数学（青海西宁卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（西宁卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B D C B A B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9． 10．10 11．1 12．   13．   14.   15.   16. 或  17.   18. 2 三、解答题（本大题共9个小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（7分）【详解】 (5分) ．（7分） 20．（7分）【详解】解： ，（5分） ，，（6分） 原式． （7分） 21．（7分）【详解】解：， 方程两边同时乘，得，（3分） 去括号，得，解得：，（5分） 检验：把代入，（6分） 是分式方程的解．（7分） 22．（7分）【详解】解：此次接受随机抽样调查的人数人， 组人数为人；（2分） 补全条形统计图如图： 故答案为：；（3分） 名， 答：估计该校有名学生想去海洋馆；（5分） 根据题意，列表如下： 共有种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有种， 所以他们恰好选中同一处研学地点的概率为．（7分） 23．（8分）【详解】证明：是等腰直角三角形， ，，（2分） ， ，， 在和中，，≌；（4分） 由知，≌，，， ， ，（6分） ，， 在与中，，≌，， 在中，根据勾股定理得，， ，； （8分） 24．（8分）【详解】解：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：，解得：， 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元；（3分） 设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯， 由题意得：，整理得：， 、均为正整数， 或或， 有种购买方案： 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯；（6分） 设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯， 则款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：， 整理得：， 、、均为正整数，，， 答：款加料的奶茶买了杯．（8分） 25．（10分）【详解】证明：是的外接圆，是的切线，如图，连接， ， ，（2分） 于点，延长至点， ，，，（4分） ， ， ； （5分） 解：， 在直角三角形中，，由勾股定理得：，（7分） ， ，（9分） ， ． （10分） 26．（10分）【详解】证明：和是等边三角形， ， ， ， ∽；（3分） 解：，， ，，，（4分） ，， ，；（6分） 解：连结，以点为圆心，长为半径作， 点为的中点，是等边三角形， ，（7分） 是等边三角形，，，点在上，， 是等边三角形，（8分） ，，过作于，，，， ， ，，（9分） ，，，， ． （10分） 27．（12分）【详解】由题意得：， 则，则，（2分） 则抛物线的表达式为：；（3分） 设“不动点”所在的直线表达式为：，如图直线， 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点， 则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点， 联立和原抛物线的交点得：，（5分） 则，则，即点， 则点， 即；（7分） 存在，理由：（8分） 由点、、的坐标知，，，， 则，即为直角三角形， ∽，则：：：， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 设点，点，（10分） ，， ， ∽，相似比为：， ：：， 则， 解得：，，， 即点． （12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（西宁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是(    ) A. 甲市 B. 乙市 C. 丙市 D. 丁市 2.下列叙述正确的是(    ) A. 与互为倒数 B. 与为相反数 C. 的底数是 D. 当时，总是大于 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.一组数据：，，，，，若去掉一个数据，得到一组新的数据，则下列统计量中发生变化的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5.已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为(    ) A. B. C. D. 6.某校连续三年开展植树活动第一年植树棵，第三年植树棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.在中，，，，平分，则：的值为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 8.抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论：；；；；；，其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.已知与互为相反数，则的值为______． 10.等腰三角形的一边长是，另一边长是，则第三边长是______． 11.计算： ______． 12.一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，从中随机摸取出一个黑球的概率是______． 13.如图已知是圆的直径，，则的度数为______． 14.已知方程的两根分别为和，则的值为______． 15.如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，，为半径画弧，分别交于点，点，则阴影部分的面积为______． 16.在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 17.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度如图，，，在同一平面内，点，在同一水平线上从点测得杨树底端点的仰角是，长米，在距离点米处的点测得杨树顶端点的仰角为，则杨树的高度为______米 18.如图，在中，按以下步骤作图：分别过点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点；作直线交于点；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接、若，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 21.本小题分 解方程：． 22.本小题分 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆依次用字母，，，表示中选择一处作为研学地点为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 此次接受随机抽样调查的人数是______人；并补全条形统计图； 该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ 该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 23.本小题分 如图，、是等腰的斜边上的两动点，，且． 求证：≌； 求证：． 24.本小题分 为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买，两种款式的奶茶作为奖品若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元；若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 求款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元； 在不加料的情况下，购买，两种款式的奶茶两种都买，刚好用了元，请问有几种购买方案？ 若小华恰好用了元购买，两款奶茶，其中款不加料的数量是总数量的，则款加料的奶茶买了多少杯？ 25.本小题分 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． 求证：； 若，求的长． 26.本小题分 如图，等边中，，点，分别是，边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，，分别交于点，． 求证：∽； 如图，若，求的长； 如图，连接，当点为中点时，求的长． 27.本小题分 【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”例如，都是“不动点”． 【迁移应用】在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； 如图，将抛物线沿直线折叠得到新的图象若恰好有个“不动点”，求的值； 如图，点为“不动点”，点是抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使∽？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第一次模拟考试（西宁卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 10 分，共 20 分） 9 ． ___________________ 10 ． ____________ _______ _________________ 12 ． ___________________ 13. __________________ 14 ． __________________ 15 ． ___________________ 16 ． ___________________ 17 ． ___________________ 18 ． ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 9 个小题，共7 6 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （ 7 分） 20. （7分） 21. （7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 . （7分） 23. （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 .（ 10 分） ) 25.（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 26. （10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 27. （12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（西宁卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均 最低温度最低的城市是(    ) A. 甲市 B. 乙市 C. 丙市 D. 丁市 【答案】C  【详解】解：，，，， ， 日均最低温度最低的城市丙市， 故选：． 根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，据此比较出四个城市温度数值的 大小即可得到答案． 2.下列叙述正确的是(    ) A. 与互为倒数 B. 与为相反数 C. 的底数是 D. 当时，总是大于 【答案】D  【详解】解：、与不互为倒数，原说法错误，不符合题意； B、与不互为相反数，原说法错误，不符合题意； C、的底数是，原说法错误，不符合题意； D、当时，总是大于，原说法正确，符合题意； 故选：． 乘积为的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和的绝对值是它本身，负数的绝对 值是它的相反数，中，叫做底数，据此求解即可． 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解： ，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线 叫做对称轴进行分析即可． 4.一组数据：，，，，，若去掉一个数据，得到一组新的数据，则下列统计量中发生变化的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【详解】解：原数据为：，，，，， 平均数为，众数为，中位数为，方差为， 新数据为：，，，， 平均数为，众数为，中位数为，方差为， 故变化的为方差， 故选：．根据众数、平均数、中位数、方差的定义和计算公式分别求出新旧众数、平均数、中位数、方差即可． 5.已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：设解析式为，将代入解析式得， 这个函数关系式为：，把代入得， 表中“”处的数为， 故选：． 用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中代入，即可求出表中“”处的数． 6.某校连续三年开展植树活动第一年植树棵，第三年植树棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 故选：． 利用该校第三年植树的棵数该校第一年植树的棵数该校这两年植树棵数的年平均增长率，即可列 出关于的一元二次方程，此题得解． 7. 在中，，，，平分，则：的值为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】A 【详解】解：解：在中，，，， ，如图所示，过点作， 平分，，， ， ， ， 故选：． 根据勾股定理可得，过点作，可得，由面积的计算公式即可求解． 8.抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论：；；；；；，其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点为， 抛物线对称轴为直线， ，异号，不能确定，故错误； 抛物线与轴的交点位于轴上方． ，故错误； 抛物线的顶点为，，故正确； 抛物线的顶点为，抛物线的开口方向不确定， 的取值不确定；故错误； 抛物线对称轴为直线， ，，；故正确； 抛物线的顶点为， ，，整理得，故正确． 综上所述，正确的有共个； 故选：． 根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.已知与互为相反数，则的值为______． 【答案】  【详解】解：与互为相反数， ， 移项、合并同类项，得， 将系数化为，得． 故答案为：． 根据题意，由相反数的性质得出：，再根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为求解即可． 10. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则第三边长是______． 【答案】10 【详解】解：解：当腰为时，三边为，，， ， 不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去； 当腰为时，三边为，，， 此时符合三角形的三边关系定理， 所以三角形的第三边为， 故答案为：． 分为两种情况：当腰为时，三边为，，，当腰为时，三边为，，，再根据三角形三边关系定理确定答案即可． 11.计算： ______． 【答案】  【详解】解： 故答案为． 因为，所以变形后，可以按同分母分式的减法运算． 12.一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，从中随机摸取出一个黑球的概率是______． 【答案】  【详解】解：一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球， 从中随机摸取出一个黑球的概率是， 故答案为：． 直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率即可． 13.如图已知是圆的直径，，则的度数为______． 【答案】  【详解】解：，， ， 故答案为：． 根据圆周角定理求解即可． 14.已知方程的两根分别为和，则的值为______． 【答案】  【详解】解：方程的两根分别为和， ， ． 故答案为：． 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，化简所求代数式，代入即得到结果． 15.如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，，为半径画弧，分别交于点，点，则阴影部分的面积为______． 【答案】  【详解】解：四边形为正方形， ，， 阴影部分的面积 故答案为： 先根据正方形的性质得到，，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可． 16.在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 【答案】或  【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，． ①当点在点下方时，， ； ②当点在点上方时，， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 17.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度如图，，，在同一平面内，点，在同一水平线上从点测得杨树底端点的仰角是，长米，在距离点米处的点测得杨树顶端点的仰角为，则杨树的高度为______米 【答案】  【详解】解：延长交于，则， ，米， 米，米， ， 米， 米米， 故答案为：米． 延长交于，得到，解直角三角形即可得到结论． 18.如图，在中，按以下步骤作图：分别过点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点；作直线交于点；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接、若，则的长为______． 【答案】  【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，，，， ， ，，即，是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 证明是等腰直角三角形，即可得到答案． 三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 【答案】 【分析】先根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ．  20.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】根据平方差公式，单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项可得化简结果，最后通过零整数指数幂求出的值，然后求出的值，最后代值求解即可． 解： ， ，， 原式．  21.本小题分 解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出的值，最后检验即可． 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得，解得：， 检验：把代入， 是分式方程的解．  22.本小题分 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆依次用字母，，，表示中选择一处作为研学地点为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 此次接受随机抽样调查的人数是______人；并补全条形统计图； 该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ 该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 【答案】  【分析】根据研学基地的人数和百分比即可求解抽样人数，再求出地点人数即可补全图形； 用总人数乘以样本中地点人数所占比例即可； 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 解：此次接受随机抽样调查的人数人， 组人数为人； 补全条形统计图如图： 故答案为：； 名， 答：估计该校有名学生想去海洋馆； 根据题意，列表如下： 共有种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有种， 所以他们恰好选中同一处研学地点的概率为． 23.本小题分 如图，、是等腰的斜边上的两动点，，且． 求证：≌； 求证：． 【答案】(1)≌；； 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，从而可推出，则可证得≌； 由可知，，从而可求得，，可证得≌，则有，则利用勾股定理可求解． 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ，， 在和中，，≌； 由知，≌，，， ， ， ，， 在与中，，≌，， 在中，根据勾股定理得，， ，；  24.本小题分 为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买，两种款式的奶茶作为奖品若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元；若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 求款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元； 在不加料的情况下，购买，两种款式的奶茶两种都买，刚好用了元，请问有几种购买方案？ 若小华恰好用了元购买，两款奶茶，其中款不加料的数量是总数量的，则款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】；(2) 有种购买方案： 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 款加料的奶茶买了杯． 【分析】．设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元；若买杯型奶茶，杯型奶茶，共需元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据在不加料的情况下，购买、两种款式的奶茶两种都要，刚好花元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了元购买、两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 解：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：，解得：， 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元； 设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯， 由题意得：，整理得：， 、均为正整数， 或或， 有种购买方案： 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯； 设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯， 则款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：， 整理得：， 、、均为正整数，，， 答：款加料的奶茶买了杯． 25.本小题分 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． 求证：； 若，求的长． 【答案】(1)； 【分析】连接，根据是的切线，可得，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得证； 由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 证明：是的外接圆，是的切线，如图，连接， ，， 于点，延长至点， ，，， ， ，； 解：， 在直角三角形中，，由勾股定理得：， ，， ，．  26.本小题分 如图，等边中，，点，分别是，边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，，分别交于点，． 求证：∽； 如图，若，求的长； 如图，连接，当点为中点时，求的长． 【答案】∽；(3) 【分析】 根据等边三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到∽； 根据垂直的定义得到，求得，根据直角三角形的性质得到，由，，得到，于是得到； 连结，以点为圆心，长为半径作，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过作于，根据直角三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到结论． 证明：和是等边三角形， ， ，，∽； 解：，， ，，， ，， ，； 解：连结，以点为圆心，长为半径作， 点为的中点，是等边三角形， ， 是等边三角形，，，点在上，， 是等边三角形， ，，过作于，，，， ， ，， ，，，， ．  27.本小题分 【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”例如，都是“不动点”．【迁移应用】在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； 如图，将抛物线沿直线折叠得到新的图象若恰好有个“不动点”，求的值； 如图，点为“不动点”，点是抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使∽？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 抛物线的表达式为：； 存在，点； 【分析】由待定系数法即可求解； 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点，则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点，即可求解； 存在，证明∽，相似比为：，则：：，即可求解． 解：由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 设“不动点”所在的直线表达式为：，如图直线， 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点， 则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点， 联立和原抛物线的交点得：， 则，则，即点， 则点， 即； 存在，理由： 由点、、的坐标知，，，， 则，即为直角三角形， ∽，则：：：， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 设点，点， ，， ， ∽，相似比为：， ：：， 则， 解得：，，， 即点．  2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（西宁卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 10 分，共 20 分） 9．___________________ 10．___________________ 11．_________________ 12．___________________ 13.__________________ 14．__________________ 15．___________________ 16．___________________ 17．___________________ 18．___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 9 个小题，共 76 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（7 分） 20. （7 分） 21. （7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （7 分） 23. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（10 分） 25.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（西宁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是(    ) A. 甲市 B. 乙市 C. 丙市 D. 丁市 2.下列叙述正确的是(    ) A. 与互为倒数 B. 与为相反数 C. 的底数是 D. 当时，总是大于 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.一组数据：，，，，，若去掉一个数据，得到一组新的数据，则下列统计量中发生变化的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5.已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为(    ) A. B. C. D. 6.某校连续三年开展植树活动第一年植树棵，第三年植树棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.在中，，，，平分，则：的值为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 8.抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论：；；；；；，其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.已知与互为相反数，则的值为______． 10.等腰三角形的一边长是，另一边长是，则第三边长是______． 11.计算： ______． 12.一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，从中随机摸取出一个黑球的概率是______． 13.如图已知是圆的直径，，则的度数为______． 14.已知方程的两根分别为和，则的值为______． 15.如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，，为半径画弧，分别交于点，点，则阴影部分的面积为______． 16.在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 17.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度如图，，，在同一平面内，点，在同一水平线上从点测得杨树底端点的仰角是，长米，在距离点米处的点测得杨树顶端点的仰角为，则杨树的高度为______米 18.如图，在中，按以下步骤作图：分别过点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点；作直线交于点；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接、若，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 21.本小题分 解方程：． 22.本小题分 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆依次用字母，，，表示中选择一处作为研学地点为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 此次接受随机抽样调查的人数是______人；并补全条形统计图； 该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ 该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 23.本小题分 如图，、是等腰的斜边上的两动点，，且． 求证：≌； 求证：． 24.本小题分 为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买，两种款式的奶茶作为奖品若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元；若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 求款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元； 在不加料的情况下，购买，两种款式的奶茶两种都买，刚好用了元，请问有几种购买方案？ 若小华恰好用了元购买，两款奶茶，其中款不加料的数量是总数量的，则款加料的奶茶买了多少杯？ 25.本小题分 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． 求证：； 若，求的长． 26.本小题分 如图，等边中，，点，分别是，边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，，分别交于点，． 求证：∽； 如图，若，求的长； 如图，连接，当点为中点时，求的长． 27.本小题分 【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”例如，都是“不动点”． 【迁移应用】在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； 如图，将抛物线沿直线折叠得到新的图象若恰好有个“不动点”，求的值； 如图，点为“不动点”，点是抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使∽？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$