专题10向量三大定理与四心（13题型+提分快招）2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题10 向量三大定理与四心 目录 题型01 基础思维：等分点型 1 题型02 基础思维：起点不一致型 3 题型03 三大定理：极化恒等式 4 题型04 三大定理：奔驰定理 6 题型05 等和线：基础思维 7 题型06 等和线：圆代换型 9 题型07 等和线：均值构造型 10 题型08 等和线：二次及高次构造型 11 题型09 等和线：差型 13 题型10 向量四心：内心 14 题型11 向量四心： 15 题型12向量四心：垂心 15 题型13 向量四心：重心 16 题型01 基础思维：等分点型 【解题规律·提分快招】 线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三·天津南开·如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高三·江苏苏州·模拟）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三·天津·模拟）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（    ） A． B． C． D． B． 题型02 基础思维：起点不一致型 【解题规律·提分快招】 向量共线定理和向量基本定理 ①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. ②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)： 若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使. 特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 【典例1-1】 （2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，与相交于点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2023高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ等于（　　）    A．1 B． C． D． 【变式1-1】 （15-16高三·广东·模拟）在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则 A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三·山东烟台·阶段练习）在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·山东·模拟预测）已知等腰直角三角形中，，，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（    ） A． B．1 C．2 D． B． 题型03 三大定理：极化恒等式 【解题规律·提分快招】 设a，b是平面内的两个向量，则有 ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 【典例1-1】 （23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【典例1-2】 （2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（    ）    A．1 B．-2 C．2 D． 【变式1-1】 （2020·全国·模拟预测）如图，已知圆的半径为2，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是（    ） A．1 B．-2 C．-3 D．-1 【变式1-2】 （2023·广东深圳·模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （19-20高三下·四川乐山·阶段练习）伟大的法国数学家笛卡尔创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，，，，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型04 三大定理：奔驰定理 【解题规律·提分快招】 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典例1-1】 （23-24高三·上海浦东新·模拟）是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【典例1-2】 （2018·河北衡水·模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式1-1】 （14-15高三·全国·课后作业）已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1-2】 （24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1-3】 （20-21高三·重庆·模拟）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． B． 题型05 等和线：基础思维 【解题规律·提分快招】 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 【典例1-1】 （18-19高三下·上海普陀·开学考试）在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍，若存在正实数使得成立,则的最小值为 A． B． C． D． 【典例1-2】 （2017·四川成都·一模）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-1】 （2020·上海·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （19-20高三上·山西太原·阶段练习）如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （19-20高三上·上海浦东新·模拟）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点、、），是圆上及其内部的动点，设（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 等和线：圆代换型 【解题规律·提分快招】 如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解 【典例1-1】 （20-21高三·江苏南京·模拟）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （高三·安徽合肥·阶段练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【变式1-1】 （2021·浙江金华·三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（    ） A．若m+n=3，则M的最小值为3 B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值 C．若m·n=3，则M的最小值为3 D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值 【变式1-2】 （20-21高三·四川成都·模拟）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三·河南信阳·阶段练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 题型07 等和线：均值构造型 【解题规律·提分快招】 利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 【典例1-1】 （2019·安徽·一模）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为 A．16 B．8 C．4 D．2 【典例1-2】 （20-21高三上·黑龙江七台河·模拟）在中，E为上一点，且，P为上一点，且，则取最小值时，向量的模为（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】 （湖北武汉市蔡甸区汉阳一中2021届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为 A．2 B． C．3 D． 【变式1-2】 （2022安徽淮北·二模）如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为 A．2 B． C．3 D． 【变式1-3】 （2023·广西·一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 B． 题型08 等和线：二次及高次构造型 【解题规律·提分快招】 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 【典例1-1】 （高三上·福建福州·模拟）在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高三·安徽宿州·模拟）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高三·广西南宁·阶段练习）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N．设，，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式1-2】 （20-21高三·四川成都·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点.设则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （21-22高三上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 （    ） A．3 B． C． D． 题型09 等和线：差型 【解题规律·提分快招】 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 2. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 【典例1-1】 （22-23高三下·河北唐山·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三·湖南岳阳·模拟）中，点为边AC上的点，且，若，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式1-1】 （23-24高三上·河北邢台·阶段练习）在中，D是边BC上一点，且，E是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三上·山东·开学考试）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式1-3】 （23-24高三·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型10 向量四心：内心 【解题规律·提分快招】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为内心，则； 【典例1-1】 （2017·浙江·模拟预测）已知中，，是的内心，是内部（不含边界）的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2022高三·全国·专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （21-22高三·四川成都·模拟）在中，，若点为的内心，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-2】 （2021·甘肃平凉·二模）在中，，，，为中点，为的内心，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （21-22高三·江苏盐城·阶段练习）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 题型11 向量四心：外心 【解题规律·提分快招】 设是内一点且； 若为外心，则； 【典例1-1】 （22-23高三上·山西吕梁·阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为 ． ①；②；③． 【典例1-2】 （22-23高三·重庆渝中·模拟）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 【变式1-1】 （22-23高三·上海杨浦·模拟）在锐角三角形ABC中，，，点O为△ABC的外心，则的取值范围为 . 【变式1-2】 （23-24高三·浙江·模拟）已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为 ． 【变式1-3】 （22-23高三·广东广州·模拟）已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列错误的是（    ）． A．若，，则为直角三角形 B．若，则为正三角形 C．若，，则 D．若，，则为顶角为的等腰三角形 题型12向量四心：垂心 【解题规律·提分快招】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 【典例1-1】 （19-20高三·浙江绍兴·模拟）若是垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （19-20高三上·浙江杭州·模拟）若是垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2021·贵州遵义·模拟预测）已知的外接圆的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式1-2】 （2020·安徽·三模）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （19-20高三·安徽滁州·阶段练习）在中，，G为的重心，H为的垂心.则 A．4 B．5 C．-4 D．-5 题型13 向量四心：重心 【解题规律·提分快招】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为重心，则； 【典例1-1】 （2022·辽宁朝阳·一模）在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则的最小值 A． B． C． D． 【典例1-2】 （2018·辽宁朝阳·一模）在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则 A． B． C． D． 【变式1-1】 （高三上·湖南株洲·阶段练习）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式1-2】 （20-21高三·福建泉州·阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三上·湖北恩施·模拟）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 冲高考 1．（24-25高三上·山东青岛·模拟）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 2．（24-25高三上·吉林长春·模拟）如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 ． 3．（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 . 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 . 5．（20-21高三·浙江嘉兴·模拟）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 . 6．（23-24高三·山东日照·模拟）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 向量三大定理与四心 目录 题型01 基础思维：等分点型 1 题型02 基础思维：起点不一致型 4 题型03 三大定理：极化恒等式 6 题型04 三大定理：奔驰定理 8 题型05 等和线：基础思维 12 题型06 等和线：圆代换型 15 题型07 等和线：均值构造型 18 题型08 等和线：二次及高次构造型 21 题型09 等和线：差型 23 题型10 向量四心：内心 26 题型11 向量四心： 28 题型12向量四心：垂心 31 题型13 向量四心：重心 34 题型01 基础思维：等分点型 【解题规律·提分快招】 线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三点共线的充要条件建立方程，然后求出的值． 【详解】，， ，，三点共线，，，故选：A． 【典例1-2】 （22-23高三·天津南开·如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性表示可得. 【详解】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 【变式1-1】 （23-24高三·江苏苏州·模拟）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为，设，则， 因为，，三点共线，则，解得，即，所以；法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系，设，，则，所以直线，直线，联立方程，解得， 可得，，，设， 则，解得，所以； 法3：如图，延长，，交于点，因为为中点，所以， 又，则，可得，可知，所以；故选：C. 【变式1-2】 （23-24高三·天津·模拟）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则求即可. 【详解】因为E是的中点，所以又 所以所以故选:C. 【变式1-3】 （23-24高三·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可. 【详解】设的中点为A，则， 所以.选：D 题型02 基础思维：起点不一致型 【解题规律·提分快招】 向量共线定理和向量基本定理 ①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. ②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)： 若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使. 特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 【典例1-1】 （2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，与相交于点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到为的中点，化简得到，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为平行四边形中，与相交于点，可得为的中点， 由，可得为的中点，所以，可得， 又由，所以，所以.故选：B． 【典例1-2】 （2023高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ等于（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，作＝，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.    【变式1-1】 （15-16高三·广东·模拟）在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵由题意可得，∴，再由可得，∴．作平行交于点，∴，∴．∵，∴．故选D． 【变式1-2】 （23-24高三·山东烟台·阶段练习）在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件，可由，做基底表示，,再反解出即可. 【详解】因为，，所以，设， 所以①② 由①知③，由②+③得，即故选：A. 【变式1-3】 （2023·山东·模拟预测）已知等腰直角三角形中，，，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析运算. 【详解】由题意可得：， 若，则， 可得，故.故选：D. 题型03 三大定理：极化恒等式 【解题规律·提分快招】 设a，b是平面内的两个向量，则有 ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 【典例1-1】 （23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 【典例1-2】 （2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（    ）    A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】C 【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可. 【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.故选：C 【变式1-1】 （2020·全国·模拟预测）如图，已知圆的半径为2，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是（    ） A．1 B．-2 C．-3 D．-1 【答案】D 【分析】连接，利用平面向量的运算法则得到，连接，在中，当时，最小，求出的值即可得到结果. 【详解】连接， 由题可知，， 连接，在中，当时，最小，由于， 所以的最小值为，因此的最小值为，故选：D． 【变式1-2】 （2023·广东深圳·模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】， ， .故选：C. 【变式1-3】 （19-20高三下·四川乐山·阶段练习）伟大的法国数学家笛卡尔创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，，，，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可. 【详解】过作于，故，因为，， 故，则 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力， 题型04 三大定理：奔驰定理 【解题规律·提分快招】 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典例1-1】 （23-24高三·上海浦东新·模拟）是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可. 【详解】如图所示，过点作，垂足为点． 则，同理， 动点满足，． ，．，，因此的轨迹一定通过的垂心．故选：D． 【典例1-2】 （2018·河北衡水·模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案. 【详解】设的中点为，因为， 所以即，两端同时点乘， 所以， 所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B. 【变式1-1】 （14-15高三·全国·课后作业）已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】将提取出来, 转化成, 而表示与共线的向量, 点是的中点, 故的轨迹一定通过三角形的重心. 【详解】设 而表示与共线的向量而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C 【变式1-2】 （24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】，,令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线上的向量，即在的平分线上，，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B 【变式1-3】 （20-21高三·重庆·模拟）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ，同理可得，∴：，又，∴， 又，∴，不妨设，其中， ∵，∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，，于是，解得.故选：A. 题型05 等和线：基础思维 【解题规律·提分快招】 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 【典例1-1】 （18-19高三下·上海普陀·开学考试）在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍，若存在正实数使得成立,则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由△ACB面积是△ADC面积的3倍，结合三角形的面积公式可知3DF＝BE，然后结合相似三角形的性质可转化为3，然后结合向量加减法的三角形法则可用，表示，然后根据向量共线定理可设，结合已知可求＝10，然后由，利用基本不等式可求 【详解】根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，若△ACB面积是△ADC面积的3倍，即3DF＝BE，根据相似三角形的性质可知，3， ∴3（）＝，∴，设＝，∵＝，∴∴＝10，∴当且仅当且＝10，即x＝时取等号 故答案为：． 【典例1-2】 （2017·四川成都·一模）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则 所以 ，即 选C. 【变式1-1】 （2020·上海·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立直角坐标系得到，再设得到，接着建立方程组得到，最后求的取值范围即可. 【详解】解：建立直角坐标系，如图，则，，， 设（），则在圆上，设， 则，则， 则当，时，；则当，时，；所以的取值范围：故选：A 【变式1-2】 （19-20高三上·山西太原·阶段练习）如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点取圆与交线上的点时，知，故排除，.当点与点重合，且点取圆与的交线上最靠近的点时，，故排除. 【详解】当点取圆与交线上的点时，由平面向量基本定理可知：，故排除，. 当点与点重合，且点取圆与的交线上最靠近的点时，如图所示： ，，，，故排除故选：A 【变式1-3】 （19-20高三上·上海浦东新·模拟）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点、、），是圆上及其内部的动点，设（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得的坐标，进而可得的坐标．分类讨论，当动圆的圆心在上运动或在上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点坐标，再利用三角函数求的最值． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，，可得，当点在上运动时，设，则点在圆：上及内部，故可设，则， ，，， 当时，取最小值为，即；当时，取最大值为，即，的取值范围是；当点在上运动时，设， 则点在圆：上及其内部，故可设， 则，，， ，当时，取最小值为，即； 当时，取最大值为，即，的取值范围是； 故选：D． 题型06 等和线：圆代换型 【解题规律·提分快招】 如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解 【典例1-1】 （20-21高三·江苏南京·模拟）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，   令，则，因为，则，,， 又，则，则，则，又， 易知为减函数，由单调性易得其值域为.故选：B. 【典例1-2】 （高三·安徽合肥·阶段练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， 设，则，由题意可得 令 则在上不是单调函数，从而在上一定有零点 即在时有解，可得 解得，经检验此时取得最大值.故答案选 【变式1-1】 （2021·浙江金华·三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（    ） A．若m+n=3，则M的最小值为3 B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值 C．若m·n=3，则M的最小值为3 D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值 【答案】A 【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题． 【详解】：设，如图：以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，， ，， ． ①若，取，，则， ，，，， ,，此时，、两点重合，所以正确； 取，，则，当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误； ②若，取，则， 当时，，故C错误； 取，时，则， 当时，取最小值，点不唯一，故D错误.故选：A． 【变式1-2】 （20-21高三·四川成都·模拟）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 ，则，䢖立以点为原点的坐标系，设 ，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示出，，从而求得的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值 【详解】由, 则，所以 建立如图所示坐标系， 则，设，， 由,化简得: ，则 , 其中,则当时, 最大，值为故选：C 【变式1-3】 （23-24高三·河南信阳·阶段练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】以为轴，过作与垂直的线作为轴建立平面直角坐标系，设，根据平面向量基本定理得到，再利用辅助角公式计算可得. 【详解】如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴， ，，，，则，， 设， ，，， 其中，又，所以， ，即时，取得最大值，即．故选：C． 题型07 等和线：均值构造型 【解题规律·提分快招】 利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 【典例1-1】 （2019·安徽·一模）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由题意结合三点共线的性质首先得到的关系，然后结合均值不等式的结论求解的最小值即可. 【详解】由题意可知：，其中B,P,D三点共线， 由三点共线的充分必要条件可得：，则： ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为16.本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【典例1-2】 （20-21高三上·黑龙江七台河·模拟）在中，E为上一点，且，P为上一点，且，则取最小值时，向量的模为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意和平面向量基本定理可得m和n的关系，由基本不等式可得式子取最小值时的m和n的值，由向量的模长公式可得． 【详解】解：∵，∴m4n，又∵P为BE上一点，不妨设λ，（0＜λ＜1），∴λλ（）＝（1﹣λ）λ， ∴m4n（1﹣λ）λ，∵，不共线，∴，∴m+4n＝1， ∴（）（m+4n）＝5≥5+29。当且仅当即m且n时，上式取到最小值，∴向量（m，n）的模||故选：C． 【变式1-1】 （湖北武汉市蔡甸区汉阳一中2021届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为 A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】，因为三点共线，所以，因此，选B. 【变式1-2】 （2022安徽淮北·二模）如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为 A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】，因为三点共线，所以，因此，选B. 【变式1-3】 （2023·广西·一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果． 【详解】由于M为线段BC的中点，则 又，所以，又， 所以，则 因为三点共线，则，化得 由 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1故选：B 题型08 等和线：二次及高次构造型 【解题规律·提分快招】 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 【典例1-1】 （高三上·福建福州·模拟）在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用向量线性运算可得，，利用二次函数求最值即可. 【详解】如图， 存在实数使得 ，， 所以，所以 ， 原式 ， 当时，函数取得最小值，故选：C 【典例1-2】 （23-24高三·安徽宿州·模拟）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的线性运算用表示，再代入求出范围即得. 【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，   则，于是， 因此，所以的取值范围是.  故选：B 【变式1-1】 （23-24高三·广西南宁·阶段练习）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N．设，，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理的推论可得，然后利用换元法结合二次函数性质求出最值即可. 【详解】由题可知，， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为三点共线，所以，则，则， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为.故选：D. 【变式1-2】 （20-21高三·四川成都·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点.设则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用表示出，再结合结论：若三点共线且，则.即可得出的关系式，即可得出有最小值. 【详解】因为，所以. 又因为三点共线，所以.所以. 所以 所以当时,有最小值为. 故选:A. 【变式1-3】 （21-22高三上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理，可得，即，再根据平面向量线性运算得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：由平面向量基本定理，且三点共线可知：，又 ，所以 解得 ，所以，当且仅当即时取等号； 故选：B 题型09 等和线：差型 【解题规律·提分快招】 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 2. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 【典例1-1】 （22-23高三下·河北唐山·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为三点共线，所以可设， 则， 又， 所以，又，， 所以，所以， 所以，消去得，所以，因为，，得，得，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：A 【典例1-2】 （22-23高三·湖南岳阳·模拟）中，点为边AC上的点，且，若，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【详解】由题意易得：， 故.故选：A. 【变式1-1】 （23-24高三上·河北邢台·阶段练习）在中，D是边BC上一点，且，E是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用基底表示，再结合的关系，即可求得和. 【详解】根据题意，作图如下：因为D是边BC上一点，且，所以；又E是AD的中点，所以，则.故选：A. 【变式1-2】 （23-24高三上·山东·开学考试）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得,进而求得的值，进一步计算即可. 【详解】如图：  因为 ,所以故选： 【变式1-3】 （23-24高三·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数及得到，即可得到，再由平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解. 【详解】如图在锐角中，为边上的高，所以，，又， 所以，所以，则，所以，又，所以，所以.故选：C   题型10 向量四心：内心 【解题规律·提分快招】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为内心，则； 【典例1-1】 （2017·浙江·模拟预测）已知中，，是的内心，是内部（不含边界）的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，通过向量线性关系，得出目标函数，根据三角形及其内心得出可行域，由线性规划即可得出最值. 【详解】如图所示：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则易得:，，，， 设点，则由得，所以则， 又由题意得点在以为顶点的三角形内部（不包含边界）， 由图易得当目标函数与直线重合时，取得最大值1， 当目标函数经过点时，取得最小值，又因为点的可行域不包含边界， 所以的取值范围为，即的取值范围为，故选：A 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、不等式组表示的平面区域，根据题中三角形的特点将问题转化为线性规划求最值是解题的关键，本题属于较难题. 【典例1-2】 （2022高三·全国·专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解. 【详解】由得，则， 因为O为△的内心，所以，从而， 解得，，所以.故选：C. 【变式1-1】 （21-22高三·四川成都·模拟）在中，，若点为的内心，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理得，得到，求得，进而求得 内切圆半径，得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】在中，由，且点为的内心可知，平分， 设圆交于点，根据余弦定理可得， 所以，所以，所以， 则 内切圆半径，所以在中，， 所以故选：C. 【变式1-2】 （2021·甘肃平凉·二模）在中，，，，为中点，为的内心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，建立直角坐标系，求出，即得解. 【详解】如图所示，因为,所以. 所以内切圆的半径为，所以点， 所以，所以，所以. 所以.故选：A 【变式1-3】 （21-22高三·江苏盐城·阶段练习）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出，再由得出. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系： 设的内切圆的半径为，则，解得 故，则 因为，所以，即，解得，故.故选：C 题型11 向量四心：外心 【解题规律·提分快招】 设是内一点且； 若为外心，则； 【典例1-1】 （22-23高三上·山西吕梁·阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为 ． ①；②；③． 【答案】①③ 【分析】根据题意得到，变形得到，平方计算得到①正确，变形得到，平方得到，②不正确，变换得到，平方得到，计算得到，得到③正确，得到答案. 【详解】由题意可知：． ①，则，两边同时平方得到： ，解得：，故①正确． ②，则，， 两边再平方得到：．所以|，所以②不正确． ③，，两边平方得到： ，，， 同理可得：，，，． 故，，且，， ，即．故③正确． 故答案为：①③ 【典例1-2】 （22-23高三·重庆渝中·模拟）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由结论可得，从而可得，再根据可得，从而有，求解即可. 【详解】  如图，因为O是的外心，所以，由结论可得，即 ， 可得，即.因为，所以， 所以，即，即，解得.故答案为：. 【变式1-1】 （22-23高三·上海杨浦·模拟）在锐角三角形ABC中，，，点O为△ABC的外心，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】三角形外接圆的性质、正弦定理得、，、，利用向量数量积的运算律转化求. 【详解】， 因为锐角三角形中，所以，，所以，，又，即，则， 其中，，，因为在锐角三角形内部，故，故，故， 则，即.故答案为： 【变式1-2】 （23-24高三·浙江·模拟）已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，然后利用余弦定理即可得长． 【详解】如图，连接，作于，则是的中点，， ，同理， ， ， 所以，又，即，， 所以，即， 由余弦定理得，所以. 故答案为：． 【变式1-3】 （22-23高三·广东广州·模拟）已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列错误的是（    ）． A．若，，则为直角三角形 B．若，则为正三角形 C．若，，则 D．若，，则为顶角为的等腰三角形 【答案】C 【分析】对于A和B，通过已知关系判断点的位置从而判断； 对于C和D，运用数量积的运算律，通过平方等方法进行转化求解即可. 【详解】对于A，若，，则，则是中点， 又因为是的外心，则为直角三角形，故A正确. 对于B，若，则，即是的重心， 又因为是的外心，所以为正三角形，故B正确. 对于C，若，，则，平方得，， 因为，所以代入得，则，故C错误. 对于D，若，，则，即， 如下图所示，取中点，则，  所以在的中线上，又因为是的外心，所以，即，则是等腰三角形， 由，平方得， 因为，所以， 即，所以，由圆的性质可知， 则为顶角为的等腰三角形，故D正确.故选：C 题型12向量四心：垂心 【解题规律·提分快招】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 【典例1-1】 （19-20高三·浙江绍兴·模拟）若是垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积，结合同角三角函数的基本关系，正弦定理与三角恒等变换求解即可 【详解】如图，点是垂心，在中，，由有，连接并延长交于点，则，， 所以，则 设，则，所以，由正弦定理得， ，因为，所以， ，整理得：，因为，故， 故选：A 【典例1-2】 （19-20高三上·浙江杭州·模拟）若是垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值. 【详解】在中，，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，所以同乘以得， 因为，所以由正弦定理可得 又，所以有，而， 所以，所以得到， 而，所以得到，故选：D. 【变式1-1】 （2021·贵州遵义·模拟预测）已知的外接圆的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】由题意画出相关示意图，、分别是、的中点，连，，，根据向量在几何图形中的应用有，即得与共线即可知P与的关系. 【详解】 如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而，∴，即有，有与共线，∵的外接圆的圆心是M，有，则，同理有，， ∴P是的垂心.故选：D. 【变式1-2】 （2020·安徽·三模）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的减法运算可得，从而可得，设点是边的中点，即，进而点在边的中垂线上，即点是的外心，利用向量的数量积求出的值，从而可得角的大小. 【详解】因为，所以， 即，， 即（点是边的中点），所以点在边的中垂线上. 同理点在边的中垂线上.因此点是的外心.设外接圆的半径是. .故选：D 【变式1-3】 （19-20高三·安徽滁州·阶段练习）在中，，G为的重心，H为的垂心.则 A．4 B．5 C．-4 D．-5 【答案】D 【解析】先由题意G为的重心，H为的垂心可得：，，再利用向量的减法法则和数量积的运算即可. 【详解】因为G为的重心，H为的垂心， 所以，， 则 故选：D 题型13 向量四心：重心 【解题规律·提分快招】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为重心，则； 【典例1-1】 （2022·辽宁朝阳·一模）在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则的最小值 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设M为BC中点，则，所以   当且仅当时取等号，所以选A. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 【典例1-2】 （2018·辽宁朝阳·一模）在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为三角形的重心，所以，又，，所以，，所以，因为三点共线，所以，故，故选A. 【变式1-1】 （高三上·湖南株洲·阶段练习）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用三角形重心的向量表示，化简可得.然后利用基本不等式来求得最值. 【详解】因为，，三点共线，所以，所以又因为是重心，所以，所以，所以，化简得，由基本不等式得 当且仅当即时，等号成立，故选：C 【变式1-2】 （20-21高三·福建泉州·阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心性质及，，共线得到，的关系式，再构造重要不等式，求出最小值． 【详解】为的重心，又在线段上， 故选：． 【变式1-3】 （23-24高三上·湖北恩施·模拟）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且， 由题设，又共线， 所以，即，注意，   由 ，当且仅当，即时等号成立，故目标式最小值为1. 故选：A 冲高考 1．（24-25高三上·山东青岛·模拟）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【详解】①由题意得，，设，，， 则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 2．（24-25高三上·吉林长春·模拟）如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，然后设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角恒等变换与正弦函数的性质求解即可． 【详解】根据题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： 则，半圆弧的方程为：， 设，则，，由，得 ，解得，由，设，其中， 可得 ，由，得，则， 得，得的取值范围为：.故答案为： 3．（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果. 【详解】由得，，解得，故. 设交于点，由题意得，.在中，由余弦定理得，，故. 由得，，，所以. 取中点，连接，则，，所以，故.因为， 所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离. 由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为， 由得点到直线的距离为，即， 此时.故答案为：；. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 . 【答案】 【分析】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等和勾股定理以及对称性得到点的轨迹方程，再由两点间距离公式求出，由向量数量积的坐标表示结合几何意义求出的最小值； 【详解】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等可知，不妨设点在轴上方时， 由可得，又，所以， 设圆的半径为，所以在中，，解得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆中所对应的优弧，不包括断点， 又对称性可得轴下方也满足，图形如下：可得点轨迹方程为， 当时，直线方程为，联立，解得， 由对称性可得，所以， 当时，设，由对称性可得，所以， 由几何意义可得表示点到原点距离的平方，所以的最小值为. 故答案为：；. 5．（20-21高三·浙江嘉兴·模拟）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值. 【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F， 与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，， 因为，所以，在中，由余弦定理得.又由，得，即，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆. 因为 ，当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：. 6．（23-24高三·山东日照·模拟）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围. 【详解】 如图，设,则,因对任意实数都有，成立，即对任意实数都有，成立， 因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，,即点在以为直径的圆上，设圆心为. 则，而为向量在上的射影的长. 过点作，交于点，交圆于点，因则， 则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值），则, 不妨设,则 于是，， 因，则，而， 即的最大值为， 当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，， 此时取得最小值.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$