAD，而∠COB＝∠AOD，OB＝OD，可根据“AAS”证明△COB≌△AOD，得OC＝OA，则四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由∠ABD＝∠BDC，得AB∥CD，由∠ADB＝∠CBD，得AD∥CB，则四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A不符合题意； ∵由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA， ∴不能确定BC与AD是否相等， ∴不能判断四边形ABCD是平行四边形， 故B符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠OCB＝∠OAD， 在△COB和△AOD中， ， ∴△COB≌△AOD（AAS）， ∴OC＝OA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故C不符合题意； ∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∵∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥CB， 四边形ABCD是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OC、OD的长，再证明四边形OCED是平行四边形即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC，OD， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴四边形OCED的周长＝2（OC+OD）＝2×（）＝8， 故选：C． 8．（3分）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 【分析】连接AR，由题意可知EF是△APR的中位线，且AR的长是定值，从而得出结论． 【解答】解：如图，连接AR， ∵四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF是△APR的中位线， ∴EF， 由题意可知，线段AR的长度是定值， ∴线段EF的长度是定值， ∴线段EF的长不变， 故选：C． 9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ABD，DE平分∠ADB，则下列结论中不正确的是（　　） A．AB＝DC B．ED⊥CD C．∠A+∠DEC﹣∠ECB＝90° D．∠DFC＝∠ADE+∠BCE 【分析】根据平行线性质求出∠ABC＝∠ADC，得出平行四边形ABCD，即可推出AB＝CD可判断A正确；根据等腰三角形性质求出DE⊥AB，即可推出ED⊥CD，故B正确；由三角形内角和定理易得∠DEC+∠DCE＝90°，结合∠A＝∠BCD，可证明∠A+∠DEC﹣∠ECB＝90°，故C正确．过点E作EG∥BC，易得∠DEF＝∠GEC+∠DEG≠∠BCE，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知∠DFC≠∠ADE+∠BCE，故D错误． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠A＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠A＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，故选项A正确，不符合题意； ∵∠A＝∠ABD，DE平分∠ADB， ∴DE⊥AB， 又AB∥CD， ∴DE⊥CD，故选项B正确，不符合题意； ∴∠CDE＝90°， ∴∠DEC+∠DCE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣90°＝90°， ∵∠A＝∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠ECB＝∠A﹣∠ECB， ∴∠A+∠DEC﹣∠ECB＝∠BCD+∠DEC﹣∠ECB＝∠DEC+∠DCE＝90°，故选项C正确，不符合题意； 如图，过点E作EG∥BC， ∴∠GEC＝∠BCE， ∴∠DEF＝∠GEC+∠DEG≠∠BCE， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠FDE， 又∵∠DFC＝∠FDE+∠DEF， ∴∠DFC＝∠ADE+∠DEF， ∴∠DFC≠∠ADE+∠BCE，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 10．（3分）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①∠C＝45°；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，可对④进行判断． 【解答】解：在△BEH和△DEC中， ， ∴△BEH≌△DEC（AAS）， ∴EH＝EC， ∴CE≠DE， ∴∠C≠45°， 故①错误； ∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴△DEB是等腰直角三角形， ∴BE＝DE， ∵BF⊥CD， ∴∠FHD+∠FDH＝90°， ∵∠C+∠FDH＝90°， ∴∠C＝∠FHD， ∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE， ∴∠A＝∠BHE， 故②正确； ∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE， ∵∠BDE＞∠HBE， ∴∠BDG＞∠BHD， 故③错误； ∵△BEH≌△DEC，AB＝CD， ∴BH＝CD， ∴AB＝BH， ∵BF⊥CD， ∴BG⊥AB， ∴AB2+BG2＝AG2， ∴BH2+BG2＝AG2， 故④正确； ∴正确结论的为②④，共2个， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是　至少有两个内角是钝角　． 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【解答】解：用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角， 故答案为：至少有两个内角是钝角． 12．（3分）如果一个正多边形的内角和为1800°，那么这个正多边形共有对角线　54　条． 【分析】设该正多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理计算出多边形的边数，然后根据n边形对角线的总条数为计算即可． 【解答】解：设该正多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理可得： （n﹣2）•180°＝1800°， 解得：n＝12， ∴对角线为：（条）， 故答案为：54． 13．（3分）在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为　32或34．　． 【分析】据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB＝BE，BC＝BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，BC＝BE+EC， ①当BE＝5，EC＝6时， 平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝2（5+5+6）＝32． ②当BE＝6，EC＝5时， 平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝2（6+6+5）＝34． 故答案为：32或34． 14．（3分）在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　﹣3或5　． 【分析】证明BC∥x轴，再求出BC＝OA＝4，进而分两种情况讨论，①点C在点B左侧，则x＝﹣3；②点C在点B右侧，则x＝5，即可得出结论． 【解答】解：∵B（1，3），C（x，3）， ∴BC∥x轴， ∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（4，0）， ∴BC＝OA＝4， ①当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣4＝﹣3； ②当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+4＝5； 综上所述，x＝﹣3或5， 故答案为：﹣3或5． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　3或5　时，四边形PDCQ是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝CQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形， ∵P在AD上运动， ∴t7.5，即0＜t≤7.5， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴DP＝CQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为4t＝15﹣t， 解得t＝3， ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为15﹣415﹣t， 解得：t＝5； 故答案为：3或5． 16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　　． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用解直角三角形得AH＝AB•sin∠ABC＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝2，CH＝BC﹣BH＝4，由勾股定理得AC＝2，再由AQ＝AB＝4，可得点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24． 【解答】解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，连接AC， ∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°， 则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2， ∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4， 在Rt△ACH中，AC2， ∵点B与点Q关于直线AP对称， ∴AQ＝AB＝4， ∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上， ∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的3倍． （1）这个多边形是几边形？ （2）求这个多边形的内角和． 【分析】（1）先设这个多边形的每个外角都为x°，再根据每个内角与它相邻的外角是互为邻补角，列出关于x的方程，求出每个外角的度数，再根据多边形的外角和是360°，求出多边形的边数即可； （2）根据（1）中所求边数，根据多边形内角和公式求出答案即可． 【解答】解：（1）设这个多边形的每个外角都为x°，则与它相邻的内角为3x°，由题意得： x+3x＝180， 4x＝180， x＝45， ∴这个多边形的边数为：360÷45＝8， ∴这个多边形是八边形； （2）由（1）可知这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为： （8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长． 【分析】（1）由平行四边形性质∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，再结合中点条件，利用“SAS”即可证明． （2）根据题意得出△ODC为等腰三角形，由F是CO的中点，可得BE⊥AC，利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵点E，F分别为OA，OC的中点， ∴，， ∴AE＝CF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：∵BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12， ∴BD＝40， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴△DCO为等腰三角形， ∵点F是CO的中点， ∴DF⊥AC， 在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20， 由勾股定理得：． 19．（8分）已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC． （1）证明：四边形ABDE是平行四边形； （2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，AB＝BC，根据全等三角形的性质得到∠DAB＝∠DCB，求得∠ADE＝∠DAB，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到AB＝BD＝5，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC， ∴AD＝CD，AB＝BC， 在△ADB与△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（SSS）， ∴∠DAB＝∠DCB， ∵∠BCD＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DAB， ∴DE∥AB， ∵AE⊥AC， ∴AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）解：∵AE＝DE＝5，四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝BD＝5， ∵AC⊥BD， ∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2， ∴62﹣DF2＝52﹣（5﹣DF）2， 解得：DF＝3.6， ∴AF4.8， ∴AC＝2AF＝9.6， 故答案为：9.6． 20．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF； （2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F， ∴∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°， ∴EB⊥FC； （2）解：如图，过A作AM∥FC， ∵AM∥FC， ∴∠AOB＝∠FGB， ∵EB⊥FC， ∴∠FGB＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝5， ∵AO⊥BE， ∴BO＝EO， 在△AOE和△MOB中， ， ∴△AOE≌△MOB（ASA）， ∴AO＝MO， ∵AF∥CM，AM∥FC， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴AM＝FC＝6， ∴AO＝3， ∴EO4， ∴BE＝8． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点M． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 【分析】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可． 【解答】（1）证明：连接EF，AE． ∵点E，F分别为BC，AC的中点， ∴EF∥AB，EFAB． 又∵ADAB， ∴EF＝AD． 又∵EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∴AF与DE互相平分， ∴AP＝FP； （2）解：在Rt△ABC中， ∵E为BC的中点，BC＝10， ∴AEBC＝5． 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF＝AE＝5． 22．（10分）在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）如图1，求证：四边形BDAF是平行四边形； （2）如图2，若∠ACD＝90°，请写出图中所有的等腰三角形． 【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF＝DC，证出AF＝BD，由平行四边形的判定定理即可得出结论； （2）由直角三角形的中线性质得出CEAD＝AE＝DE，得出△ACE和△CDE是等腰三角形，再证出BF＝CF，AE＝EF，得出△BCF、△AEF是等腰三角形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE， 在△AEF和△DEC中，， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴AF＝BD， 又∵AF∥BC，即AF∥BD， ∴四边形BDAF是平行四边形； （2）解：∵∠ACD＝90°，E是AD的中点， ∴CEAD＝AE＝DE， ∴△ACE和△CDE是等腰三角形， 由（1）得：△AEF≌△DEC， ∴FE＝CE， ∴CEAD＝AE＝DE＝FE， ∴BF＝CF， ∴△BCF、△AEF是等腰三角形， 综上所述：图中所有的等腰三角形为△ACE、△CDE、△BCF、△AEF． 23．（12分）如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），点C坐标是（4，6）． （1）请直接写出点B的坐标 　（14，6）　； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【分析】（1）由点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），得到OA＝10，根据平行四边形的性质得到BC∥OA，BC＝OA，于是得到B（14，6）； （2）设D（m，6），①当OD＝OA＝10时，根据勾股定理得到OD10，求得m＝8（负值舍去），得到D（8，6），②当OD＝AD时，得到点D在OA的垂直平分线上，求得D（5，6），③OA＝AD＝10时，根据勾股定理得到AD10，求得m＝2＜4（不合题意舍去），于是得到结论； （3）如图，连接AC，OB交于E，根据平行四边形的性质得到AE＝CE，求得E（5，3），根据题意得到直线y＝kx+b过E（5，3），于是得到结论． 【解答】解：（1）点A坐标是（10，0），O（0，0）， ∴OA＝10， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA， ∵点C坐标是（4，6）， ∴B（14，6）， 故答案为：（14，6）； （2）∵点D是线段CB上一个动点， ∴设D（m，6）， ∵三角形OAD是等腰三角形， ①当OD＝OA＝10时， ∴OD10， ∴m＝8（负值舍去）， ∴D（8，6）， ②当OD＝AD时，则点D在OA的垂直平分线上， ∴D（5，6）， ③OA＝AD＝10时， ∴AD10， ∴m＝2＜4（不合题意舍去）， 综上所述，D（8，6）或（5，6）； （3）如图，连接AC，OB交于E， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AE＝CE， ∵点A坐标是（10，0），点C坐标是（4，6）， ∴E（7，3）， ∵y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线y＝kx+b过E（7，3）， ∴3＝7k+b， ∴k， 即k与b的函数关系式为kb． 24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　t　cm，AM＝　4t　cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设AD＝x，由勾股定理求出AD即可； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意，得：BP＝t cm，AM＝4t cm； 故答案为：t，4t； （2）设AD＝x cm，则：CD＝（10﹣x）cm， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝6； ∴AD＝6cm； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时， 由题意得：PQ＝BP＝t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形， 解得t＝1.2； ②当点M在点D的下方时， 根据题意得：PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形， 解得t＝2． 综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$