专题13 数列综合大题（16题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题13 数列综合大题 目录 题型01 求和基础思维 1 题型02 求和基础方法：分组公式法 2 题型03 分段型求和 3 题型04 正负相间型 3 题型05 错位相消思维 4 题型06 函数中心对称性质型 5 题型07 裂项求和难点：裂项基础型 6 题型08 裂项求和难点：分母线性差（函数型） 7 题型09 裂项求和难点：裂和型 8 题型10 裂项求和难点：齐次分离常数型 9 题型11 裂项求和难点：同构型 9 题型12 裂项求和难点：分母有理化型 10 题型13 放缩型不等式：先求和再放缩 11 题型14 放缩型不等式：先放缩再求和 12 题型15 求导数函数型数列不等式 13 题型16 插入数型 13 题型01 求和基础思维 【解题规律·提分快招】 对于公式 （1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 【典例1-1】 （22-23高三·全国·）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【典例1-2】 （2024高三·北京·专题练习）已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 【变式1-1】 （22-23高三·全国·模拟）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列是否为等差数列？ 题型02 求和基础方法：分组公式法 【解题规律·提分快招】 等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【典例1-1】 （24-25高三天津南开·）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【典例1-2】 （19-20高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为3的等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式1-1】 （24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知数列，，． (1)证明：数列，为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 题型03 分段型求和 【解题规律·提分快招】 分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： 1.分奇偶各自新数列求和 2.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和 【典例1-1】 （·山西吕梁·一模）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河东·阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)记的前项和为，求的前项和； (3)对任意的正整数，求数列的前项和． 【变式1-1】 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 题型04 正负相间型 【解题规律·提分快招】 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【典例1-2】 （24-25高二上·天津·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【变式1-1】 （24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）；(3)求. 题型05 错位相消思维 【解题规律·提分快招】 三种思维： 1.思维结构结构图示如下 2.公式型记忆： 3.可可裂项为如下 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)求． (3)若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小． 【典例1-2】 （24-25高三下·天津武清·开学考试）设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求的前2n项和； (3)求数列的前项和. 【变式1-1】 （24-25高二上·天津滨海新·期末）已知数列的前项和，是公比大于的等比数列，且满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)对任意的正整数，设数列求． 题型06 函数中心对称性质型 【解题规律·提分快招】 函数中心对称性质型，实际上就是倒序求和： 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数。 【典例1-1】 （11-12高三上·江苏泰州·期中）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． （1）求证：点的纵坐标为定值； （2）若求； （3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围． 【典例1-2】 （2022高三·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【变式1-1】 （20-21高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)令，求数列的前2020项和. 题型07 裂项求和难点：裂项基础型 【解题规律·提分快招】 【典例1-1】 （24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列中，，且前项和为. (1)求数列的通项公式与数列的前项之和 . (2)若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值. 【典例1-2】 （24-25高二上·天津武清·阶段练习）已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，，数列的前项和为，若对 ，恒成立，求实数的取值范围. 题型08 裂项求和难点：分母线性差（函数型） 【解题规律·提分快招】 裂项相消系列1：函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 核心思维特征：分子是分母之差或者之和的倍数 【典例1-1】 （24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知等比数列的前项和为且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列及数列的前项和； (3)设，求的前项和. 【典例1-2】 （24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，，的前项和，求． 【变式1-1】 （2021·河南·模拟预测）已知正项等比数列{an}，满足a2a4=1，a5是12a1与5a3的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和Sn. 题型09 裂项求和难点：裂和型 【解题规律·提分快招】 正负型：等差裂和型 【典例1-1】 （2023·天津·一模）在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前项和.已知，且是与的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)求. 【典例1-2】 （19-20高二上·天津宁河·阶段练习）已知各项均不为0的数列的前n项和为，且对任意正整数n，有． (1)求的值及数列的通项公式； (2)对一切正整数m，设，求数列的前n项和． 【变式1-1】 （2022·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求的值； (3)设，数列的前项和为，求的最大值和最小值． 题型10 裂项求和难点：齐次分离常数型 【解题规律·提分快招】 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 【典例1-1】 （24-25高二上·福建宁德·期末）已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式： (2)记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 【典例1-2】 （24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，数列中，，，，时，且． (1)求证：数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. (3)已知时，求并化简． 【变式1-1】 （24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和. 题型11 裂项求和难点：同构型 【解题规律·提分快招】 ，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的.要注意：指数是在分母还是分子上 【典例1-1】 （2022·天津南开·三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项． (1)求和的通项公式； (2)已知，数列满足，求数列的前2n项和； (3)设，求数列的前n项和． 【典例1-2】 （21-22高三上·天津静海·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，   (1)求数列和的通项公式； (2)设 ，求数列的前2n项和. (3)设，，的前n项和，求证：. 【变式1-1】 （2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 题型12 裂项求和难点：分母有理化型 【解题规律·提分快招】 无理根式型裂项： 一般情况下，无理型裂项相消满足： 【典例1-1】 （24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式; (2)设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值; (3)在数列 中，对任意 ，当 时， ，若满足 ，求正整数 的最小值. 【典例1-2】 （2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 题型13 放缩型不等式：先求和再放缩 【解题规律·提分快招】 不等式证明： 可以先求和，通过求和化简为一个函数型数列通项，然后借助放缩和数列单调性证明不等式 【典例1-1】 （24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【典例1-2】 （24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【变式1-1】 （24-25高二上·河南安阳·期末）已知数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 题型14 放缩型不等式：先放缩再求和 【解题规律·提分快招】 先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。 【典例1-1】 （23-24高三上·天津·期末）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求实数的取值范围； (3)，数列前项和为，求证：. 【典例1-2】 （2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . (1)求甲以 的比分赢得比赛的概率; (2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求的范围; (3)若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足 ，求证: . （参考知识: 当 时，若 ，则 .） 【变式1-1】 （24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 题型15 求导数函数型数列不等式 【典例1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 【典例1-2】 （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列和等比数列，满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对于任意的时，恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 题型16 插入数型 【解题规律·提分快招】 复杂的数列题型三个层次： 1. 常规的奇、偶分段（注意n分奇偶讨论时，各自的项数关于n的函数）。 2. 跳项替换型，不仅仅是奇、偶跳项，还包含“数列型”跳项。 插入数改变型 【典例1-1】 （24-25高二上·天津·期末）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和. 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·期中）已知等差数列，等比数列 (1)求的通项公式. (2)，求. (3)任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 【变式1-1】 （11-12高三下·江西·阶段练习）设数列的前项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值； （3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）． 冲高考 1．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． (1)若等比数列为“A数列”，求的公比q； (2)若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 2．（2025·云南昆明·一模）已知数列，，，是的前项和. (1)证明：数列为等差数列； (2)求； (3)若，记数列的前项和为，证明：． 参考数据：. 3．（2025·湖南邵阳·一模）已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）. (1)当时，写出所有满足的数列； (2)试判断数列是否为等差数列，并加以证明； (3)当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差. 4．（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 数列综合大题 目录 题型01 求和基础思维 1 题型02 求和基础方法：分组公式法 3 题型03 分段型求和 5 题型04 正负相间型 7 题型05 错位相消思维 10 题型06 函数中心对称性质型 13 题型07 裂项求和难点：裂项基础型 16 题型08 裂项求和难点：分母线性差（函数型） 18 题型09 裂项求和难点：裂和型 20 题型10 裂项求和难点：齐次分离常数型 23 题型11 裂项求和难点：同构型 25 题型12 裂项求和难点：分母有理化型 28 题型13 放缩型不等式：先求和再放缩 30 题型14 放缩型不等式：先放缩再求和 33 题型15 求导数函数型数列不等式 36 题型16 插入数型 39 题型01 求和基础思维 【解题规律·提分快招】 对于公式 （1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 【典例1-1】 （22-23高三·全国·）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 【分析】（1）由递推关系得出、的值； （2）由的关系得出，讨论的值，结合等比定义判断即可. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）当时，. 由，两式相减得. 当时，不是等比数列； 当时，可得，,当时,,,所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列. 综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 【典例1-2】 （2024高三·北京·专题练习）已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 【变式1-1】 （22-23高三·全国·模拟）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列是否为等差数列？ 【答案】(1) (2)数列不是等差数列 【分析】（1）根据直接求通项公式即可； （2）根据等差数列相关概念进行判断即可. 【详解】（1）当时，； 当时，. 又因为当时，不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为 （2）由（1）知，当时，， 但，所以数列不是等差数列 题型02 求和基础方法：分组公式法 【解题规律·提分快招】 等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【典例1-1】 （24-25高三天津南开·）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列为等比数列，即可得；根据题意可得等差数列的公差为，即可得； （2）可得，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，当时，，得， 当时，则，两式相减得，，即， 且，可知数列为等比数列，公比，所以. 设等差数列的公差为，因为，且，解得， 所以. （2）由（1）知，设的前项和为 则. 【典例1-2】 （19-20高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为3的等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知，，可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列是公比为3的等比数列，且．可以得到数列的通项公式，最后求出数列的通项公式； （2）根据等差数列和等比数列前n项和公式，利用分组求和法求数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d．由，，得，解得． 所以．即的通项公式为：，． 由于是公比为3的等比数列，且，所以． 从而． （2）由（1）．数列的前n项和 ． 【变式1-1】 （24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知数列，，． (1)证明：数列，为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件得到，，即可证明答案. （2）根据题意得到，再解方程组即可. （3）利用分组求和的方法求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，. 而，，所以， ，.所以数列是以首项，公比为的等比数列. 数列是以首项，公比为的等比数列. （2）由（1）知：，.（3）因为， 所以. 题型03 分段型求和 【解题规律·提分快招】 分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： 1.分奇偶各自新数列求和 2.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和 【典例1-1】 （·山西吕梁·一模）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果. （2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，，得，解得，， 所以，. （2）由（1）知，， 因此当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河东·阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)记的前项和为，求的前项和； (3)对任意的正整数，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； （2）用等比数列的前项和公式求，再写出的前项和，进而用分组求和法得到结果. （3）分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和法与错位相减求和法计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由，，即，可得.从而的通项公式为.由， 又，可得，解得，从而的通项公式为.故，. （2）由可得. 故. （3）当n为奇数时，， 当n为偶数时，，对任意的正整数n，有 ， 和 ①由①得 ② 由①-②得 ，即从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【变式1-1】 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，，所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ，当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 题型04 正负相间型 【解题规律·提分快招】 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果； （3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为，则 . （3）因为，即，设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ；综上所述，. 【典例1-2】 （24-25高二上·天津·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由等差数列基本量法建立方程组并求解，进而求出通项公式可得； （2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则. 依题意，，即，解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 【变式1-1】 （24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）；(3)求. 【答案】(1)，；(2)(3) 【分析】（1）求出，从而得到公差，求出的通项公式，并根据求出的通项公式； （2）在（1）基础上，得到，累乘法得到，裂项相消法求和得到，需要能整除12，又，故，得到答案； （3）在（1）基础上得到，先求当为偶数时，表达出和，式子①+②，并化简得到，若为奇数，利用求和，从而得到答案. 【详解】（1），又为等差数列，，设公差为， 则，故的通项公式为， 又，故，即的通项公式为； （2），其中， ，故 ，要想，则需要能整除12，又， 故，此时， 故； （3）因为，，所以， 故， 若为偶数，则①， ②， 式子①+②得 ，所以， 若为奇数，则 ， 所以. 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题等， 需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 题型05 错位相消思维 【解题规律·提分快招】 三种思维： 1.思维结构结构图示如下 2.公式型记忆： 3.可可裂项为如下 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)求． (3)若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小． 【答案】(1)，(2)(3)答案见解析 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式建立等量关系，即可得到结果. （2）设，则要求结果即为数列的前项和，利用错位相减法计算可得结果. （3）根据条件计算数列的通项公式，表达，讨论的取值可比较与的大小． 【详解】（1）∵数列是公差为1的等差数列，且，∴，得，故， 设等比数列的公比为，∵，，∴，解得，∴， 综上，数列和的通项公式分别为，． （2）设，则即为数列的前项和，设为，则， ∴，两式相减得：，∴， ∴． （3）由，得，由，知， ∴，而，∴，∴ ．∴． 当或时，.当时，， 当时，， ∴当时，． 综上得，当或时，；当时，；当时，. 【典例1-2】 （24-25高三下·天津武清·开学考试）设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求的前2n项和； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）先求出数列的通项，再用错位相减法求和即可； 【详解】（1）依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以，. （2）由（1）可得， 所以 . （3），设， ， ， 两式相减可得， 所以. 【变式1-1】 （24-25高二上·天津滨海新·期末）已知数列的前项和，是公比大于的等比数列，且满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)对任意的正整数，设数列求． 【答案】(1)，(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； 设数列的公比为，由，求解； （2）由，利用裂项相消法求解； （3）由，利用错位相减法求解. 【详解】（1）当时，， ，又，当时，，设数列的公比为， ，，,解得，； （2），，， 当时，，，即； （3）由题意，，设， 即，① 由（1）得，② 由①②得， ，从而，． 题型06 函数中心对称性质型 【解题规律·提分快招】 函数中心对称性质型，实际上就是倒序求和： 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数。 【典例1-1】 （11-12高三上·江苏泰州·期中）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． （1）求证：点的纵坐标为定值； （2）若求； （3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】（1）设，根据，得到，结合对数的运算性质，求得，即可求解； （2）由（1）得出，结合数列的“倒序相加法”，即可求解； （2）当时，，求得，根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设，因为，所以，由，可得，所以，所以 所以点的纵坐标为定值 （2）由（1）知由， 可得，两式相加得： ， 所以. （2）当时，， ，由，可得，所以， 因为，当且仅当时，即时等号成立，所以， 当时,因此，即的取值范围是. 【典例1-2】 （2022高三·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数； （2）利用（1）中所求，当时，，可以采用倒序相加法，求和即可. 【详解】（1）证明：设，因为，故可得， 由知，故， 故. 故点的纵坐标为定值. （2）由（1）知 ，两式相加得： ， 故. 【变式1-1】 （20-21高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)令，求数列的前2020项和. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可得：，由即可求解； （2）求出的表达式，由指数的运算即可求解； （3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以. （2）因为，所以，所以. （3）由（1）知，可得， 所以，① 又因为，② 因为，所以①②，得，所以. 题型07 裂项求和难点：裂项基础型 【解题规律·提分快招】 【典例1-1】 （24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列中，，且前项和为. (1)求数列的通项公式与数列的前项之和 . (2)若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式与数列的前项之和的表达式； （2）利用裂项相消法求出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ①， 又因为②， 联立①②可得，，所以，， 所以，. （2）因为， 所以，， 因为，所以，， 因为二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 又因为，故当时，取最小值， 且其最小值为，则，因此，负整数的最大值为. 【典例1-2】 （24-25高二上·天津武清·阶段练习）已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【答案】(1)(2)，证明见解析 【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证； 【详解】（1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 （2），， 所以数列的前n项和. 所以，易知单调递增，同时， 所以当时取得最小值，同时，所以 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，，数列的前项和为，若对 ，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用求得数列的通项公式. （2）利用裂项相消法求得，进而求得的最小值，从而可得，求解即可. 【详解】（1）， ①， 当时，；当时，②， 由①-②得：，即，又时也满足， 是以1为首项，3为公比的等比数列，. （2）由（1）知：，， 则 ，又在时单调递增，. 对，恒成立，，即， ，.又，即. 题型08 裂项求和难点：分母线性差（函数型） 【解题规律·提分快招】 裂项相消系列1：函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 核心思维特征：分子是分母之差或者之和的倍数 【典例1-1】 （24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知等比数列的前项和为且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列及数列的前项和； (3)设，求的前项和. 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】（1）由及可得的值，由可得的值，进而求解即可； （2）结合等比数列的求和公式可得，进而得到，，进而结合错位相减法求和即可； （3）由题意可得，进而结合裂项相消法求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得：，， 可得，由，可得，由，可得，可得， 可得. （2）由，可得，由，可得，可得， 可得的通项公式：， 可得：，① 则，② ①②得： ，可得. （3）由可得， 可得：. 【典例1-2】 （24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，，的前项和，求． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和可求得． 【详解】（1）由题，设数列的公比为，的公差为， 由，即，解得，所以，， 又，即，解得，所以，． 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）由（1）得， 所以 . 【变式1-1】 （2021·河南·模拟预测）已知正项等比数列{an}，满足a2a4=1，a5是12a1与5a3的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和Sn. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）正项等比数列的公比设为，根据已知求出，，即得解； （2），再裂项相消分类讨论得解. 【详解】（1）正项等比数列的公比设为，由，可得， 是与的等差中项，可得，即为，解得， 则（2）； 则 当为偶数时，； 当为奇数时，. 题型09 裂项求和难点：裂和型 【解题规律·提分快招】 正负型：等差裂和型 【典例1-1】 （2023·天津·一模）在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前项和.已知，且是与的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）设的公差为，的公比为，由题意可得，求得，，即可求得的通项公式，接着可得，算出即可； （2）利用错位相减法求解即可； （3）化简，然后分为偶数和为奇数进行求和即可 【详解】（1）设的公差为，的公比为，由题意，即， ∵，解得，∴，∴. ∵，∴，∴∴. （2）∴① ∴② ①②得 ∴. （3） 当为偶数时， 当为奇数时， ∴ 【典例1-2】 （19-20高二上·天津宁河·阶段练习）已知各项均不为0的数列的前n项和为，且对任意正整数n，有． (1)求的值及数列的通项公式； (2)对一切正整数m，设，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据，得到即为常数列，且常数为1，从而求出的通项公式； （2）在第一问的基础上，求出，裂项相消法求和即可. 【详解】（1）已知各项均不为0的数列的前n项和为， 中，令得：①， 当时，②，则①－②得： ，即， 即为常数列，且常数为1，； （2）设， ． 【变式1-1】 （2022·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求的值； (3)设，数列的前项和为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析；.(2)(3)有最小值，最大值. 【分析】（1）等式两边同除以得即可证明结论，再根据等差数列的定义求通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可； （3）由题知，进而裂项求和，并分的奇偶性讨论单调性求解最值即可. 【详解】（1）解：因为，所以，等式两边同除以得， 又因为，所以，数列是等差数列，公差为，首项为. 所以，，即. （2）解：设， 则， 所以，两式作差得：， 整理得：，即.所以， （3）解：由（1）知 ， 所以，， 所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值； 当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值； 综上所述，有最小值，最大值. 题型10 裂项求和难点：齐次分离常数型 【解题规律·提分快招】 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 【典例1-1】 （24-25高二上·福建宁德·期末）已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式： (2)记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 【答案】(1)，(2)（i）；（ii） 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求； （2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可； （ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求． 【详解】（1）由题意，是等差数列，设公差为d， 是正项等比数列，设公比为q，， 由，，，， 可得，，解得，则，. （2）（i）由（1）可得，， 则， 则数列的前2n项和； （ii）， 则数列的前n项和 【典例1-2】 （24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，数列中，，，，时，且． (1)求证：数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. (3)已知时，求并化简． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由已知得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）先求得，然后利用求得. （3）利用裂项求和法来求得正确答案. 【详解】（1）因为，时，， 所以时，，又，所以， 又=2，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. （2）由（1）得，,当时，， 且当时，满足，所以． （3）， 所以 ，所以． 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型，其中是公差为的等差数列； （2）无理型； （3）指数型； （4）对数型. 【变式1-1】 （24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用、等比数列定义可得答案； （2）求出通项，利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）当时，，解得，因①， 当时，②， ①②得，，即，则，又. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 可得，即； （2）由（1）可得：， 则， 所以. 题型11 裂项求和难点：同构型 【解题规律·提分快招】 ，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的.要注意：指数是在分母还是分子上 【典例1-1】 （2022·天津南开·三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项． (1)求和的通项公式； (2)已知，数列满足，求数列的前2n项和； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)（）；（）(2)（） (3)（） 【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式； （2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解； （3）代入得，对指数型式子配凑进行裂项可得，再由裂项相消即可求解. 【详解】（1）（1）解：或， 又，则，∴（）． 设等差数列的公差为，由题意得，，， 即，所以（）． （2）（2）解：时，， ∴ ． 时，∴ ，① ，② 由①②可得， ∴∴（）． （3）（3）由（1）知，则 ∴ 故（）. 【典例1-2】 （21-22高三上·天津静海·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，   (1)求数列和的通项公式； (2)设 ，求数列的前2n项和. (3)设，，的前n项和，求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据条件求出 即可； （2）按照下标为奇数和偶数分组，用分组法求前2n项的和； （3）用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）由题意， ，设公比为q， 则有 解得 或 （由于 是正数列，舍）， 由 ， ， ； 对于 由等差中项可知 ， 设公差为d， ， ， ； （2）设数列 的前n项和为 ， 则有： =  设 …①， …② ， -②得：，K     ， ； （3） ， ； 综上， ， ， 的前2n项和=    . 【变式1-1】 （2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故，即为首项为2，公差为2的等差数列，故； （2）（i），所以， ， 两式相加可得，故数列的通项公式为； （ii）， 故. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于第二问的求和，要将裂项为，即可求解. 题型12 裂项求和难点：分母有理化型 【解题规律·提分快招】 无理根式型裂项： 一般情况下，无理型裂项相消满足： 【典例1-1】 （24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式; (2)设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值; (3)在数列 中，对任意 ，当 时， ，若满足 ，求正整数 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)(3) 【分析】（1）根据题意，由与的关系代入计算，结合等差数列的定义即可证明，再由等差数列的通项公式即可得到结果； （2）根据题意，先对数列的通项公式进行化简，再由裂项相消法求解的表达式，然后代入计算，求解不等式，即可得到结果； （3）根据题意，先根据数列的通项公式确定与的关系，即可得到的表达式，然后求解不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②可得：， 化简可得，，即，， 又，当时，，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且. （2） ，则 ，由可得，化简可得，解得， 所以使成立的最小正整数的值为. （3）由可得，因为当时，， 设，，则，，，， 所以， 由，即，解得， 且，所以， 当时，，即，所以正整数的最小值为. 【典例1-2】 （2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【答案】(1)(2)(3)详见解析. 【分析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 当时，有，则  ① 当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入①可得， 所以等比数列的通项公式为（）. （2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则，设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即，所以； 当为奇数时，恒成立，即，所以； 综上所述，的取值范围是. （3）证明：由（1）得， 则有 . ,原不等式得证. 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可. 【详解】（1）因为为函数的两个零点，且， 所以，又因为， 所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． （2）因为 所以 题型13 放缩型不等式：先求和再放缩 【解题规律·提分快招】 不等式证明： 可以先求和，通过求和化简为一个函数型数列通项，然后借助放缩和数列单调性证明不等式 【典例1-1】 （24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 【典例1-2】 （24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【详解】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以，即 （2）， ， 单调递增，，又 若使得对一切恒成立，则，解得，∴实数m的取值范围是． 【变式1-1】 （24-25高二上·河南安阳·期末）已知数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，(2)(3) 【分析】（1）对递推式变形结合等差数列的概念即可证明，然后根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由（1）知，然后利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求和化简已知得，存在，使得成立，分离参数，变形后利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）由，可得， 又，所以是1为首项1为公差的等差数列， 所以，所以； （2）由（1）知，所以， ， 两式相减，得， 故； （3）由（1）知，所以 ， 由题可知，存在，使得成立，所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故实数的取值范围是. 题型14 放缩型不等式：先放缩再求和 【解题规律·提分快招】 先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。 【典例1-1】 （23-24高三上·天津·期末）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求实数的取值范围； (3)，数列前项和为，求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； (2)求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出； (3)设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论. 【详解】（1）设数列首项，设公比，设数列首项，设公差， ∵，即，∴，（舍去），， ∴．； （2）， 其中， ∴，，集合， 设，，所以当时，， 当时，，计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，； （3），， 设①， ②， 上式①-②得， ，所以， 当n为奇数时，， 则 ，. 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等； 根式型：等； 对数型：，且. 【典例1-2】 （2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . (1)求甲以 的比分赢得比赛的概率; (2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求的范围; (3)若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足 ，求证: . （参考知识: 当 时，若 ，则 .） 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件概率公式即可得到答案； （2）记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，可推得，再对分类讨论即得； （3）根据（2）得到，则，化简计算，最后利用累加法和等比数列求和公式即可得证. 【详解】（1）记第一球比赛甲运动员获胜的事件为，第二球比赛甲运动员获胜的事件为， 由题意知：，且，∴. 即甲以 的比分赢得比赛的概率为. （2）记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，则， 则,可知数列是首项为，公比为的等比数列，则有，, ①当时，，又，故是一个递减数列， 当时，，依题需使，即与条件矛盾,舍去； ②当时，，不合题意； ③当时，，又，故是一个递增数列， 依题意，只需，即，解得，故； ④当时，，符合题意； ⑤当时，，又，因此是一个摆动数列， 若为偶数，则，； 若为奇数，则是一个递增数列，只需，而， 因，于是， 得：，解得，故. 综上：时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6. （3）当时，由（2）可得，，   则，，， ， ， 故：. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到，再对分类讨论. 【变式1-1】 （24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)1(3)存在，3. 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. （3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号，当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 题型15 求导数函数型数列不等式 【典例1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据已知条件求出，继而结合得关系推出，说明数列为等比数列，即可求得答案； （2）求出利用的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论； （3）将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）由得，即，所以． 若，则； 若，则由得， 两式相减得， 化简得， 所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此， 当时，也满足该式，故． （2）证明：因为，所以，则， 因此． 又因为，且，故，因此得证． （3）由（1）得，则，即， 令（，）， 为使对任意正整数n都有成立，即， 因为，所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减． 又，且，，， 所以，因此，即． 【典例1-2】 （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列和等比数列，满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对于任意的时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)(3)． 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式列方程组求得公差、公比后可得通项公式； （2）由错位相减求和； （3）用裂项相消法求得和，不等式转化为，引入函数，由导数确定的单调性后，可得出的最小值，从而得的范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由得： ，解得（舍去），所以，； （2），， 则，， 所以； （3）由（2）,所以． 恒成立，即，， 设，则，由得， ，因此,,记，即， 时，，递减，时，递增，因此是的最小值， ，， 所以对任意的，的最小值是，所以． 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)在上单调递增，没有单调递减区间(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求函数的定义域及导函数，利用导数证明，由此确定函数的单调区间； （2）结合关系，，得出在上恒成立的必要条件为，再证明时，在恒成立，时不满足条件，可得结论； （3）由（2）可建立关系式，令可得，取累加得证． 【详解】（1）当时，的定义域为， 则，令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在时取最小值，即，所以， 所以在上单调递增，没有单调递减区间． （2）因为，，所以要使当时，， 必须满足，即．下面证明满足题意： ①当时，由，． 令，， 由（1）知，在上单调递增，所以， 所以当时，，即； ②当时，，令，则， 所以在上单调递增，又，当时，， 所以存在，使得， 所以当时，，即在上单调递减， 所以当时，，所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． （3）由（2）知，当，时，，即，所以． 令，则，， 所以令，则 ， 所以， 即． 【点睛】关键点点睛：第三小问解决的关键在于找到不等式与函数在结构上的联系. 题型16 插入数型 【解题规律·提分快招】 复杂的数列题型三个层次： 1. 常规的奇、偶分段（注意n分奇偶讨论时，各自的项数关于n的函数）。 2. 跳项替换型，不仅仅是奇、偶跳项，还包含“数列型”跳项。 插入数改变型 【典例1-1】 （24-25高二上·天津·期末）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和. 【答案】(1)，；(2)(3)2583 【分析】（1）根据，，由求得的通项公式，由，得到数列为等比数列求解. （2）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中从到共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）解：依题意，，，即，解得. 所以等差数列的通项公式，所以，， 又因为，所以数列为等比数列， 所以，解得或（舍去），所以； （2）由已知，即， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，，所以， ， 当为偶数时，，所以. ； （3）：，从到共有项， 所以，当时，，， ， ， . 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·期中）已知等差数列，等比数列 (1)求的通项公式. (2)，求. (3)任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 【答案】(1)；.(2) (3) 【分析】（1）求解基本量首项与公差、公比可得通项公式； （2）根据数列特点分组求和，一组裂项相消法求解，另一组用错位相减法可得； （3）根据题意确定新数列第项位置，再按原等比数列项与插入项分两组分别求和可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，解得，所以，则； 由，得，则，解得，则. 故的通项公式为；的通项公式为. （2）当为奇数时， ；当为偶数时，. 则； 设，则， 两式相减得， ， 则， .故. （3）设新数列中是第项，由题意，在之前插入依次插入个数， 再加上原数列共项，可得， 则新数列中是第项，是第项..由， 故第项在之间插入的数中，即，即新数列前项中，从第项到这一项共项，则与之间还有项，则新数列前项中原等比数列的各项之和为 .新数列前项中所有插入项之和为 . 下面先求数列的前项和. ①当为偶数时，则，都为奇数，因为， 则， 所以新数列前项中所有插入项之和为； 所以这个新数列前项的和； ②当为奇数时，则为偶数，为奇数， 则数列前项和即为前项之和减去第项， 则， 所以新数列前项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前项的和； 综上所述，这个新数列前项的和. 【点睛】关键点点睛：解决本题目关键在于两点，一是第（2）问中通分逆用，裂项后求和；二是第（3）问中注意条件的转化，借助项数确定新数列第项的位置. 【变式1-1】 （11-12高三下·江西·阶段练习）设数列的前项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值； （3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）． 【答案】（1）；（2） （3） 【详解】试题分析：（1）当时，由.又与相减得： ，故数列是首项为1，公 比为2的等比数列，所以； 4分 （2）设和两项之间插入个数后，这个数构成的等差数列的公差为，则 ，又，故 8分 （3）依题意， ，考虑到， 令，则 ， 所以 12分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和． 点评：典型题，本题首先由的关系，确定数列的通项公式是关键．求和过程中应用了“错位相减法”．在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到． 冲高考 1．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． (1)若等比数列为“A数列”，求的公比q； (2)若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②1 【分析】（1）根据题意可得，结合等比数列通项公式分析求解； （2）根据题意结合等差数列通项公式可得.①可得，根据分析证明即可；②可得，赋值求的值或范围，根据，分析求解. 【详解】（1）因为等比数列为“A数列”，则， 即，可得， 若上述方程对任意恒成立，则，且为定值，所以的公比. （2）由题意可知：，且， 则数列是以首项为，公差为1的等差数列，可得，即. ①因为，若，则；若，则； 若，则，可得； 综上所述：； ②因为，且是正项数列，则，即， 可得， 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得，且，则， 若，可得， 又因为， 可得， 所以符合题意； 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 若，可得， 又因为， 可得，， 可得，所以符合题意； 综上所述：的最小值1. 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 2．（2025·云南昆明·一模）已知数列，，，是的前项和. (1)证明：数列为等差数列； (2)求； (3)若，记数列的前项和为，证明：． 参考数据：. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列通项公式证明即可； （2） 应用错位相减法计算求和即可； （3）分奇偶应用等比数列求和，再构造函数应用导函数判断函数的单调性结合累加法及对数运算证明即可. 【详解】（1）由题，得；又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，故.， 则，两式相减得， ， 所以. （3）由（2）可知所以数列中的奇数项（）， 偶数项，（），. 由于，则，所以，则， 所以. 由于 .构造函数，， 所以，则在上单调递减.所以当时，则， 即任意，，即在恒成立. 令，，则，即，， 所以，，，. 以上各式相加得， ，即. 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数求导函数确定函数的单调性及应用换元法令，累加法计算求解. 3．（2025·湖南邵阳·一模）已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）. (1)当时，写出所有满足的数列； (2)试判断数列是否为等差数列，并加以证明； (3)当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差. 【答案】(1)2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.(2)不可能是等差数列，证明见解析(3). 【分析】（1）需要根据已知条件求出的表达式，再根据以及和或的条件来确定数列. （2）根据等差数列的定义判断数列是否为等差数列. （3）利用已知条件对分类讨论，设，求出范围，再根据是公差为的等差数列，求出，得到满足题意的. 【详解】（1），①当时，，即，. 当时，，② 由①－②得：，即. ，，，即.数列是以1为首项，1为公差的等差数列. .由题意可得当且的数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4. （2）数列不可能为等差数列，证明如下：假设是等差数列，公差为， 当时，由题意知，或3，此时，. 不是等差数列中的项，与题意不符.不可能是等差数列； 当时，由题意，或.此时，. 不是等差数列的项，与题意不符.不可能是等差数列.综上所述，不可能是等差数列. （3）由题意，，当时，，，与题意不符； 当时，记， 当时，， ， 记表示集合中元素的最小值，则. ，与题意不符； 当时，取此时数列满足题意.综上所述，. 【点睛】知识点点睛：本题考查了由与的关系式求，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题. 4．（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可； （2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. （2）当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$